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Le système Ax = b admet-il une unique sol ? Oui Non Est-ce que la matrice A est inversible ? Oui Non Les colonnes de A sont-elles liées ou libres ? libres

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Les matrices 1 1 Définition Dans tout ce cours, on fixe un corps K : soit R, soit C On appelle matrice `a coefficients dans K la donnée : d'un nombre p de 

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Module 2 – les déterminants M2 1/6 Module 2 : Déterminant d'une matrice Unité 1 : Déterminant d'une matrice 2x2 Soit une matrice A a 2 lignes et 2 colonnes

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Un des usages des déterminants est de caractériser les matrices inversibles Proposition 51 Si A est une matrice triangulaire supérieure ou inférieure, alors on a

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Déterminant d'une matrice carrée de taille 2 Le déterminant de la matrice A = ( a b c d ) `a coefficients dans K est le scalaire det(A) = \ \ \ \ a b c d

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Chapitre 6. Déterminant d"une matrice carrée

§1. Cas d"une matrice 2×2.

Définition. det?ab

c d 2

èmeécriture=

Chapitre 6. Déterminant d"une matrice carrée

§1. Cas d"une matrice 2×2.

Définition. det?ab

c d 2

èmeécriture=????ab

c d ?définition= Chapitre 6. Déterminant d"une matrice carrée

§1. Cas d"une matrice 2×2.

Définition. det?ab

c d 2

èmeécriture=????ab

c d ?définition= ad-bc.

Exemples.

?2 11 3???? =??, det?4 1 -1 3? Chapitre 6. Déterminant d"une matrice carrée

§1. Cas d"une matrice 2×2.

Définition. det?ab

c d 2

èmeécriture=????ab

c d ?définition= ad-bc.

Exemples.

?2 11 3???? =??, det?4 1 -1 3?

A quoi ça sert?

Chapitre 6. Déterminant d"une matrice carrée

§1. Cas d"une matrice 2×2.

Définition. det?ab

c d 2

èmeécriture=????ab

c d ?définition= ad-bc.

Exemples.

?2 11 3???? =??, det?4 1 -1 3? A quoi ça sert? Ca sert, à calculer l"inverse de la matrice (sielle existe), résoudre un système sans faire des échelonnements, tester lié ou libre, base ou pas ... Chapitre 6. Déterminant d"une matrice carrée

§1. Cas d"une matrice 2×2.

Définition. det?ab

c d 2

èmeécriture=????ab

c d ?définition= ad-bc.

Exemples.

?2 11 3???? =??, det?4 1 -1 3? A quoi ça sert? Ca sert, à calculer l"inverse de la matrice (sielle existe), résoudre un système sans faire des échelonnements, tester lié ou libre, base ou pas ...

Exemple (méthode de Cramer).?2 11 3??

x y? 4 -1? a comme solution : Chapitre 6. Déterminant d"une matrice carrée

§1. Cas d"une matrice 2×2.

Définition. det?ab

c d 2

èmeécriture=????ab

c d ?définition= ad-bc.

Exemples.

?2 11 3???? =??, det?4 1 -1 3? A quoi ça sert? Ca sert, à calculer l"inverse de la matrice (sielle existe), résoudre un système sans faire des échelonnements, tester lié ou libre, base ou pas ...

Exemple (méthode de Cramer).?2 11 3??

x y? 4 -1? a comme solution :x=???? 41
2 4 1-1 ?2 11 3????=?? Chapitre 6. Déterminant d"une matrice carrée

§1. Cas d"une matrice 2×2.

Définition. det?ab

c d 2

èmeécriture=????ab

c d ?définition= ad-bc.

Exemples.

?2 11 3???? =??, det?4 1 -1 3? A quoi ça sert? Ca sert, à calculer l"inverse de la matrice (sielle existe), résoudre un système sans faire des échelonnements, tester lié ou libre, base ou pas ...

Exemple (méthode de Cramer).?2 11 3??

x y? 4 -1? a comme solution :x=???? 41
2 4 1-1 ?2 11 3????=?? (x=13

5,y=-65)

Exemple (méthode de Cramer).?2 11 3??

x y? =?4 -1? a comme solution :x=???? 41

135,y=????

2 4 1-1 ?2 11 3????=-65.

Exo.Résoudre?2 11 1??

x y? 4 -1? , puis?a b c d?? x y? =?s t?

