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Chapitre4

Fractionsrationnelles-

4.1Fractio nsrationnelles

Danstoutlep aragraphe,Kd´esigneuncorpscommutati f(dansl apratiqueRouC).

4.1.1Construction desfractions

Relationd'´equivalence

Surl'ense mbledescouples(A,B)de K[X]!K[X]

,ond ´efi nitlarelation"par(A,B)"(C,D) siAD=BC .

Proposition4.1"estune relationd'´ equivalence.

D´emonstration:Montronsque"estunere lationr´efle xive,sym´etriquee ttransitive. •PourA#K[X] ,ona A.A=A.Adon c(A,A)"(A,A)."estr´efle xive. •Soient(A,B)et (C,D)dansK[X]!K[X] .Su pposons(A,B)"(C,D).Onaalor sAD=BC doncCB=DA.P arsuite (C,D)"(A,B)."estbien sym´etrique. •Soient(A 1 ,B 1 ),(A 2 ,B 2 )et(A 3 ,B 3 )dan sK[X]!K[X] .Su pposons(A 1 ,B 1 )"(A 2 ,B 2 )et (A 2 ,B 2 )"(A 3 ,B 3 ).Onaal orsA 1 B 2 =B 1 A 2 etA 2 B 3 =B 2 A 3 etdoncA 1 B 2 A 2 B 3 =B 1 A 2 B 2 A 3

CommeB

2 A 2 $=0,l apr oposition 1.9(int´egrit´edeK[X])condui t`aA 1 B 3 =B 1 A 3 soit (A 1 ,B 1 )"(A 3 ,B 3 )."esttransit ive.! D´efinition4.2Onapp ellefractionrationnelletouteclassed'´ equivale ncepour".L'ensemble desfracti onsrationnellesestnot´eK(X). Notation.Lacl assed'´equivalenc ede(A,B)estn ot´eeF= A B etondit que A B estun repr´esentantdeF.

Remarque.Onadon cpar d´efinition :

A B C D %&AD=B C

Exemple.(3X

3 +3X 2 ,X 3 +3X 2 +2X) "(3X,X+2) donc 3X 3 +3X 2 X 3 +3X 2 +2X 3X X+2

4.1.2Op´eratio nssurlesfractions

PropositionetD´efinition4.3Soient

A B et C D deux´el´ ementsdeK(X).Lafractionrationnelle

AD+B C

BD estind´ep endanteduchoixdesrepr´esentantsde A B et C D .Onl'appellesommedes 25

26CHAPITRE4.FRACTIONSRA TIO NNELLES-D

ECOMPOSITIONEN

EL

EMENTSSIMPLES

fractions A B et C D eton note A B C D

AD+B C

BD

D´emonstration:Supposonsdonc

A B A 1 B 1 et C D C 1 D 1 .On adoncAB 1 =BA 1 etCD 1 =DC 1

Onveu tmontrerque

A 1 D 1 +B 1 C 1 B 1 D 1

AD+B C

BD .Or(A 1 D 1 +B 1 C 1 )BD=A 1 BDD 1 +DC 1 BB 1 donc(A 1 D 1 +B 1 C 1 )BD=AB 1 DD 1 +D 1 CBB 1 =B 1 D 1 (AD+BC) .Le r´esultatend´ ecou le.

PropositionetD´efinition4.4Soient

A B et C D deux´el´ ementsdeK(X).Lafraction AC BD est A B et C D

Onl' appelleproduitdesfracti ons

A B et C D eton note A B C D AC BD

D´emonstration:Supposonsdonc

A B A 1 B 1 et C D C 1 D 1 .On adoncAB 1 =BA 1 etCD 1 =DC 1

Onche rche`amontrerque

A 1 C 1 B 1 D 1 AC BD .Or onaA 1 C 1 BD=A 1 BC 1 D=AB 1 CD 1 donc A 1 C 1

BD=A CB

1 D 1 .Ler ´es ultatend´ecoule.!

Th´eor`eme4.5(K(X),+,!)estunc orpsco mmutatif.

