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Theorie des Jeux

Jeux RepetesMarc Plantevit

marc.plantevit@univ-lyon1.fr Jusqu'a maintenant, nous avons etudie uniquement des situation ou

l'interaction n'a lieu qu'uneseule foisentre les joueurs.Or beaucoup d'interaction se deploient dans letempset souvent de

maniererepetee.Vous et votre boulanger. producteur / sous-traitant. Les modeles de jeux repetes servent a analyser la logique de ce type d'interactions de long terme.Les actions immediates d'un joueur auront une in uence sur les actions futures des autres joueurs (emergence de cooperation, execution de menaces, ...).

2Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Concepts abordes

Dans cette partie, nous allons nous interesser aux jeux repetes en information complete :les jeux repetes et innis; la caracterisation des strategies et des gains dans un jeu repete;

le theoreme de tout le monde |folk theorem;le r^ole des menaces rationnelles et des observations imparfaites;

la reputation.

3Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

L'idee de base

L'idee de base peut ^etre illustree par le dilemme du prisonnier auquel deux joueurs sont confrontes de maniere repetee.

Prenons une nouvelle version de ce jeu :Clyde

N D

BonnieN(3,3) (-1,4)

D(4,-1) (0,0)

1 seul equilibre de Nash : (D,D), pareto-domine par (N,N).

Par consequent, s'ils ne jouent qu'une seule fois, les deux prisonniers ontpeu de chances de cooperer (en niant)de maniere a eviter une longue condamnation.

4Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

L'idee de base

L'idee de base peut ^etre illustree par le dilemme du prisonnier auquel deux joueurs sont confrontes de maniere repetee.

Prenons une nouvelle version de ce jeu :Clyde

N D

BonnieN(3,3) (-1,4)

D(4,-1) (0,0)

1 seul equilibre de Nash : (D,D), pareto-domine par (N,N).

Par consequent, s'ils ne jouent qu'une seule fois, les deux prisonniers ontpeu de chances de cooperer (en niant)de maniere a eviter une longue condamnation.

4Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

L'idee de base

L'idee de base peut ^etre illustree par le dilemme du prisonnier auquel deux joueurs sont confrontes de maniere repetee.

Prenons une nouvelle version de ce jeu :Clyde

N D

BonnieN(3,3) (-1,4)

D(4,-1) (0,0)

1 seul equilibre de Nash : (D,D), pareto-domine par (N,N).

Par consequent, s'ils ne jouent qu'une seule fois, les deux prisonniers ontpeu de chances de cooperer (en niant)de maniere a eviter une longue condamnation.

4Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

L'idee de base

L'idee de base peut ^etre illustree par le dilemme du prisonnier auquel deux joueurs sont confrontes de maniere repetee.

Prenons une nouvelle version de ce jeu :Clyde

N D

BonnieN(3,3) (-1,4)

D(4,-1) (0,0)

1 seul equilibre de Nash : (D,D), pareto-domine par (N,N).

Par consequent, s'ils ne jouent qu'une seule fois, les deux prisonniers ontpeu de chances de cooperer (en niant)de maniere a eviter une longue condamnation.

4Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

L'idee principale qui est derriere la theorie des jeux repetes est que, malgre ce resultat fort, la situation de cooperation peut devenirstablesi le jeu estrepeteet si chaque joueur pense que s'il arr^ete de cooperer,

cela supprimera toute possibilite de cooperation a l'avenir.Auquel cas, la perte a long terme peut dominer le gain a court terme

obtenu en ne cooperant pas a une periode.

5Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Jeux repetes nis et jeux repetes innis

Cette distinction fait reference a l'horizon des jeux. Les resultats sont tres dierents entre ces types de jeu. Le jeu doit decrire la situation (jeu ni/inni)telle qu'elle est percuepar les joueurs et non telle qu'elle est objectivement (comme

pourrait le percevoir un observateur exterieur).Ce qui va determiner les resultats est lecomportement des joueurs

et cela depend de leurperceptiondu jeu.6Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Plan

1Emergence de la cooperation : le theoreme de Folk

2Multiplicite des equilibres et des menaces hors equilibre

3Jeux avec horizon ni et deni

4Qualite des produits et reputation

7Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Reprenons le dilemme du prisonnier :

Condamnation courte?nos voleurs recommencent de maniere repetee.Ils jouent au dilemme du prisonnier repete pour toujours.

?Leurs gains portent surla totalite des periodes.Comment pouvons nous representer les gains pour un tel jeu?

Ils additionnent alors leurs gains a travers le temps?

8Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Reprenons le dilemme du prisonnier :

Condamnation courte?nos voleurs recommencent de maniere repetee.Ils jouent au dilemme du prisonnier repete pour toujours.

?Leurs gains portent surla totalite des periodes.Comment pouvons nous representer les gains pour un tel jeu?

Ils additionnent alors leurs gains a travers le temps?

8Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Reprenons le dilemme du prisonnier :

Condamnation courte?nos voleurs recommencent de maniere repetee.Ils jouent au dilemme du prisonnier repete pour toujours.

