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DERNIÈRE IMPRESSION LE20 août 2017 à 16:31

Matrices et systèmes linéaires

Table des matières

1 Matrices et opérations sur les matrices2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Somme et produit par un scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Produit matriciel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Propriétés du produit matriciel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Transposée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Matrice définies par blocs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.7 Matrices carrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.8 Trace d"une matrice carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Systèmes linéaires7

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Ensemble solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Algorithme du pivot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Matrices inversibles10

3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Matrices inversibles d"ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Opération sur les matrices inversibles. . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4 Opérations sur les lignes et colonnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.5 Matrices triangulaires inversibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

PAUL MILAN1CPGE-L1 -ALGÈBRE

1. MATRICES ET OPÉRATIONS SUR LES MATRICES

1 Matrices et opérations sur les matrices

1.1 Définition

Définition 1 :SoitI= [[1,n]]etJ= [[1,p]]

On appelle matrice(n,p)à coefficients dansK, une applicationA?I×J→K (i,j)?-→aij que l"on note sous forme d"un tableau denlignes et depcolonnes.

A=(((((a

11a12...a1p

a

21a22...a2p.........

a n1an2...anp))))) ouA= (aij)plus rarementAij Le coefficientaijse trouve à l"intersection de lai-ème ligne et de laj-ème colonne. L"ensemble des matrice(n,p)dans le corpsKest noté :Mn,p(K)

Remarque :

•Pouri?I, on noteLi= (ai1,...,aip)lai-ème ligne deA.

•Pourj?J, on noteCj=(((a

1j... a nj))) laj-ème colonne deA. •Sin=p, la matriceAest carrée de taillenet l"on note son ensembleMn(K) La famille(a11,a22,...,ann)est appelée diagonale deA. •Sin=1, on dit que la matriceAest une matrice ligne. •Sip=1, on dit que la matriceAest une matrice colonne. •La matrice(n,p)dont tous les coefficients sont nuls est appelée matrice nulle et notée 0 n,pou plus simplement 0. ?Il est d"usage d"utiliseripour indice ligne etjpour indice colonne.

1.2 Somme et produit par un scalaire

Définition 2 :SoitA= (aij)etB= (bij)deux matrices deMn,p(K). On définit la combinaison linéaire suivante : ?λ,μ,λA+μB= (λaij+μbij) Remarque :L"ensembleMn,p(K)constitue unKespace vectoriel.

Exemple :3?2 31 4?

-2?1-2 0 5? =?4 133 2?

PAUL MILAN2CPGE L1 -ALGÈBRE

1. MATRICES ET OPÉRATIONS SUR LES MATRICES

1.3 Produit matriciel

Définition 3 :SoientA= (aij)?Mn,p(K)etB= (bij)?Mp,q(K).

On définit le produit matriciel :AB= (cij)?M

n,qparcij= p k=1a ikbkj b11...b1q bp1...bpq))))) (a11...a1p a n1...anp)))))))-→ (p k=1a

1kbk1...p

k=1a 1kbkq p k=1a pkbk1...p k=1a nkbnq))))))))

Remarque :

•On ne peut effectuer ce produit s"il y a compatibilité des formats : matrice( n,p)×matrice(p,q) =matrice(n,q) •Le produit matriciel avec des matrices carrées ne change par le format. M n(K)est stable par produit.

•Le produit matriciel n"est pas commutatif.

•LeproduitmatricielpeutêtrenulavecAetBnonnulles:?0 10 0?? 1 1 0 0? =?0 00 0?

Exemple :

2 1 1 3 2 0)) ?1 0 12-1 3? 4-1 5

7-3 10

2 0 2))

3,2)×(2,3) = (3,3)

Théorème 1 :SoitA?Mn,p(K),X?Kpeti?[[1,n]],j?[[1,p]]

A×((0

.1...0)) =(((a

1j...ajj...anj)))

=Cjd"oùAX=p j=1x jCj

0 ... 1 ... 0)×A=(ai1...aii...aip)=Li

Remarque :Par convention, on ne met pas les zéros dans une matrice lorsque celle-ci en contient beaucoup.

