?me d'injectivité f est injective ssi l'une des conditions est satisfaite : 1 Un vecteur b quelconque §5 5 Matrice dans d'autres bases, application linéaire sur sev Soit f : E → F une
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Ensembles et applications - Exo7 - Cours de mathématiques
ijective si elle injective et surjective Cela équivaut à : pour tout y ∈ F il existe un unique x ∈ E tel
INJECTIONS, SURJECTIONS, BIJECTIONS - Christophe Bertault
lication injective est une application par laquelle on peut « SIMPLIFIER » Pour une Toute application est surjective de son ensemble de définition SUR SON IMAGE Exemple
Injectivité et surjectivité pour des applications quelconques:
que f est injective et que g l'est aussi si f est surjective 2 On suppose g ◦ f surjective Montrer
Chapitre I Applications, généralités
cation est injective et surjective, elle est donc bijective III – Opérations générales sur les
Fonctions et applications - Institut de Mathématiques de Toulouse
t le cas, dire si la fonction est injective, surjective ou bijective 1 1 1 5 5 −5 −5
Applications - Injections - Surjections - Bijections - Lycée d
f est bijective sur F si f est injective et surjective Tout élément de F possède un
§54 Injectivité, surjectivité, bijectivité
?me d'injectivité f est injective ssi l'une des conditions est satisfaite : 1 Un vecteur b quelconque §5 5 Matrice dans d'autres bases, application linéaire sur sev Soit f : E → F une
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§5.4 Injectivité, surjectivité, bijectivité Définition.On dit qu"une application linéairef:Rn!Rmest injective si deux vecteurs différents ont des images différents surjective
Si Im(f)atteint tout l"espace d"arrivéeRm.
bijective (ou bien un automo rphisme) si n=met quefest inversible. Théorème d"injectivité.fest injective ssi l"une des conditions est satisfaite :1. Un vecteur
~bquelconque de l"espace d"arrivé a au plus un antécédent2. Le vecteur
~0de l"espace d"arrivé a au plus un antécédent3.Ker(f) =~0.
4. Toute colonne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille
lib reSoitf:Rn!Rmune application linéaire.
Théorème d"injectivité.festinjective ssi l"une des conditions est satisfaite :1. Un vecteur~bquelconque de l"espace d"arrivé aau plus un
antécédent2. Le vecteur
~0de l"espace d"arrivé a au plus un antécédent3.Ker(f) =~0.
4. Toute
colonne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille
lib re Théorème d"surjectivité.festsurjective ssi l"une des conditions est satisfaite :1. Un vecteur ~bquelconque de l"espace d"arrivé aau moins unantécédent2. Lerang de festm.3.Im(f) =Rm.4. Touteligne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille
génératriceSoitf:Rn!Rmune application linéaire.
Théorème d"injectivité.festinjective ssi l"une des conditions est satisfaite :1. Un vecteur~bquelconque de l"espace d"arrivé aau plus un
antécédent2. Le vecteur
~0de l"espace d"arrivé a au plus un antécédent3.Ker(f) =~0.
4. Toute
colonne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille
lib re Théorème d"surjectivité.festsurjective ssi l"une des conditions est satisfaite :1. Un vecteur ~bquelconque de l"espace d"arrivé aau moins unantécédent2. Lerang de festm.3.Im(f) =Rm.4. Touteligne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille
génératriceSoitf:Rn!Rmune application linéaire.
Théorème d"injectivité.festinjective ssi l"une des conditions est satisfaite :1. Un vecteur~bquelconque de l"espace d"arrivé aau plus un
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4. Toute
colonne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille
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5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille
génératriceSoitf:Rn!Rmune application linéaire.
Théorème d"injectivité.festinjective ssi l"une des conditions est satisfaite :1. Un vecteur~bquelconque de l"espace d"arrivé aau plus un
antécédent2. Le vecteur
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4. Toute
colonne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille
lib re Théorème d"surjectivité.festsurjective ssi l"une des conditions est satisfaite :1. Un vecteur ~bquelconque de l"espace d"arrivé aau moins unantécédent2. Lerang de festm.3.Im(f) =Rm.4. Touteligne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille
génératriceSoitf:Rn!Rmune application linéaire.
