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MPSILyc´eeRabelaisSemainedu12 aoˆut2011

Polynˆomes`auneind´etermin´ee

?Op´erationsdansK[X] vants:

1.P1=X3?X(X?2+i)2

2.P3= =0(2X?k)3.P2=(X?2)?(X+5) 4.P4= =0(X?6)

1.P2=4P,

2.(X2+1)P?6P=0.

3.P(X2)=(X2+1)P(X)

d"unesolutionauprobl`emepos´e.

Exercice3:SimplifiezlepolynˆomeP=

=0 n k 3 (1?X)32X ?Divisibilit´e

1.A=1+6X2+4X3?5X4etB=X2?5X+3,

2.A=X3+iX2+XetB=X?i+1.

parBlorsque:

B=(X?2),B=(X?2)(X?3),B=(X?2)2.

etlequotientdeAparB,lorsque

1.A=X+X1+X+1etB=(X?1)2;

2.A=(X?1)+(X+2)+2etB=(X?1).

Exercice7:SoitPK[X].

diennedePpar(X?a)2.

1.P2=4P,

2.(X2+1)P?6P=0.

Exercice9:SoitPK[X].MontrezqueP(X+1)=+

=01 n!P()(X). ?Arithm´etiquedespolynˆomes

Exercice11:SoitA=X7?X?1etB=X5+1.

Exercice12:Soit(n,m)NN.

1.D´eduisezdeladivisioneuclidienne denparm,celledeX?1parX?1.

2.D´emontrezquePGCD(X?1,X?1)=X?1.

?Racines Exercice13:D´eterminezl"ordredemultiplicit´edelaracineαdu polynˆomeP lorsque:

1.α=2etP=X6?7X5+17X4?16X3+8X2?16X+16

2.α=1etP=X+1?(n+1)X+n

X 3. divisibleparQ? 1 polynˆomessuivants:

1.P=X5?1,

2.P1=X6+1,

3.P2=X9+X6+X3+1,

4.P3=(1?X2)3+8X3

5.P4=X8?2X4cos2α+1

valeurde1 =1cos(kπ/n)

αetβde1et?1.

P=(X?1)(X+1)P1

o`uP1estun polynˆomev´erifiantP1(1)=0etP1(?1)=0quevous d´eterminerez. zestracined"une

´equationdedegr´e2 `apr´eciser.

Exercice18:SoitPR[X]un polynˆomededegr´ensup´erieurou´egal`a2. admetexactementn?1racinesdistinctes. ?Racinesetcoefficients del"autre. (x,y,z)C3 x+y+z=2 xy+xz+yz=?5 xyz=?6 x+y+z=1 x

2+y2+z2=9

x

3+y3+z3=1

x+y+z=1

1/x+1/y+1/z=1

xyz=?4 ?Famillesdepolynˆomes L ;=(X?a) ;=(a?a)

2.MontrezquepourtoutPK[X],ona:

P(X)= =0P(a)L(X)

Exercice23:PolynˆomesdeFibonacci

P

0=0,P1=1,etnN,P+2=XP+1?P

3.MontrezquepourtoutmNetpourtoutnN,ona

P +=PP+1?P1P

4.MontrezquepourtoutmNetpourtoutnN,ona

PGCD(P+,P)=PGCD(P,P)

divisioneuclidiennedemparn.

5.ConcluezquePGCD(P,P)=P.

2

Correctiondesexercices

Exercice2.-

encoren=2. (a,b,c)K3. ?Synth`ese:soitP(X)=aX2+bX+c,avec(a,b,c)K3un polynˆomede 4

P(X)=aX2+bX+cP(X)=2aX+b

1 [P(X)]2=4a2+4abX+b2 [P(X)]2=4P(X)

4a2=4a

4b=4ab

4c=b2 a=1etc=b2/4 OU a=0etc=b=0 bX+2

4,o`ubK.

2. lapreuveseraparAnalyse-Synth`ese:

nledegr´edeP.Alors sin1,alorsPestnuletdoncPaussi;

Regardonsalorslescoefficientsdominants:

6 P(X)=aX+termesde degr´esinf´erieurs,aveca=0P(X)=naX1+ (X2+1)P(X)=n(n?1)aX2+ n(n?1)=6,cequientraˆınen=3. ou´egal`a3.?Synth`ese:soitP(X)=aX3+bX2+cX+d,(a,b,c,d)K4un polynˆome

6P(X)=6aX3+6bX2+6cX+6d

(1+X2)P(X)=6P(X) 6a=6a 6b=2b 6c=6a 6d=2b a=c b=0 d=0 delaformeP(X)=a(X3+X),o`uaK.? 3quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38