PAUL MILAN3CPGE L1 -ALGÈBRE

1. MATRICES ET OPÉRATIONS SUR LES MATRICES

1.4 Propriétés du produit matriciel

Théorème 2 :En tenant compte de la compatibilité, le produit matriciel est :

•Associatif :?A,B,Cmatrices(AB)C=A(BC) =ABC

•Bilinéaire :?A,B,Cmatrices?λ,μ?K:

(λA+μB)C=λAC+μBCetA(λB+μC) =λAB+μAC

•Possède un élément neutre :On appelle matrice identité de taillen, la matrice carrée :In=(((1

1))) ?A?Mn,p(K):InA=AIp=A

Remarque :

•On appelle aussi la matrice identité la matrice unité. •On peut noter la matrice identité avec le symbole de Kronecker :In= (δij) Exemple :SoitMetJdeux matrices carrées d"ordrenoùJne possède que des coefficients égaux à 1. On a alorsJMJ=λJoùλest la somme de tous les coefficients deM:(((1 ... 1......

1 ... 1)))

(a

11...a1n......

a n1...ann))) (1 ... 1......

1 ... 1)))

=((((((((n k=1a k1...n∑ k=1a kn n∑ k=1a k1...n∑ k=1a kn))))))))

1 ... 1......

1 ... 1)))

(n ?=1? n∑ k=1a k?? ...n∑ ?=1? n∑ k=1a k?? n∑ ?=1? n∑ k=1a k?? ...n∑ ?=1? n∑ k=1a k??))))))))) n∑ ?=1? n∑ k=1a k??

J1.5 Transposée

Définition 4 :SoitA?Mn,p(K)telle queA= (aij).

On appelle transposée deAla matrice notée,tAouAT, dont on a inversé lignes et colonnes : tA?Mp,nettA= (aji) •Linéarité :?A,B?Mn,p(K),λ,μ?K:t(λA+μB) =λtA+μtB

•Produit :?A?Mn,p(K),B?Mp,q(K):t(AB) =tBtA

Exemple :t?1 2 34 5 6?

1 4 2 5 3 6))

PAUL MILAN4CPGE L1 -ALGÈBRE

1. MATRICES ET OPÉRATIONS SUR LES MATRICES

Démonstration :Transposée du produit :

t(AB)? ij= (AB)ji=p k=1a jibki=p k=1b kiajk=p k=1(tBik)(tAkj) = (tBtA)ij

1.6 Matrice définies par blocs

Définition 5 :SoientA?Mn,q,B?Mp,q,C?Mn,retD?Mp,r On définit la matriceM?Mn+p,q+r(K)à l"aide deA,B,CetDpar : qr↔ ↔? ?n?A C p?B D Produit de matrices définies par blocs : avec compatibilité des formats qr↔ ↔? ?A C

B D×? ?q?A?C?

r?B?D?=? ?AA?+CB?AC?+CD? BA ?+BB?DC?+DD? Remarque :Tout se passe avec les blocs comme avec les scalaires.

1.7 Matrices carrées

Théorème 3 :SoientA,B?Mn(K)qui commutent.

On peut alors utiliser la formule du binôme :(A+B)m=m∑ i=0? m i? A iBm-i Remarque :A l"ordre 2 :(A+B)2=A2+AB+BA+B2AB=BA=A2+2AB+B2

Exemple :SoitA=((

1 3 4 0 1 0

0 0 1))

etJ=(( 0 3 4 0 0 0

0 0 0))

Il est clair queA=I3+J, etJ2=0?Ji=0,i?2

Comme la matrice identité commute avec toute matrice, d"après la formule du binôme : A n= (I3+J)n=n∑ i=0? n i? I i3Jn-i=?n n-1? I n-13J1++In3J0=nJ+I3=((

1 3n4n

0 1 0

0 0 1))

Définition 6 :SoitA?Mn(K).

•On dit queAest symétrique sitA=A

•On dit queAest antisymétrique sitA=-A

PAUL MILAN5CPGE L1 -ALGÈBRE

1. MATRICES ET OPÉRATIONS SUR LES MATRICES

Remarque :SiAest antisymétrique alors sa diagonale est nulle.

