Ensembles et applications - Exo7 - Cours de mathématiques
ijective si elle injective et surjective Cela équivaut à : pour tout y ∈ F il existe un unique x ∈ E tel
INJECTIONS, SURJECTIONS, BIJECTIONS - Christophe Bertault
lication injective est une application par laquelle on peut « SIMPLIFIER » Pour une Toute application est surjective de son ensemble de définition SUR SON IMAGE Exemple
Injectivité et surjectivité pour des applications quelconques:
que f est injective et que g l'est aussi si f est surjective 2 On suppose g ◦ f surjective Montrer
Chapitre I Applications, généralités
cation est injective et surjective, elle est donc bijective III – Opérations générales sur les
Fonctions et applications - Institut de Mathématiques de Toulouse
t le cas, dire si la fonction est injective, surjective ou bijective 1 1 1 5 5 −5 −5
Applications - Injections - Surjections - Bijections - Lycée d
f est bijective sur F si f est injective et surjective Tout élément de F possède un
§54 Injectivité, surjectivité, bijectivité
?me d'injectivité f est injective ssi l'une des conditions est satisfaite : 1 Un vecteur b quelconque §5 5 Matrice dans d'autres bases, application linéaire sur sev Soit f : E → F une
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CPP - 2013/2014 Algèbre générale I
J. Gillibert
Corrigé du TD n
o6Exercice 1 On considère les applicationsfetgdéfinies par f:R2-→Rg:R-→R2 (x,y)?-→xy x?-→(x,x2)1. Les applicationsf◦getg◦fsont données par
f◦g:R-→Rg◦f:R2-→R2 x?-→f(g(x)) =f(x,x2) =x3(x,y)?-→g(f(x,y)) =g(xy) = (xy,x2y2)2. (a) L"applicationfest-elle injective? En d"autres termes, est-il possible de retrouver un couple
(x,y)à partir de la donnée de son image parf, à savoir le produitxy? La réponse est évidemment non, mais pour préciser cela il convient de fournir un exemple. On peut prendre celui-ci : f(1,1) =f(2,1/2) = 1 ce qui montre quefn"est pas injective.(b) L"applicationfest-elle surjective? Autrement dit, est-il vrai que tout élémentt?Rest l"image
parfd"un certain couple? Pour répondre positivement à cette question il suffit de remarquer que f(1,t) =t doncfest surjective. (c) L"applicationgest-elle injective? Oui, car la donnée du couple(x,x2)permet de retrouverx.Pour répondre à la question en se servant de la définition, on se donne deux réelsxetx?tels
queg(x) =g(x?), c"est-à-dire tels que (x,x2) = (x?,x?2) Alorsx=x?par identification. Ainsi la relationg(x) =g(x?)implique quex=x?, ce qui est la définition de l"injectivité deg.(d) L"applicationgest-elle surjective? Non, car(1,0)n"admet pas d"antécédent parg: en effet, si
c"était le cas, alors on aurait trouvé un réelxtel que(x,x2) = (1,0), c"est-à-dire tel quex= 1
etx2= 0, ce qui est impossible.(e) Grâce à l"analyse réelle (théorème de la bijection), on voit quef◦g:R→Rest bijective, en
particulier elle est injective et surjective.(f) Commefn"est pas injective,g◦fn"est pas injective. En effet, il suffit de récupérer le même
exemple que pourf: g(f(1,1)) =g(f(2,1/2)) = (1,1)(g) Commegn"est pas surjective,g◦fn"est pas surjective. En effet,(1,0)n"admet pas d"antécédent
parg, donc n"admet pas non plus d"antécédent parg◦f. 1Exercice 2
On considère l"applicationfdéfinie par
f:R-→R x?-→x(1-x)1. Soityun réel fixé. On souhaite déterminerf-1({y}), c"est-à-dire l"ensemble des antécédents dey
par la fonctionf, ou encore l"ensemble des solutionsxde l"équationf(x) =y. Or cette équation s"écrit x(1-x) =y c"est-à-dire x2-x+y= 0
Il s"agit d"une équation de degré2enx, dans laquelleyest vu comme une constante. Le discriminant
estΔ = 1-4y. On distingue alors trois cas possibles : (a)Δ>0, c"est-à-direy <1/4. Alors l"équation a deux solutions qui sont 1 + ⎷1-4y2 et1-⎷1-4y2 (b)Δ = 0, c"est-à-direy= 1/4. Alors l"équation a une solution unique :x= 1/2. (c)Δ<0, c"est-à-direy >1/4. Alors l"équation n"admet pas de solution.La fonctionfn"est pas injective, car les réels strictement inférieurs à1/4admettent deux antécé-
dents : par exemplef(0) =f(1) = 0. La fonctionfn"est pas surjective, car les réels strictementsupérieurs à1/4n"admettent aucun antécédent. La valeury= 1/4est particulière car c"est le seul
réel qui admet un unique antécédent parf.2. On peut prendreI=]- ∞,1/2]etJ=]- ∞,1/4]. Alors le théorème de la bijection montre que la
fonction]- ∞,1/2]→]- ∞,1/4]donnée par la même formule quefest une bijection.Exercice 3
Soientfetgles applications deNdansNdéfinies par : f(n) = 2n, g(n) =?n21. (a) L"applicationfn"est pas surjective. En effet,1n"admet pas d"antécédent parf, car il n"existe
pas d"entier naturelntel que2n= 1. Commefn"est pas surjective, elle n"est pas bijective. (b) L"applicationgn"est pas injective. En effet,g(0) =g(1) = 0.2. (a) L"applicationf◦gn"est pas injective, cargn"est pas injective. En effet,f(g(0)) =f(g(1)) = 0.