?Leurs gains portent surla totalite des periodes.Comment pouvons nous representer les gains pour un tel jeu?

Ils additionnent alors leurs gains a travers le temps?

8Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Reprenons le dilemme du prisonnier :

Condamnation courte?nos voleurs recommencent de maniere repetee.Ils jouent au dilemme du prisonnier repete pour toujours.

?Leurs gains portent surla totalite des periodes.Comment pouvons nous representer les gains pour un tel jeu?

Ils additionnent alors leurs gains a travers le temps?

8Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Actualisation d'un

ux de gains Le temps intervient demaniere crucialedans un jeu repete : repetitions du jeu generentun ux d'utilite (gains)pour chaque joueur.A chaque instant ou un joueur doit faire un choix :il doit pouvoir

evaluer les consequences de ce choixpour la suite du jeu.Les joueurs accordent de l'importance a la datea laquelle ils

obtiennent les dierentsgains:1 euro obtenu aujourd 'huin'a pas la m^eme valeur aux yeux d'un joueur que 1 euro qui ne sera obtenu que demain.Quand le joueur doitarbitrer entre 2 possibilites: il doit pouvoir lescomparer?l'actualisation.On peut observer lapreferencede l'agent entreaujourd'hui et demainen lui demandant de nous indiquer legain futur minimal x

t?1qu'il acceptera d'echangercontre un gainxtaujourd'hui.Facteur d'actualisation d'une periode dext?1?xtx

t?1 x

t?VAt?xt?1? ?xt?19Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Actualisation d'un

ux de gains (2) On peut alors utiliser le facteur d'actualisation de l'agent pourcomparer des revenus adierentes datesou pour faire \voyager" les gains dans le temps.Etant donne, l'agent economique seraindierententre obtenirx danstperiodes et obtenirtxaujourd'hui.En economie

Hypothese standard : preference pour le present.

Les agents preferent, toutes choses egales par ailleurs, les revenus

actuels aux revenus futurs.??1.10Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Actualisation d'un

ux de gains (3)

Si le joueur obtient un

ux inni (t? ?0;??) de gainsui?t?, la valeur actualisee au debut du jeu est donnee par : t?0 tui?t?Siui?t? ?u?talors cette valeur actualisee devient : u t?0 t?11?uDe maniere corrollaire, si l'on s'interesse a la VA a partir det?1 : u t?1 t??11??1? u?1?u11Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Actualisation d'un

ux de gains (3)

Si le joueur obtient un

Actualisation d'un

ux de gains (3)

Si le joueur obtient un

Gain pendant le jeu

Gain des joueurs

Les gains des joueurs pour toute la sequence de repetitions du jeu pourraient ^etre representes par la moyenne des gains qu'ils obtiennent a chaque periode.Si les gains du joueuriforment la suite?ui?1?;ui?2?;:::?alors sa fonction de gainsur l'ensemble du jeu est : lim T??1T T t?1u i?t?12Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication Autre possibilite : la valeur actualisee de ses gains sur la totalite de la sequence de jeux : t?1 t?1ui?t?; ? ?0;1? outest lefacteur d'actualisationdu joueuri.

La moyenne de ses gains :

?1???? t?1 t?1ui?t?; ? ?0;1?

Siui?t? ?u?talors cette moyenne est egale au.

NB : cette moyenne facilite la comparaison des gains avec celui du jeu

qui est repete (le jeu d'etape).13Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Autre possibilite : le jeu est repete un nombrenimaisindenide fois.Apres chaque tour, une probabilite 1?qque le jeu s'arr^ete.L'esperance des gains sur la totalite de la sequence :

t?1q t?1ui?t?;q? ?0;1? Plusieurs possibilites pour representer les gains dans unsuper-jeu. Cette approche et la precedente sont equivalentes.

14Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Quels sont les resultats qui emergent si l'on passe d'un jeu

statique au dilemme du prisonnier repete?Le resultat principal :la co operationdevient u nr esultatd' equilibre.

15Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Clyde N D

BonnieN(3,3) (-1,4)

D(4,-1) (0,0)

Considerons la strategie suivante de Bonnie :

elle joueNtant que Clyde joueN;si jamais Clyde joueD, Bonnie joueDjusqu'a la n du jeu.16Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Face a cette strategie de Bonnie, la strategie optimale de Clyde est :

S'il joue tout le tempsN?un

ux continue de gains egaux a 3 jusqu'a la n des temps. La valeur actualisee/esperee de ce gain est : t?03t?31?S'il joueDa un tour :il va obtenir 4 a ce tour mais

0 pour le reste des periodes.

?il a donc inter^et a cooperer si :

31??4??14

?25%17Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication Face a cette strategie de Bonnie, la strategie optimale de Clyde est :

S'il joue tout le tempsN?un

ux continue de gains egaux a 3 jusqu'a la n des temps. La valeur actualisee/esperee de ce gain est : t?03t?31?S'il joueDa un tour :il va obtenir 4 a ce tour mais

0 pour le reste des periodes.

