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Massena ECS 1semaine du 15 septembre 2009Calculs de sommes doubles

Correction à lire... évidemment

Exercice :

1.CalculerS:=?

preuve :Nous pouvons réécrire la sommeSsous la forme :n? i=1n j=1min(i,j). par définition même dumin(i,j), nous choisissons d"écrireS: S=n? i=1? i? j=1min(i,j) +n? j=i+1min(i,j)? n? i=1? i? j=1j+n? j=i+1i?

Sachant que

i? j=1j=i(i+1)2 etn? j=i+1i=i(n? j=i+11) = (n-i)i,Sest égal à n i=1? i(i+1)2 + (n-i)i? =n? i=1?(n+12 )i-12 i2? = (n+12 )n? i=1i-12 n i=1i2 (2n +1)2 n(n+1)2 -n(n+1)(2n+1)12 =n(n+1)(2n+1)6

Nous obtenons donc

2.En déduire la valeur de

preuve :Nous savons quemax(i,j) =n-min(n-i,n-j). Donc i=1n j=1max(i,j) n? i=1n j=1(n-min(n-i,n-j)) =n? n? i=1n j=11? -n? i=1n j=1min(n-i,n-j) =n3-n? i=1n j=1min(n-i,n-j)

De façon générale, nous savons que

n? k=1a n-k=n-1? k=0a k=n? k=1a k-1. Donc en effectuant le changement pourjet ensuite pourinous obtenons n i=1n j=1min(n-i,n-j) =n? i=1n j=1min(n-i,j-1) =n? i=1n j=1min(i-1,j-1) Sachant quemin(i-1,j-1) = min(i,j)-1, nous avonsn? i=1n j=1min(n-i,n-j) =S-n? i=1n j=11 =S-n2.

En conclusion,

n(n+1)(4n-1)6

Finalement,

3.En déduire la valeur de

preuve :Pour toutietj, nous avons par définition de la valeur absolue|i-j|= max(i,j)-min(i,j). Donc -n(n+ 1)(2n+ 1)6 =n(n+ 1)(n-1)3

En conclusion

Exercice :DéterminerS:=n?

i=1n j=1ii+j. preuve :les variablesietjdans la sommen? i=1n j=1ii+jsont des variables muettes. nous pouvons donc les intervertir : n i=1n j=1ii+j=n? j=1n i=1jj+i n? i=1n j=1jj+i(intervertion des deux sommes)

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