D´emonstration:Lav´ erificationdetouteslespropri´et´es caract´e risantuncorpscomm utatifest

simpleetm´ethodiq uemaisl ourde.Elleestdonclaiss´ee`atitred' exercice. Onremarquerajuste icique: •leneut repourl'additionest 0 1 etsera not´esimpleme nt0. •leneut repourlamultiplicati onest 1 1 etsera not´esimpleme nt1.L'inverse delafraction rationnellenonnulle A B estlafrac tion B A A 1 v´erifie: *(A,B)#K[X] 2 !(A+B )=!(A)+!(B)et!(A.B)= !(A).!(B)•! 1 K[X] =1 K(X) Onditq ue!estunmorphismed'anneaux(uni taires).L'application!estdepl usinje ctive (onidentifie radoncdor´enavantlepoly nˆomeAetla fraction rationnelle A 1

D´emonstration:Celar´esulte demani`ereimm´ediatedesd´ efiniti onsdesop´erations(addition et

multiplication)dansK(X).!

4.1.3Former´edui te-Pˆoles-Z´ero s

Toutefractionrat ionnelleadmetaumoinsu nrepr´esentantirr´eductible (A 0 ,B 0 )(c'est`adire telqueA 0 etB 0 soientpremiersen treeux). Onpeut choisirunrepr ´esentantprivil´egi ´e:une fractionrationnelleFestditesousforme r´eduiteouen coresousformeirr´edu ctiblequandelleest´ ecriteF= A B ,o` uAetBsontd es polynˆomespremiersentreeu xetBestunitaire. Proposition4.7Unefr actionrationnelleauneunique former´eduite.SiF= A B ,ontrouvesa former´ed uiteencalculantunpgcdDdeAetB,enend´eduisant(par"simplification»parD) unre pr´esentantirr´eductible A 0 B 0 ,etensimplifiantfinalementparlecoe cientdominantdeB 0 4.2.D

ECOMPOSITIONEN

EL

EMENTSSIMPLES27

D´emonstration:Lepr oc´ed´edeconstructiond´ecrit danslap ropositionassurel'existencede laform er´eduite.Mon trons-enl'unicit´e.Supposonsd oncF= A B A 1 B 1 avecpgcd(A,B)=1, pgcd(A 1 ,B 1 )=1etBetB 1 unitaires.OnaalorsAB 1 =A 1 BetB 1 diviseA 1

Betestpremier

avecA 1 .Lel emm edeGaussentraˆın ealorsq ueB 1 diviseB.Demˆeme,Bd iviseAB 1 etest premieravecAdoncBdivis eB 1 .Il s'ensu itl'existenced'uneconstan tecdansKtelleque B=cB 1 .BetB 1

´etantunitaires, onafinalementB=B

1 etparsu iteauss iA=A 1

D´efinitions4.8SoitF=

A B unefract ion´ecritesousformeirr´educt ible.OnappellepˆoledeF touteracine deB.Onditqueaestunpˆoled'ordre ndeFsiaestunera cinedem ultiplicit´e Onappe llez´erodeF(dansK)touteracinedeA(dansK).La multiplicit ´eduz´eroestsa multiplicit´eentantqueracinedeA. Remarque.Unefract ionrationnelledeK(X)aunn ombr efinide pˆoles.Unefraction rationnelle nonnull eaunnombrefinide z´e ros.

Exemple.SoitF(X)=

X 2 '3X+2 X 4 '1 .Fn 'e stpassousformeirr´ educti ble,carona : F(X)= (X'1)(X'2) (X'1)(X+1)(X 2 +1) X'2 (X+1)(X 'i)(X+i) Lespˆole sdeFdansCsontdonc'1,iet'i(ilssonttoussi mples).2 estl'uniq uez´erodeF.

4.2D´ecom positionen´el´ementssimples

4.2.1Partieenti `ered'unefractionrati onnelle

PropositionetD´efinition4.9SoitF=

A B unefracti onrationnelle.Il existeununique polynˆomeEetun unique polynˆomeAquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45