[PDF] [PDF] Intégrale de Riemann - Théorie et pratique avec exercices corrigés

[PDF] Intégration - Licence de mathématiques Lyon 1

Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Répondre L'intégrale sur [0,1] d'une fonction minorée par 1 est inférieure ou égale à 1 5 L'intégrale sur Si pour tout > 0 il existe g Riemann-intégrable sur [ , ] tel que sup [ , ]

[PDF] TD2 : Fonction Riemann intégrable, intégrale de Riemann Exercice

Intégrale de fonctions de la variable réelle TD2 : Fonction Riemann intégrable, intégrale de Riemann Exercice 1 1 Rappeler la définition d'une fonction 

[PDF] intégrales de Riemann - webusersimj-prgfr

Utiliser la fonction indicatrice de Q ∩ [0,1] pour montrer que la Riemann- intégrabilité n'est pas stable par limite simple Exercice 3 Soit f : [a, b] → R une fonction 

[PDF] ———————————– Exercices sur lIntégrale de Riemann

Montrer que f e nécessairement une fonion polynomiale Exercice — Soient (fn)n et (gn)n deux suites de fonions d'un intervalle I vers R, qui 

[PDF] Intégrale de Riemann - Théorie et pratique avec exercices corrigés

1 fév 2014 · Remarque 1 1 5 Une fonction en escalier n'est en fait pas spécifiée aux points ai de la subdivision σ considérée, et l'intégrale I(f,σ) ne dé- pend 

[PDF] Feuille de TD 1

Feuille d'exercices n° 1 Rappel théorique (Définition de l'intégrale de Riemann ) : Soient a f(x)dx = If et on l'appelle l'intégrale Riemann de f Montrer que f n' est pas Riemann intégrable (L'intégrale de Lebesque corrige `a ce défaut, car f 

[PDF] Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 8 - Walanta

Intégration : intégrale de Riemann, primitives, intégrales généralisées Objectifs : Savoir étudier une fonction définie par une intégrale dépendant de l'une de 

[PDF] Calculs dintégrales 1 Utilisation de la définition

Exercice 3 Calculer l'intégrale de f : [a, b] → R comme limite de sommes de Riemann- Darboux dans les cas suivants : 1 f(x) = sinx et f(x) = cosx sur [0, π 2 ]  

[PDF] Intégrale de Riemann Sommes de Riemann 1) 2) π 3) Exercice 8

Intégrale de Riemann Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiffel SeparatorTechniques de calcul Exercice 1 Intégrale de ln x − eit

[PDF] Chapitre 24 SOMMES DE RIEMANN Enoncé des exercices

Exercice 24 10 Soit f continue sur [0,1], déterminer la limite de 1 n n ∑ k=0(n − k)∫ La valeur de cette intégrale est l'aire du demi disque de centre (0, 1 2 )

[PDF] integrale fonction dirac

[PDF] intégrale généralisée exercice corrigé pdf

[PDF] intégrale méthode des rectangles

[PDF] intégrale méthode des trapèzes

[PDF] integrale python

[PDF] intégrale sinus cardinal

[PDF] intégrale stochastique mouvement brownien

[PDF] integrale stochastique pdf

[PDF] intégralité définition

[PDF] integrate python

[PDF] integrated agriculture

[PDF] intégrateur big data

[PDF] intégrateur sap france

[PDF] integrateur sap lyon

[PDF] intégration africaine définition

"RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page i - #3

Table des matières

Avant propos ii

1 Intégrale de Riemann 1

1.1 Intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Fonctions intégrables au sens de Riemann . . . . . . . .

6

1.3 Propriétés générales de l"intégrale de Riemann . . . . . .

16

1.4 Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1 . . . . .

31

2 Primitives et intégrales 55

2.1 Intégrale indéfinie et primitive . . . . . . . . . . . . . .

55

2.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.3 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.4 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.5 Limite uniforme dans les intégrales . . . . . . . . . . . .

80

2.6 Calcul approché d"une intégrale . . . . . . . . . . . . .

82

2.7 Énoncés et solutions des exercices du chapitre . . . . . .

