PGCD, PPCM EXERCICES CORRIGES Exercice n°1 Déterminer l'ensemble des diviseurs communs à 375 et 2070 Exercice n°2 Si on divise 4 373 et 826
40 48 Exercice 2 a - 1 doit être un multiple commun à 9 et 12 PPCM(9 , 12) = 36 a - 1 doit donc être un multiple de 36 (inférieur à 149 car a est inférieur à 150)
Corrigés des exercices d'arithmétique (diviseurs, multiples, PGCD, PPCM, ) Exercice 1 Soit un nombre entier à trois chiffres cdu cdu 100c 10d u 99c c 9d d u
PGCD - PPCM – NOMBRES PREMIERS – Exercices corrigés Exercice 1 1- Etablir que : quel que soit (a, b, q) ∈ Z, pgcd( a, b) = pgcd (b, a-bq) 2- Montrer que
Feuille 3 : Divisibilité, PGCD, PPCM Divisibilité Exercice 1 : Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1) Tout multiple de 3 est multiple de 9
Divisibilité dans l'anneau Z P G C D et P P C M IV Nombres 2) Lire le corrigé des exercices 1 à 8 (sauf exercice 4) de la fiche division euclidienne 3) Finir la
Dans des exercices on où cherche des multiples communs à deux nombres on peut, même si l'énoncé ne demande pas de trouver le plus petit d'entre eux,
Exercice 1 Question de cours (3 points) 1) L'équation ax+by = c admet des solutions entières si et seulement si c est un multiple du PGCD(a,b) 2) Dans le
23 juil 2016 · Pgcd, ppcm - Correction EXERCICE 1 Connaissance Voir le cours EXERCICE 2 Histoire de billes Soit a et b les nombres de billes des
exercices de synthèse-http://www toupty com/exercice-math-3eme html Corrigé de l'exercice 1 En déduire le PGCD et le PPCM des nombres 430 et 440
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Terminale S spé
Correction contrôle de mathématiques
du mardi 06 décembre 2011
Exercice 1
Question de cours. (3 points)
1) L'équationax+by=cadmet des solutions entièressi et seulement sicest un multiple
duPGCD(a,b). 2)
Danslesens?
ax+by=cadmet une solution (x0,y0).
CommeD=PGCD(a,b) diviseaetbil diviseax0+by0.
Ddivise doncc
Danslesens?
cest un multiple deD=PGCD(a,b).
Donc il existe un entier relatifktel que :c=kd
De l'égalité de Bezout, il existe deux entiers relatifsuetvtels que : au+bv=D
En multipliant park, on obtient :
auk+bvk=kD?a(uk)+b(vk)=c
Donc il existex0=ukety0=vktels queax0+by0=c
3) L'équation 6x+3y=1 n'admet pas de solutions entières car pgcd(6,3)=3 et 1 n'est
pas multiple de 3 L'équation 7x+5y=1 admet des solutions entières car pgcd(7,5)=1 et 1 est multiple de 1.
Exercice 2
pgcd et ppcm. (3 points)
1) On a avec l'algorithme d'Euclide :
7545=2012×3+1509
2012=1509×1+503
1509=503×3
donc le pgcd(2012,7545)=503.
2) On a :
(-2)(7k+3)+7(2k+1)=-14k-6+14k+7=1 Donc il existe (u,v)=(-2;7) tel queu(7k+3)+v(2k+1)=1 D'après le théorème de Bezout, les nombres 7k+3 et 2k+1 sont premiers entre eux.
