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C'est l'inégalité de Markov que nous verrons ci-dessous (proposition 5 21) sitive, le théorème de Fubini-Tonelli légitime l'interversion des intégrations, ce qui

15 fév 2010 · Si ∫X f dµ < +∞, alors µ({f = +∞}) = 0 Preuve — Si l'intégrale de f est nulle, on obtient par Markov, pour tout a > 0, µ({f

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16 oct 2018 · 1 4 4 Inégalité de Markov et de Bienaymé-Tchebychev l'intégration de Lebesgue, l'espérance de X est l'intégrale de X contre la mesure P

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Mais par l'inégalité de Markov à nouveau, µ(An) ≤ n−1 ∫ Ef dµ −→ 0 quand n → ∞ 2 Corollaire 7 27 (Lemme de Borel–Cantelli) Soit (An) une suite

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Proposition (Inégalité de Markov) Pour toute fonction mesurable positive f, et tout réel a > 0, µ ({ x ∈ E ∣ ∣ ∣ f(x) ≥ a })

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Par conséquent toute variable aléatoire sur Ω admet une espérance et une variance 1 Une inégalité théorique L'inégalité de Tchebychev (voir [FF] page 90 )

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2 Intégration par rapport `a une mesure 13 7 Martingales et chaınes de Markov Cette inégalité découle de l'inégalité de Markov appliquée `a la variable

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continues, f “ g partout Proposition 7 9 Soient f et g deux fonctions mesurables positives 1 Inégalité de Markov6 : pour tout a ą 0, µptx P E; fpxq ě auq ď 1 a ż