89

3 Intégrales généralisées 141

3.1 Notion d"intégrale généralisée . . . . . . . . . . . . . .

141

3.2 Propriétés des intégrales généralisées . . . . . . . . . . .

146

3.3 Intégrales généralisées des fonctions positives . . . . . .

148

3.4 Calcul pratique des intégrales généralisées . . . . . . . .

151

3.5 Intégration des relations de comparaison . . . . . . . . .

159

3.6 Intégrales semi-convergentes. Règle d"Abel . . . . . . .

163

3.7 Intégrales généralisées et séries . . . . . . . . . . . . . .

165

3.8 Cas des fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . .

168
iRetrouver ce titre sur Numilog.com "RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page ii - #4 ii INTÉGRATION3.9 Énoncés et solutions des exercices du chapitre . . . . . .170

4 Intégrales dépendant d"un paramètre 223

4.1 Intégrales définies dépendant d"un paramètre . . . . . .

224

4.2 Intégration sur un intervalle quelconque . . . . . . . . .

231

4.3 Convergence monotone, convergence dominée . . . . . .

247

4.4 Théorèmes de continuité et de dérivabilité . . . . . . . .

250

4.5 Énoncés et solutions des exercices du chapitre . . . . . .

257

5 Intégrales multiples, intégrales curvilignes 319

5.1 Définition de l"intégrale multiple de Riemann . . . . . .

319

5.2 Théorèmes de Fubini-Tonelli et de Fubini . . . . . . . .

322

5.3 Théorème de changement de variables . . . . . . . . . .

325

5.4 Intégrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

328

5.5 Énoncés et solutions des exercices du chapitre . . . . . .

334

6 Problèmes de révision et de synthèse 369

A Rappels d"analyse fondamentale 477

A.1 Bornes supérieure et inférieure . . . . . . . . . . . . . . 477
A.2 Continuité et limites de fonctions d"une variable . . . . . 479
A.3 Dérivabilité en une variable . . . . . . . . . . . . . . . . 487
A.4 Limite et continuité en plusieurs variables . . . . . . . . 494
A.5 Différentielle et dérivées partielles . . . . . . . . . . . . 497

Bibliographie 503

Index 505Retrouver ce titre sur Numilog.com

"RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page iii - #5

Avant-proposiiiAvant-propos

S"il est incontestable que l"intégrale de Lebesgue constitue aujourd"hui l"un des outils les plus performants pour de nombreuses questions théo- est l"outil incontournable dès lors que se pose la question fondamentale du calcul effectif des intégrales ou de leur approximation. Le but de cet ouvrage est de présenter de manière claire et détaillée la construction de l"intégrale de Riemann ainsi que l"essentiel des théo- rèmes permettant son utilisation pratique. Nous avons essayé d"éviter tout formalisme inutile, et la rédaction de ce travail a d"abord été guidée par un souci pédagogique. Nous avons constamment recherché l"équi- libre nécessaire entre les points de vue théorique et pratique, et avons veillé à ce que les concepts et les méthodes proposés soient illustrés de nombreux exemples. Chacun des cinq premiers chapitres offre un grand choix d"exercices ju- dicieusement sélectionnés en vue d"une bonne assimilation des concepts et d"une réelle maîtrise des techniques. Le chapitre six est lui entière- ment consacré à des problèmes de révision destinés au travail d"appro- fondissement et de synthèse en vue des examens et des concours. Enfin, pour la commodité du lecteur, une annexe regroupe les rappels utiles pour un accès rapide et efficace au contenu de cet ouvrage. Tous les exercices et problèmes proposés sont corrigés en détail et nous que peut découvrir l"étudiant lui-même, à une éventuelle solution "mi- raculeuse". Pour cela, nous avons tenu le plus grand compte des nom- breuses remarques et suggestions formulées par les étudiants lors des séances de travaux dirigés et de préparation aux concours pendant les- quelles un grand nombre de ces exercices et problèmes ont été assidû- ment et activement recherchés. Cet ouvrage bénéficie d"une expérience de plusieurs années en théorie de l"intégration à l"Université d"Angers et, à l"instar de mes collègues

universitaires et professeurs en classes préparatoires, je suis profondé-Retrouver ce titre sur Numilog.com

"RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page iv - #6 iv INTÉGRATIONment convaincu que la maîtrise à la fois conceptuelle et technique de l"intégrale de Riemann est un atout essentiel pour l"accès aux nombreux champs d"applications de l"Analyse mathématique ainsi qu"à la prépa- ration du terrain en vue d"autres théories, notamment celle de Lebesgue. Le contenu de ce livre couvre le programme d"intégration des classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques ainsi que celui correspon- dant aux niveaux L1 et L2 des Facultés de Sciences. Par la diversité des exercices et problèmes qu"il propose, cet ouvrage sera également utile aux candidats au CAPES et à l"agrégation interne. Enfin, ce livre est pourvu d"un index détaillé permettant une approche adaptée aux besoins de chaque lecteur. C"est avec un grand plaisir que j"adresse mes remerciements à monsieur Philippe Fauvernier des Édtions Hermann pour sa parfaite disponibilité, ainsi qu"au Professeur Ivan Lavallée pour ses précieux conseils.

Je dédie ce travail à Frédérique, Karim, Mourad et Nessim.Retrouver ce titre sur Numilog.com

"RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page 1 - #7

Chapitre 1

Intégrale de Riemann

Dans une lettre à Leibniz

1datée du 12 février 1695, Jean Bernoulli2

écrit : "J"ai été le premier à réfléchir à l"inverse de votre calcul différen-

tiel que j"ai désigné aussi du nom de calcul intégral ". Mais c"est Rie- mann

3qui, dans sa thèse de doctorat soutenue en 1854, élabore la théo-

rie rigoureuse de ce qu"on appelle aujourd"hui l"intégrale de Riemann.

4,auteurdans

les années 1820 d"une première théorie essentiellement rigoureuse de l"intégration des fonctions continues. Les deux grands précurseurs de la théorie de l"intégration au XVIIIe sont incontestablement Newton

51. LEIBNIZ Gottfried (1646-1716). Mathématicien et philosophe allemand. Dis-

ciple de Descartes. Il inventa le calcul différentiel en 1676, en même temps que Newton.

2. BERNOULLI Jean (1667-1748). Mathématicien et physicien suisse. Contribua

avec son frère Jacques au développement du calcul infinitésimal. Il découvrit le calcul exponentiel et eut aussi la gloire de former l"illustre mathématicien et physicien suisse :

Leonhard Euler.

3. RIEMANN Bernhard (1826-1866). Mathématicien allemand. Il jeta les bases

de la géométrie différentielle et ouvrit la voie aux géométries non-euclidiennes et à

la théorie de la relativité générale. On lui doit d"importants travaux sur les intégrales,

poursuivant ceux de Cauchy, qui ont donné entre autres ce qu"on appelle aujourd"hui les intégrales de Riemann.

4. CAUCHY Augustin (1789-1857). Mathématicien français. Il est à l"origine de

l"analyse moderne : on lui doit notamment la théorie des équations différentielles et la théorie mécanique de l"élasticité.

5. NEWTON Isaac (1642-1727). Physicien anglais. Un des plus grands scienti-

fiques des temps modernes. Apporta des contributions majeures aussi bien en physique qu"en mathématiques. Il entama l"étude des fonctions dérivables et de leurs dérivées

1Retrouver ce titre sur Numilog.com

"RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page 2 - #8

2 INTÉGRATIONqui développa sous le nom defluxionune approche systématique de la

réciproque de la dérivation, et Leibniz pour son approche géométrique fondée sur le calcul d"aire. Notations :Dans tout ce chapitre, on se placera sur un intervalle com- pact (c"est-à-dire fermé et borné)[a;b]deR, non vide ni réduit à un point(1< a < b <+1). Pour la clarté de l"exposé, nous considè- rerons essentiellement les fonctions à numérique, c"est-à-dire les fonc- tions à valeurs réelles. Nous expliquerons la démarche à suivre pour les fonctions à valeurs complexes, et plus généralement pour les fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé complet quelconque.

1.1 Intégrale des fonctions en escalier

1.1.1

Espace v ectorieldes f onctionsen escalier

Définition 1.1.2On appellesubdivisionde l"intervalle compact[a;b] toute suite finie et strictement croissante de points de[a;b], dont le pre- mier terme esta, et le dernierb. Une subdivision de[a;b]sera notée:= (a0=a;a1;;an=b). tué par les points de la suite. Siet0sont deux subdivisions de[a;b], on dit que0est plusfine quesi les ensemblesS;S0respectivement associés à;0, vérifient l"inclusionSS0. En d"autres termes, la subdivision0est plus finequotesdbs_dbs2.pdfusesText_4