Par conséquent,f◦gn"est pas bijective. On notera par ailleurs quef◦gn"est pas surjective,
carfn"est pas surjective. (b) L"applicationg◦f:N→Nest donnée par g(f(n)) =g(2n) =?2n2 =?n? Or icinest un entier naturel, donc?n?=n. Autrement dit,g◦fest l"application identité deNdansN. Elle est donc bijective.
Exercice 4
Soit l"applicationh:N2→Ndéfinie par
h:N2-→N (p,q)?-→2p3q 21. On se demande sihest injective. Soient(p,q)et(a,b)deux éléments deN2tels queh(p,q) =h(a,b),
alors nous avons 2 p3q= 2a3bPar unicité de la décomposition d"un nombre en produit de facteurs premiers, on en déduit que
p=aetq=b.2. On se demande sihest surjective. Par unicité de la décomposition d"un nombre en produit de
facteurs premiers, il est clair que5ne peut pas s"écrire sous la forme2p3qavecpetqentiers naturels. Donc5n"appartient pas à l"image deh, c"est-à-dire quehn"est pas surjective.Exercice 5
Soitf:R→Rl"application définie par :
f(x) =?2x?2?x? -11. Pour vérifier que l"applicationfest bien définie, il faut vérifier que le dénominateur2?x? -1ne
s"annule jamais. Or?x?est un entier relatif, donc2?x?est un entier relatif pair. Il n"est donc jamais
égal à1, d"où le résultat.
(a) Soitxun réel quelconque. Alors?2x?et2?x? -1sont des entiers relatifs. Donc leur quotient est un nombre rationnel, autrement ditf(x)appartient àQ. Or il existe des nombres réels qui sont irrationnels (par exemple⎷2), doncfn"est pas surjective. (b) L"applicationfn"est pas injective : en effetf(0) =f(1/3) = 0.2. Soitkun entier relatif. Alors?k?=ket?2k?= 2k, donc
f(k) =2k2k-1.On en déduit que :
f(Z) =?2k2k-1|k?Z?Exercice 6
L"applicationk:R2→R2définie par :
k:R2-→R2 (x,y)?-→(x+y,xy)1. L"applicationkn"est pas injective. En effet,k(0,1) =k(1,0).
2. L"applicationkn"est pas surjective, car(0,1)n"admet pas d"antécédent parf. En effet, si(0,1)
avait un antécédent, alors on aurait trouvé un couple(x,y)?Rtel quex+y= 0etxy= 1, c"est-à-dire tel quey=-xetxy= 1. En particulier on aurait-x2= 1, ce qui est impossible carx est un réel.Exercice 7
Soitf:E→Fetg:F→Gdeux applications.
1. On suppose queg◦fest injective. Nous allons montrer quefest injective. Soientxetx?deux
éléments deEtels que
f(x) =f(x?) alors g(f(x)) =g(f(x?)) doncx=x?par injectivité deg◦f. 32. On suppose queg◦fest surjective. Nous allons montrer quegest surjective. Soity?G, on veut
montrer queyadmet un antécédent parg. On sait, par surjectivité deg◦f, qu"il existex?Etel
que g(f(x)) =y Mais alors,f(x)est un antécédent deyparg, ce qu"on voulait.3. On suppose queg◦fetgsont bijectives. Commegest bijective, elle admet une application
réciproqueg-1:G→F, qui est elle aussi bijective. Mais alors, l"application g -1◦(g◦f)est bijective, car elle est la composée de deux bijections. D"autre part, le produit de composition