?il a donc inter^et a cooperer si :

31??4??14

?25%17Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication Ces strategies forment un equilibre de Nash (pour?25%) Deux problemes :la multiplicite des equilibres; la particularite des jeux a horizon ni et deni.

18Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Plan

1Emergence de la cooperation : le theoreme de Folk

2Multiplicite des equilibres et des menaces hors equilibre

3Jeux avec horizon ni et deni

4Qualite des produits et reputation

19Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Est-ce que l'equilibre qu'on vient de voir est le seul possible?

Supposons par exemple que Bonnie annonce la strategie suivante :Elle va alterner entre N et D tant que Clyde joue N.

Si jamais Clyde devie et joue D, alors Bonnie jouera toujours D. Si Clyde joue N face a cette strategie, ses gains vont alterner entre 3 et -1 jusqu'a la n des temps.Si Clyde joue D alors il obtient 4 a cette periode mais 0 pour le reste du jeu.

Pour une valeur susamment elevee de, la cooperation est preferable.20Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Equilibre

Si Clyde annonceune menace susantepour inciter Bonnie a respecter sa strategie.Exemple : Jouer D pour toujours si jamais Bonnie arr^ete d'alterner. On peut en imaginer d'autres :un equilibre ou les deux alternent tant que l'autre continue a alterner.

Jeu repete?profusion d'equilibres21Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Structure des equilibres de Nash

Que faut-il pour que les strategies forment un equilibre? On ne peut pas donner a un joueur unevaleur esperee / actualisee strictement negative.En jouant D, chacun peut s'assurer au moins 0. ?Les autres joueurs peuvent utiliser D comme menace : le condamnera cette valeur pour le punir. Par consequent,toute paire de strategies qui donne une valeur esperee strictement positive peut ^etre soutenue comme un equilibre.

22Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Raisonnement correct si jeu a horizon inni, sans actualisation. Jeux avec actualisation ou avec un horizon ni indeni : Une situation qui laisse l'un des joueurstrop prochede 0 ne peut ^etre soutenue comme equilibre.Les joueurs doivent avoirsusamment a perdreen deviant a une etape (suivie par des gains nuls a toutes les autres etapes). Ils respectent alors l'allocation des strategies concernees.? Equilibre.23Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Conclusion

Tout vecteur de gains realisables esperes peut ^etre soutenu a l'equilibre s'il donne a chaque joueurau moins autantque ce qu'il aurait pu esperer si tous les autres joueurs s'etaient ligues contre lui (rationalite individuelle).resultat connu sous le nom dutheoreme de Folkmultiplicite des equilibres de Nash.

24Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Quel est l'inter^et des autres joueurs a punir celui qui a devie de l'accord?La punition peut ^etre tres co^uteuse non seulement pour le puni mais aussi pour ceux qui l'in igent.? Equilibres de Nash bases sur ce type de menace ne sont pas parfait en sous-jeux.

25Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Soit une variante du dilemme du prisonnier

Clyde N D

BonnieN(5,5) (-1,-2)

D(6,-1) (0,-3)

Clyde peut menacer Bonnie de la caler sur un gain nul en jouant D.

26Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Clyde N D

BonnieN(5,5) (-1,-2)

D(6,-1) (0,-3)

Un equilibre de Nash :

Bonnie joue N tout le temps.

Clyde joue N tant que Bonnie joue N et adopte D si jamais Bonnie joue D.Probleme

Bonnie n'aura pas envie de jouer D (siest susamment eleve).Si elle croit que Clyde va executer sa menace.

Mais dicile de croire que Clyde va eectivement executer sa menace :Clyde n'obtiendra pas plus de -2 s'il execute sa menace. en jouant N il obtient au pire -1. ?Bonnie va ^etre incitee a jouer impunement D.La cooperation n'est pas un EPSJ!

27Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Clyde N D

BonnieN(5,5) (-1,-2)

D(6,-1) (0,-3)

Un equilibre de Nash :

Bonnie joue N tout le temps.

Clyde joue N tant que Bonnie joue N et adopte D si jamais Bonnie joue D.Probleme

Bonnie n'aura pas envie de jouer D (siest susamment eleve).Si elle croit que Clyde va executer sa menace.

27Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Clyde N D

BonnieN(5,5) (-1,-2)

D(6,-1) (0,-3)

Un equilibre de Nash :

Bonnie joue N tout le temps.

Clyde joue N tant que Bonnie joue N et adopte D si jamais Bonnie joue D.Probleme

Bonnie n'aura pas envie de jouer D (siest susamment eleve).Si elle croit que Clyde va executer sa menace.

27Theoreme de FollkMultiplicit edes equilibresJeux avec ho rizonni et d eniApplication

Clyde N D

BonnieN(5,5) (-1,-2)

D(6,-1) (0,-3)

Un equilibre de Nash :

Bonnie joue N tout le temps.

Clyde joue N tant que Bonnie joue N et adopte D si jamais Bonnie joue D.Probleme

Bonnie n'aura pas envie de jouer D (siest susamment eleve).Si elle croit que Clyde va executer sa menace.