Théorème d"injectivité.festinjective ssi l"une des conditions est satisfaite :1. Un vecteur~bquelconque de l"espace d"arrivé aau plus un
antécédent2. Le vecteur
~0de l"espace d"arrivé a au plus un antécédent3.Ker(f) =~0.
4. Toute
colonne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille
lib re Théorème d"surjectivité.festsurjective ssi l"une des conditions est satisfaite :1. Un vecteur ~bquelconque de l"espace d"arrivé aau moins unantécédent2. Lerang de festm.3.Im(f) =Rm.4. Touteligne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille
génératriceSoitf:Rn!Rmune application linéaire.
Théorème d"injectivité.festinjective ssi l"une des conditions est satisfaite :1. Un vecteur~bquelconque de l"espace d"arrivé aau plus un
antécédent2. Le vecteur
~0de l"espace d"arrivé a au plus un antécédent3.Ker(f) =~0.
4. Toute
colonne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille
lib re Théorème d"surjectivité.festsurjective ssi l"une des conditions est satisfaite :1. Un vecteur ~bquelconque de l"espace d"arrivé aau moins unantécédent2. Lerang de festm.3.Im(f) =Rm.4. Touteligne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille
génératrice §5.5 Matrice dans d"autres bases, application linéaire sur sevSoitf:E!Fune application linéaire, avecE;Fdes sev desRk.SoitU= (~u1;;~un)une base deE, etV= (~v1;;~vm)une
base deF(elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess"il y en a). DoncE=h~u1;;~uni,F=h~v1;;~vmi.Alors l"applicationfest déterminée par son effet sur les~ui. On les
exprime dans les coordonnées deV: f(~u1) =a11~v1+a21~v2++am1~vm=(
~v1~vm)0 B @a 11... a m11 C A=V 0 B @a 11... a m11 C A:f(~u2) =,f(~u3) =,,f(~un) =.En les assemblant, on obtient: (f(~u1);;f(~um)) =V 0 B @a11a1m......
a n1anm1 CAou bienf(U) =VMU;V(f).
Cette matrice est appelée la matrice defdans les basesU;V. §5.5 Matrice dans d"autres bases, application linéaire sur sevSoitf:E!Fune application linéaire, avecE;Fdes sev desRk.SoitU= (~u1;;~un)une base deE, etV= (~v1;;~vm)une
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a n1anm1 CAou bienf(U) =VMU;V(f).
Cette matrice est appelée la matrice defdans les basesU;V. §5.5 Matrice dans d"autres bases, application linéaire sur sevSoitf:E!Fune application linéaire, avecE;Fdes sev desRk.SoitU= (~u1;;~un)une base deE, etV= (~v1;;~vm)une
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~v1~vm)0 B @a 11... a m11 C A=V 0 B @a 11... a m11 C A:f(~u2) =,f(~u3) =,,f(~un) =.En les assemblant, on obtient: (f(~u1);;f(~um)) =V 0 B @a11a1m......
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Cette matrice est appelée la matrice defdans les basesU;V. §5.5 Matrice dans d"autres bases, application linéaire sur sevSoitf:E!Fune application linéaire, avecE;Fdes sev desRk.SoitU= (~u1;;~un)une base deE, etV= (~v1;;~vm)une
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Cette matrice est appelée la matrice defdans les basesU;V. §5.5 Matrice dans d"autres bases, application linéaire sur sevSoitf:E!Fune application linéaire, avecE;Fdes sev desRk.SoitU= (~u1;;~un)une base deE, etV= (~v1;;~vm)une
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exprime dans les coordonnées deV: f(~u1) =a11~v1+a21~v2++am1~vm=(
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a n1anm1 CAou bienf(U) =VMU;V(f).
Cette matrice est appelée la matrice defdans les basesU;V. §5.5 Matrice dans d"autres bases, application linéaire sur sevSoitf:E!Fune application linéaire, avecE;Fdes sev desRk.SoitU= (~u1;;~un)une base deE, etV= (~v1;;~vm)une
base deF(elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess"il y en a). DoncE=h~u1;;~uni,F=h~v1;;~vmi.Alors l"applicationfest déterminée par son effet sur les~ui. On les
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