Paul Milan 1 sur 4 6 décembre 2011
correction contrˆole de math´ematiquesTerminale S spé
3) Soitxety,x a alors : x=dx?y=dy?avec PGCD(x?,y?)=1 etm=dx?y? En remplaçant, on trouve :
156=12x?y??x?y?=13
or 13 n'a que deux diviseurs 1 et 13, doncx?=1 ety?=13 qui sont premiers entre eux. Les deux entiers sont doncx=12 ety=6×13=156. Exercice 3
Vrai - Faux (5 points)
1) Laproposition 1 est faussecar pourn=4, on a 3n=12 et 2n+1=9 et pgcd(12,9)=
3 2) Laproposition 2 est vrai :En effet le couple (-1;-1) est solution de (E) : 3x-5y=2
car 3(-1)-5(-1)=-3+5=2. Soit (x,y) la solution générale de (E). On a alors :?3x-5y=2 3(-1)-5(-1)=2
Par soustraction des deux équations on obtient : (1) : 3(x+1)=5(y+1) 5 divise 3(x+1) comme 5 et 3 sont premiers entre eux, d'après le théorème deGauss,
5 divise (x+1), on al alors :
x+1=5k k?Z En remplaçant dans (1), on obtient alors :y+1=3k. Les solutions sont donc de la forme :x=-1+5kety=-1+3k. 3) Laproposition 3 est fausseEn effet 7×1+5×(-2)=7-5=2, or 7 et 5 sont
premiers entre eux. 4) Laproposition 4 est fausseCherchons les racines de l'équation (E), on a :
Δ =522-4×480=784=282
On obtient alors les racines :x1=52+28
2=40 etx2=52-282=12
Or le pppcm est un multiple du pgcd ce qui n'est pas le cas avec 40 et 12. Exercice 4
Nouvelle-calédonie dec 2007 (partiel) (4 points) 1) a) (E) n'a pas de solution entière car le pgcd(65,40)=5, 1 n'est pas multiple de 5,
d'après le corollaire de Bezout cette équation n'a pas de solution. b) Par contre pgcd(17,40)=1 et 1 est multiple de 1, donc d'après ce même théorème, (E?) admet des solutions entières. Paul Milan 2 sur 4 6 décembre 2011
correction contrˆole de math´ematiquesTerminale S spé c) On a : 40=17×2+6 (1)
17=6×2+5 (2)
6=5×1+1
On remonte l'algorithme
5=6-1 en remplaçant dans (2)
17=6×2+6-1
17=6×3-1 donc 6×3=17+1 en remplaçant dans (1)×3
40×3=17×6+17+1
40×3=17×7+1
On a alors 17×(-7)-40×(-3)=1. On obtient alors la solution (-7;-3) d) Soit (x,y), la solution générale de (E?), on a alors : ?17x-40y=1 17(-7)-40(-3)=1
Par soustraction des deux équations, on a :
17(x+7)=40(y+3) (1)
40 divise 17(x+7), comme 40 et 17 sont premiers entre eux, d'après le théorème
de Gauss, 40 divise (x+7) ?k?Zx+7=40k En remplaçant dans (1), on obtient :y+3=17k
Les solutions (x,y) sont de la forme :
?x=-7+40k y=-3+17kk?Z Si 17x0≡1 [40], alors 17x0=1+40ydoncx0est solution de (E?), donc : 0?-7+40k<40?7
40?k<4740soitk=1
x 0=33 2) Commea17≡b[55]??a17?33≡b33[55]?a17×33≡b33[55]
d'après la question précédante 17×33≡1 [40]?17×33=1+40k Comme de plusa40≡1 [55], on a donc :
a 17×33≡?a40?k×a≡a[55]
On a donc :b33≡a[55]
Paul Milan 3 sur 4 6 décembre 2011
correction contrˆole de math´ematiquesTerminale S spé Exercice 5
Antille Guyane juin 2001 (5 points+1 point bonus)
1) a)adoit diviser?etL. Doncamax=pgcd(?,L)=pgcd(882,945)
Par l'algorithme d'Euclide :
945=882×1+63
882=63×14
On a donc :amax=63
Les valeurs possibles pourasont les diviseurs de 63 :a?{1,3,7,9,21,63} b) Le volume de la boîte B est :v=?2×L, on a donc :?2×L=77 760 On sait que :amax=pgcd(?,L)=d=12
On pose :?=d??etL=dL?avec pgcd(??,L)=1 , on a alors : v=d3??2L?d'où??2L?=77 760 123=45
Comme 45=12×45 ou 45=32×5 on en déduit alors : (??,l?)=(1,45) ou (??,l?)=(3,5), les dimensions de la boîte B droit sont donc : ?=12 etL=12×45=540 ou?=12×3=36 etL=12×5=60 2) a)cdoit être multiple de?etL, on a donc :cmin=ppcm(?,L)=ppcm(882,945),
donc : c min=?×L pgcd(882,945)=882×94563=13 230 Les valeurs possibles pourcsont les multiples positifs de 13 230 b)(bonus)Le volume de la boîte B est :v=?2×L, on a donc :?2×L=15 435 On sait que :cmin=ppcm(?,L)=m=105
On pose :?=d??etL=dL?avec pgcd(??,L)=1 , on a alors : m=d??L?etv=d3??2L?=d??L?×d2??=md2??doncd2??=15 435 105=147
or 147=3×72et???105 on en déduit alors :d=7 et??=3 Dem=d??L?on en déduit que :L?=m
d??=10521=5 Les dimensions de la boîte B sont donc :?=7×3=21 etL=5×7=35 Paul Milan 4 sur 4 6 décembre 2011
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