inégalité de Jensen, 8 de Kolmogorov, 19 de moments de Doob, 20 et S une sous-tribu de J On appelle espérance conditionnelle de Z sachant S, l'unique
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[PDF] Espérance conditionnelle et martingales
Proposition 11 7 (Inégalité de Jensen généralisée) Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé, B une tribu incluse dans A et X une v a r de carré intégrable Soit ϕ une
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E[XkB] = lim inf E[XnB] Pour les derniers points (convergence dominée conditionnelle et inégalité de Jensen conditionnelle) il suffit de reprendre les
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ce cas, l'espérance conditionnelle de X sachant G par la relation Propriété 1 3 [ Inégalité de Jensen] Soient ϕ : IR → IR convexe, X ∈ L1(Ω, F, IP) une var et G
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Proposition (Inégalité de Jensen) Soient X une v a intégrable et G une sous- tribu de F Soit g : R −→ R une fonction convexe telle que E[
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tandis que l'espérance conditionnelle de S sachant X1 est 3, 5X1 propriétés que l'espérance (linéarité, positivité, inégalité de Jensen, théor`emes de conver-
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En effet, (Mn) est adapté d'apr`es la définition de l'espérance conditionnelle, ce qui donne (i) Pour tout n, Mn ≤ E( ξ ¿n) par l'inégalité de Jensen (version
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inégalité de Jensen, 8 de Kolmogorov, 19 de moments de Doob, 20 et S une sous-tribu de J On appelle espérance conditionnelle de Z sachant S, l'unique
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l'espérance conditionnelle de X sachant G si X est intégrable ou si X est Pour tout n, Xn ≤ E( ξ Fn) par l'inégalité de Jensen (version conditionnelle)
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L'inégalité ∫ fn − ∫ f ≤ ∫ fn − f permet alors de conclure 5 Inégalité de Jensen Théorème 4 2 Espérance conditionnelle par rapport à une tribu
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Définissons maintenant l'espérance conditionnelle de X sachant Z comme la variable (Par Jensen juste apr`es, on déduit que E(Xn G) → E(X G), p p 8
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