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Espaces affines 1 1 Structure d'espace affine Le plan et l'espace de la géométrie élémentaire (celle qu'on enseigne au coll`ege et au lycée) peuvent être 

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Démonstration C'est du cours d'alg`ebre linéaire Lemme D 2 Soient A et B deux sous-espaces affines de X 

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Chapitre1

Espacesaffines

1.1Structured"espaceaffine

inverse:Onsouhaite´etudierdesensemblesdepointsenr´ef´erence`aleurespace vectoriel

φ:E×E→V,

quisatisfait:

1. larelationdeChasles:

2.pourtoutpointOdansE,l"application

O:E→V

M?→φ(O,M)

estbijective. notammenten g´eom´etrie´el´ementaire,est--→MN.Ilestsouventcommode denoter-→Ela directiondel"espaceaffineE. 2 Remarque1.1.3.Sil"applicationφv´erifielarelationdeChasles,ets"ilexisteun point

φ:(u,v)?→v-u,

φ:(u,v)?→v-u,

Translation

telque---→MM?=-→u.

Remarque1.1.7.LepointM?=t?

Dimension

Rep`erecart´esien

etd"unebasedeladirection:

R=(O,B)=(O;e1,...,en).

3

1.2Sous-espaceaffine

SoitEunespaceaffinededirection-→E.Etantdonn´eun pointAdeEetunsous- espacevectorielWde-→E,l"ensemble

F={M?E,--→AM?W}

ensembledelaformeA+W. Unsous-espaceaffinedeEestdoncd´etermin´eparun pointetunedirectionquiest unsous-espacevectorielde-→E. F

Parall´elisme

`aunsous-espaceaffinedonn´e. vide.

Repr´esentationparam´etrique

forme x=At+b, 4 param`etres. tionrg(A).

Equations

Proposition1.2.8.Une´equation

n k=0α kxk=b, dimensionn-1):unhyperplanaffine. tion): Ax=b,

Exemplesendimension3

cart´esiendeE.Soitlespoints A 1 2 3è ,BÖ 2 -1 2è ,CÖ 0 1 -2è lesdroites D 1:? ?x=3-λ y=1+2λ z=-1+λ(λ?R)etD2:? ?x=1+3μ y=-2μ z=3+5μ(μ?R) lesplans P 1:? ?x=1-2λ+3μ y=-2+λ+μ z=4-λ-2μ(λ,μ)?R2 P

2:2x-y+3z-1=0;(P3)x+2z-4=0.

5 soitparall`ele`aQ.

6.D´eterminerP1∩P2∩P3.

etcoupantD1.

1.3Barycentres

S=((A1,α1),...,(Ak,αk)).

Lepoidstotaldusyst`emeestlasomme:p=?k

i=1αi. alorsilexisteununiquepointGtelque: k i=1α i--→GAi=-→0.

Cepoints"appelle lebarycentredusyst`eme.

Etantdonn´eun pointO,lebarycentreGestd´etermin´epar: k? i=1α i?-→OG=k? i=1α i--→OAi. poidstotal´egal`a1. 6 uncorpsdebaseKdont lacaract´eristiqueestnonnulle). sietseulementsi-→AB=--→DC. l"intersection.NaturedelafigureIJKL. (BC),(CA),et(AB). A?B

A?C×

B?C

B?A×

C?A

C?B=-1

2.R´eciproque.

Figure1.1-Exercice1.3.5

Sous-espacesaffinesetbarycentres

7 PourA?X,ladirectiondeB(X)estlesous-espace vectorielengendr´epar {--→AM,M?X}. unrep`ereaffinedeF.

Convexit´e

seulementsi elleeststableparbarycentres`acoefficientspositifs. l"ensembleC(X)desbarycentresdespointsdeXavec coefficientspositifsestleplus petitconvexedeEcontenantX.C"estl"enveloppe convexedeX. plane

Th´eor`emedeThal`es.

Th´eor`emedeM´en´elaus.

Th´eor`emedeCeva.

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