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LGÉOMÉTRIEDANSL"ESPACE2SÉQUENCE2 :E XERCICESDESYNTH ÈSE

EXERCICES3ÈM E

Exercice1

La maquettede maisonreprésen téeci-con treestcomposée : d"un pavédroitdedimensions :

AB= 30cm;AE= 20cm;AD= 5cm

surmontéd"une pyramide dehauteur6cm.1. Calculerle volume V1de cettemaquette.

2. Sachantquecettemaquette estune réductionde coef-

ficient1=50de lamaison réelle,déduire dela premìere question le volumeV2enm3de lamaison. AB C DE F G

HSExercice2

On considèreune pyramide

ABCDOà basecarrée

ABCDreprésentéeci-con tre.

On noteIle piedde la

hauteur dela pyramide etE le milieude [OA]. Ona les dimensions :

AB= 3cm;IO= 4cm

Le planparallèle àla base

passantpar lep oint Einter- cepte lap yramideenformant le quadrilatèreEFGH. ABC DEFG H IO I ?1. a.Quelle estla naturedu quadrilatèreEFGH. b. Justifierque lep oint Fest lemilieu dusegmen t[OB]. c. Que peut-ondire dela pyramide EFGHOvis-à-vis de la pyramideABCDO.

2. a.Déterminer lamesure dusegmen t[EF].

b.Donner l"aireAde labase ABCDet l"aireA′de la vaseEFGH.c. Donnerla valeur durapport

A′A

des aires.3. Laform uled"unepyramide estdonnée parlaformule : 13 V=ABh On admetque OI′= 2cma. Donnerle volume Vde lap yramideABCDOet le volumeV′de lap yramideEFGHO.b. Donnerla valeur durapport

V′V

des volumes.Exercice3 On considèreun cônede rév olutionde hauteur5cmet dont la basea pour rayon2cm. Lep ointAest lesommet ducône etOle centredesa base.Best lemilieu de[AO]. A O B

OA= 5cm

2cm1. Calculerle volume ducôneencm3. Onarrondira à

l"unité. Onrapp ellequelaform uleest V=R2h3

oùhdésignelahauteur etRle rayondelabase. 2. Oneectue lasection ducône parle planparallèle àla

base quipasse parB. Onobtien tainsiunp etitcône. Est-il vraique lev olumedu petitcôneobten uest égalà la moitiédu volume ducôneinitial? Exercice4 On considèrele côneci-con trede sommetSet dontlabase est ledisque dera yon [OA].

Ce cône

a pourhauteurSO= 8cmet pourgénératriceSA=

10cm.Iest unp ointdusegment[SO]telqueSI= 2cm.

AS O

I1. MontrerqueOA= 6cm.

2. Montrerquela valeur exactedu volumeVdu côneest

égale à96 cm3. Donnerla valeur arrondieaumm3près. 3. Déterminer, audegrés près,la mesurede l"angleASÕO.

4. Oncoup ececônepar unplan parallèleà sabase etpas-

santpar lep oint I. Lasection obtenue estundisquede centreI, réductiondu disquede base. a. Déterminerle rapport kde cetteréduction. b. SoitV′le volumeducône desommet Set debase le disque decen treI. ExprimerV′en fonctionde V, puis donner lav aleurarrondiedeV′aumm3près.

Exercice 5

En travaux pratiques de chimie, les élèves utilisent des ré- cipients, appelés erlenmeyers, comme celui schématisé ci- dessous : Le récipient est rempli d"eau jusqu"au niveau maximum indi- qué sur le schéma par une flèche.

On note :

C

1le grand cône de sommetSet de base le disque de

centreOet de rayonOB; C

2le petit cône de sommetSet de base le disque de

centreO′et de rayonO′B′.

On donne :SO= 12cm;OB= 4cmS

O BB ?O?

Niveau

maximum de l'eau 1. Le volumeVd"un cône de révolution de rayonRet de hauteurhest donné par la formule :V=1 3 R2h

Calculer la valeur exacte du volume du côneC1.

2. Le côneC2est une réduction du côneC1. On donne SO ′= 3cm. a.

Quel est le coefficient de cette réduction?

b. Prouver que la valeur exacte du volume du côneC2est

égale à cm3.

3. a. En déduire que la valeur exacte du volume d"eau contenue dans le récipient, encm3, est63. b. Donner la valeur approchée de ce volume d"eau arron- die aucm3près. 4. Ce volume d"eau est-il supérieur à0;2litres? Expliquer pourquoi.

Exercice 6

Répondez aux questions suivantes. Aucune justification n"est demandée. 1.

Le volume du parallélépipède

a été multiplié par 27. De com- bien ont été agrandies ses di- mensions? Et son aire laté- rale?2.Dans cette poele, on peut pré- parer une paella pour trois per- sonnes. En prenant une poele de dimensions quatre fois plus grandes, combien de personnes pourrez-vous inviter? 3.

Le rayon du grand cylindre a été

réduit par deux. De combien son volume a été réduit? De combien a

été réduite son aire latérale?

Exercice 7

1. HH

La hauteur de la grande pyramide

mesure32cm.

La hauteur de la petite pyramide

mesure8cm.

Le volume de la petite pyramide

est de13cm3.

Calculer le volume de la grande pyra-

mide. 2. H H?

Le volume de la grande pyramide

est de576km3.

Le volume de la petite pyramide

est de9km3.

Montrer que l"égalité :

SH′

SH =1 4 3. OO A A ?S

L"aire de la petite base est de

27m2.

L"aire de la grande base108m2.

La hauteur du grand cône de ré-

volution est de1m.

Calculer la hauteur du petit cône de

révolution. 4.BA A

Le volume du petite parallépi-

pède est de14dm3.

Le rapport

BA′

BA des hauteurs des deux parallépipède est de 1=3.

Calculer le volume du grand paral-

lépipède.

Exercice 8*

1. A BC DE FG H IO I

Le coefficient de réduction est de

1 2

Sachant que l"aire de la base de la

grande pyramide est de24m2, cal- culer l"aire de la base de la petite pyramide.

Sachant que le volume de la petite

pyramide est de56m3, calculer le volume de la grande pyramide.

Collège Pablo Casals

2.O A HA ?H? C C ?L"aire de la base du petit cône de révo- lution est de5mm2alors que celle de la base du grand cône est de80mm2.Calculer le coefficient d"agrandissement de l"aire.

En déduire le coefficient d"agrandisse-

ment des dimensions.

Sachant que le grand cône a pour volume

384mm2, déterminer le volume du petit

cône.

Exercice 9*

Un sablier est contitué de deux pyramides superposées comme le montre le croquis ci-dessous. Le sable s"écoule au niveau du pointS. La surface du sable est représentée par le plan A ′B′C′D′horizontal et parallèle aux bases des pyramides

SABCDSA

D C B A ?B? C D ?SA D C BO A ?D? C B ?O La pyramideSABCDest régulière, sa base est un carré ABCD, on rappelle que la hauteur(SO)est perpendiculaire au planABCD. Le niveau du sable est repéré par la longueurSA′sur l"arête de la pyramideSABCD.

On donne :OA= 27mmetSO= 120mm.

Dans tout ce problème,A′est le milieu de[SA]. 1.

Représenter la baseABCDen vraie grandeur.

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