Exemple :

1 24
236
465))
est symétrique et(( 0 -1-2 103

2-30))

est antisymétrique. Définition 7 :Matrice diagonale, scalaire et triangulaires. •Un matrice carrée est scalaire si elle est de la formeλIn,λ?K •Une matrice carrée est triangulaire supérieures (resp. inférieure) si ses coeffi- cients situé au dessous (resp. au dessus) de sa diagonale sont nuls

Exemples :

•Matrice diagonale :(((a

1... a n)))•Matrice scalaire :(((λ

•Matrice triangulaire supérieure(((((a

11a12...a1n

a

22...a2n......

a nn)))))•Matrice triangulaire inférieure(((((a 11 a

21a22.........

a n1an2...ann))))) Théorème 4 :Toute combinaison linéaire et tout produit de matrice triangu- laires supérieures (resp. inférieure) est une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure)

1.8 Trace d"une matrice carrée

Définition 8 :SoitA?Mn(K).

On appelle trace deA, notée tr(A)la somme des coefficients diagonaux deA. •Linéarité :?A,B?Mn(K),λ,μ?K, tr(λA+μB) =λtr(A) +μtr(B) •Produit de matrices :?A,B?Mn(K), tr(AB) =tr(BA)

Démonstration :Produit de matrices :

tr(AB) =n∑ k=1(AB)kk=n∑ k=1n∑ ?=1a k?b?k=n∑ ?=1n∑ k=1b ?kak?=n∑ ?=1(BA)??=tr(BA)

PAUL MILAN6CPGE L1 -ALGÈBRE

2. SYSTÈMES LINÉAIRES

2 Systèmes linéaires

2.1 Définition

Définition 9 :SoientA?Mn,p(K)etB?Kn.

Le système(n×p)d"inconnueX?Kpdéfini par : ?a

11x1+a12x2+···+a1pxp=b1

a

21x1+a22x2+···+a2pxp=b2

a n1x1+an2x2+···+anpxp=bn peut s"écrire matriciellement comme :AX=B

Le système est dit homogène siB=0(0Kn).

L"application deKpdansKn:X?-→AXest linéaire : ?X,Y?Kp,λ,μ?K,A(λX+μY) =λ(AX) +μ(AY)

Exemple :Soit le système :?1 2 34 5 6?

(x y z)) =?14? ??x+2y+3z=1

4x+5y+6z=4

2.2 Ensemble solution

Théorème 5 :SoientAMn,p(K)etB?Kn.

Le systèmeAX=B, avecX?Kpest

•Soit incompatible s"il n"a pas de solution.

•Soit compatible. Les solutions peuvent alors se décomposer selon le principe :

Solution générale de

AX=B=Solutionparticulière+Solution générale de AX=0

Démonstration :

Soit le systèmeAX=Bcompatible dontXpartest une solution particulière :

AX=B?AX=AXpart?A(X-Xpart) =0

?X-Xpartest une solutionXhomdu système homogène associé ?X=Xpart+Xhom

Exemple :Solution du système(S):?x+2y+3z=1

4x+5y+6z=4

PAUL MILAN7CPGE L1 -ALGÈBRE

2. SYSTÈMES LINÉAIRES

•X= (1,0,0)est une solution particulière de(S) •Le système homogène associé est :?x+2y+3z=0

4x+5y+6z=0??x+2y=-3z

4x+5y=-6z??-4x-8y=12z

4x+5y=-6z??x=z

y=-2z

•Les solutions de(S)sont :

X= (1,0,0)?

sol. part.+(z,-2z,z)z?K???? sol. syst. hom.= (1,0,0) +Vect[(1,-2,1)]

Remarque :On rappelle que Vect(x1,x2,...,xn) =?

n∑ i=1λ ixi,λi?K?

Géométriquement Vect

[(1,-2,1)]est la droite de vecteur directeur(1,-2,1)

2.3 Algorithme du pivot

On passe d"un système(S)à un système(S?)équivalent par combinaison de lignes. On adopte les conventions suivantes : opération élémentairecodage

Échange des lignesietjLi↔Lj(permutation)

Multiplication de la ligneiparλ(λ?=0)Li←λLi(dilatation) Addition de la ligneid"un multiple de la lignejLi←Li+λLj(transvection) Propriété 1 :Il s"agit par étapes successives de transformer un système(S)en unsystème échelonné(S?)qui lui est équivalent. Soit l"inconnue du système :X= (x1,x2, ... ,xp).quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45