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Déterminant d'une matrice carrée de taille 2 Le déterminant de la matrice A = ( a b c d ) `a coefficients dans K est le scalaire det(A) = \ \ \ \ a b c d
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CHAPITRE I : MATRICES
1 Trace
La trace d"une matrice carréeAest la somme de ses coefficients diago- naux : trA=n X i=1A i;i: Proposition 1.1SoientA2Mm;n(K);B2Mn;m(K), alorstrAB= trBA.2 Déterminant
2.122 SiA=0 B @a b c d1 CA, on posedetA=jAj:=adbc.
Propriétés :
i)detAB= detAdetB; ii)detA6= 0,Ainversible et dans ce cas,A1=1detA0 B @db c a1 C A. 2.233 SiA=0 BBBBB@a
11a12a13
a21a22a23
a31a32a331
CCCCCA, on pose
Propriétés :
i)det0 B BBBB@ 1 2 31C
CCCCA=123;
1 ii)dettA= detA; iii) si Aa deux lignes ou deux lignes égales, alorsdetA= 0; iv)detAB= detAdetB; v)detA=P3i=1(1)i+jaijjAijj=P3j=1(1)i+jaijjAijjoùAijest la matrice22obtenue en barrant la ligneiet la colonnej.
Ces propriétes se démontrent directement à partir de la formule de défi- nition; pour la multiplicativité, les calculs sont un peu longs mais pas trop Définition 1 (la comatrice)On poseeA:= ((1)i+jjAijj)1i;j3.Lemme 2.1On a toujours :
A teA=teAA= detAI3Démonstration :On a :q.e.d.Théorème 2.2Une matriceAest inversible si et seulement si son déter-
minant est non nul.