Exemple (méthode de Cramer).?2 11 3??

x y? =?4 -1? a comme solution :x=???? 41

135,y=????

2 4 1-1 ?2 11 3????=-65.

Exo.Résoudre?2 11 1??

x y? 4 -1? , puis?a b c d?? x y? =?s t?

Théorème de matrice inverse.

?a b c d? -1 =1 ?a b c d????? d-b -c a?

Exemple (méthode de Cramer).?2 11 3??

x y? =?4 -1? a comme solution :x=???? 41

135,y=????

2 4 1-1 ?2 11 3????=-65.

Exo.Résoudre?2 11 1??

x y? 4 -1? , puis?a b c d?? x y? =?s t?

Théorème de matrice inverse.

?a b c d? -1 =1 ?a b c d????? d-b -c a?

Preuve. Il suffit de multiplier... .

Exemple (méthode de Cramer).?2 11 3??

x y? =?4 -1? a comme solution :x=???? 41

135,y=????

2 4 1-1 ?2 11 3????=-65.

Exo.Résoudre?2 11 1??

x y? 4 -1? , puis?a b c d?? x y? =?s t?

Théorème de matrice inverse.

?a b c d? -1 =1 ?a b c d????? d-b -c a?

Preuve. Il suffit de multiplier... .

Exo.Calculer?2 01 3?

-1 ,?2-1 1 1? -1 ,?2 14 2? -1

§2. Déterminant 3×3 etn×n

Rappel.????a b

c d???? =ad-bc.Définition. ?a b c d e f g h i??????

§2. Déterminant 3×3 etn×n

Rappel.????a b

c d???? =ad-bc.Définition. ?a b c d e f g h i?????? suivant=la 1ecol.?????? ab c de f gh i??????

§2. Déterminant 3×3 etn×n

Rappel.????a b

c d???? =ad-bc.Définition. ?a b c d e f g h i?????? suivant=la 1ecol.?????? ab c de f gh i?????? a·????e f h i????

§2. Déterminant 3×3 etn×n

Rappel.????a b

c d???? =ad-bc.Définition. ?a b c d e f g h i?????? suivant=la 1ecol.?????? ab c de f gh i?????? a·????e f h i???? +(-d)·????b c h i????

§2. Déterminant 3×3 etn×n

Rappel.????a b

c d???? =ad-bc.Définition. ?a b c d e f g h i?????? suivant=la 1ecol.?????? ab c de f gh i?????? a·????e f h i???? +(-d)·????b c h i???? +g·????b c e f????

§2. Déterminant 3×3 etn×n

Rappel.????a b

c d???? =ad-bc.Définition. ?a b c d e f g h i?????? suivant=la 1ecol.?????? ab c de f gh i?????? a·????e f h i???? +(-d)·????b c h i???? +g·????b c e f???? ou bien (on obtient le même résultat) suivant =la 1eligne?????? abc d e f g h i??????

§2. Déterminant 3×3 etn×n

Rappel.????a b

c d???? =ad-bc.Définition. ?a b c d e f g h i?????? suivant=la 1ecol.?????? ab c de f gh i?????? a·????e f h i???? +(-d)·????b c h i???? +g·????b c e f???? ou bien (on obtient le même résultat) suivant =la 1eligne?????? abc d e f g h i?????? =a·????e f h i????

§2. Déterminant 3×3 etn×n

Rappel.????a b

c d???? =ad-bc.Définition. ?a b c d e f g h i?????? suivant=la 1ecol.?????? ab c de f gh i?????? a·????e f h i???? +(-d)·????b c h i???? +g·????b c e f???? ou bien (on obtient le même résultat) suivant =la 1eligne?????? abc d e f g h i?????? =a·????e f h i???? +(-b)·????d f g i???? +c·????d eg h????

Exemple. Calculer

?2-1 1 0 2-1

0 1 0??????

par les deux méthodes.

Calculer

?1 0 0 0

100 2-1 1

a0 2-1

§3. Lié ou libre?

Théorème.SoitAunematrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes : detA?=0detA=0

§3. Lié ou libre?

Théorème.SoitAunematrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes : detA?=0detA=0

Le systèmeA?x=?badmet-il une unique sol.?

§3. Lié ou libre?

Théorème.SoitAunematrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes : detA?=0detA=0 Le systèmeA?x=?badmet-il une unique sol.?OuiNon

§3. Lié ou libre?

Théorème.SoitAunematrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes : detA?=0detA=0quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19