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[PDF] Chapitre 19 POLYNÔMES Enoncé des exercices - HUVENT Gery

Chapitre 19

POLYNÔMES

Enoncé des exercices

1Les basiques

Exercice 19.1Montrer que

n? k=0 ?n k? 3 k(1-X)3n-2kXk=?1-X3?n Exercice 19.2Deux polynômesUetVvérifientU(x)sinx+V(x)cosx= 0pour toutx >0.Montrez queUetV sont tous deux égaux au polynôme nul. Exercice 19.3Déterminer le degré de(X2+ 1)n-2X2n+ (X2-1)n.

Exercice 19.4(Archimède 1998). On considère l"applicationΦdeR[X]dans lui même définie par

Φ(P) = (2X-1)P-?

X 2+12? P

oùP?désigne le polynôme dérivé. Déterminer le degré deΦ(P)en fonction du degré deP. RésoudreΦ(P) = 1.

Exercice 19.5SoitPn(X) = (1 +X)(1 +X2)(1 +X4)...(1 +X2n).Calculer les coefficients dePn.

Exercice 19.6Pourn?= 0, factoriser le polynôme

P n= 1-X+X(X-1)2!-...+ (-1) nX(X-1)...(X-n+ 1) n! Exercice 19.7Détermineraetbpour queX2-aX+ 1diviseX4-X+b. Exercice 19.8DéterminerpetqdansRpour queP=X3+pX+qsoit divisible parQ=X2+ 3X-1. Exercice 19.9Montrer queX2-X+ 1diviseP= (X-1)n+2+X2n+1 Exercice 19.10Calculer, pourn≥2les restes des divisions euclidiennes deP= (X-3)2n+ (X-2)n-2par a)(X-3)(X-2)b)(X-2) 2 (on pourra, pour b dériver l"expression obtenue en écrivantune division euclidienne)

Exercice 19.11Donner uneCNS(Condition nécessaire et suffisante) pour queX2+1diviseX4+X3+λX2+μX+2

dansC[X]. Exercice 19.12Soitt?R,n?N,etPn(X) = (sin(t)X+ cos(t))n. Déterminer le reste de la division euclidienne dePpar?X

2+ 1?.

1. LES BASIQUESCHAPITRE 19. POLYNÔMES

Exercice 19.13DétermineraetbdansCtels queA=X2+X+ 1diviseB=X4+aX2+bX+a2+ 1. Exercice 19.14Soitn?N, montrer que le polynômePn= 1+X+X 2 2+X 3

3!+···+X

n n!n"a pas de racine multiple.

Exercice 19.15Déterminerλ >0pour queP=X3-3X+λait une racine double. Quelle est alors l"autre racine?

Exercice 19.16Déterminer tous les polynômesPdeR[X], non nuls, tels que?X2+ 1?P??-6P= 0etP(1) = 2

Exercice 19.17Résoudre l"équation suivante dansC[X] :X(X+ 1)P??+ (X+ 2)P?-P= 1 Exercice 19.18Résoudre l"équation suivante dansC[X] :P(2X) =P?(X)P??(X)

Exercice 19.19Résoudre le système :?

?x+y+z= 2 xyz=- 1 21
x+1y+1z=12

Exercice 19.20SoitP=X4+12X-5, factoriserPsurRet surC, sachant qu"il admet deux racines dont le produit

vaut-1. Exercice 19.21Olympiade mathématiques du Canada 1996

Siα,β,γsont les racines deP(X) =X

3-X-1,calculer

1 +α

1-α+1 +β1-β+1 +γ1-γ

Exercice 19.22Factoriser le polynômeP=?X2+ 1?2+?X2-X-1?2 Exercice 19.23Trouver trois réelsx,yetztels que x+y+z=1 x+1y+1z= 5 etx

2+y2+z2= 15

Exercice 19.24SoitPle polynôme à coefficients réels défini parP=?X2-1?2-3X?X2+ 1?. Montrer quej=e

2iπ

3 est racine deP.

En déduire la factorisation dePdansR[X]en produits d"irréductibles et les racines réelles deP.

Exercice 19.25Déterminerλpour que le polynômeX4-2X3+λX2+ 2X-1ait une racine d"ordre3au moins.

Exercice 19.26SoitP=X3+X+ 1,on noteα,βetγses racines complexes.

1. Calculer

2+β2+γ2

2. En utilisantP(α) +P(β) +P(γ)que l"on exprimera de deux manières différentes, en déduire la valeur de

3+β3+γ3.

3. Exprimer le reste de la division euclidienne deX

4parP. En déduire la valeur deα4+β4+γ4.

Exercice 19.27Soientα,β,γles racines de l"équationX3-5X2+ 6X-1.Déterminer la valeur exacte de

A=1

1-α+11-β+11-γ

-2/46-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

CHAPITRE 19. POLYNÔMES2. LES TECHNIQUES

Exercice 19.28Factoriser surRle polynômeP=X6+X3+ 1. Exercice 19.29Résoudre(X+ 4)P(X) =XP(X+ 1).Généraliser à(X+n)P(X) =XP(X+ 1)oùn?N?

Exercice 19.30SoitP(X) =X4+aX3+bX2+cX+d,oùa,b,cetdsont des réels. On sait queP(2i) =P(2 +i) = 0,

que vauta+b+c+d? Exercice 19.31Déterminerapour queP(X) =X4+aX+aetQ(X) =X3+aX+aaient une racine commune, préciser cette racine.

Exercice 19.32SoientPetQdansK[X]tels queP◦Q=Q◦P, montrer que si l"équationP(P(x)) =Q(Q(x))

admet une solution, il en est de même de l"équationP(x) =Q(x). Exercice 19.33SoitP=aXn+1+bXn+1?C[X],déterminer une CNS sur(a,b)pour quePait une racine double.

Exercice 19.34Un exercice sur la divisibilité.

1. Déterminer deux suites(a

n)n?Net(bn)n?Ntelle queAn=anXn+1+bnXn+1soit divisible parB= (X-1)2.

On choisira ainsi pour la suite de l"exercice(a

n)n?Net(bn)n?N.

2. Déterminer le quotient de la division euclidienne deA

nparBpourn≥1

3. En déduire une expression simple de

n? k=1 kxksix?= 1est un complexe. Exercice 19.35SoientA,B,CetDquatre polynômes à coefficients réels, on définit alors

P(x) =?

x 1

A(t)C(t)dt,Q(x) =?

x 1

A(t)D(t)dt,R(x) =?

x 1

B(t)C(t)dtetS(x) =?

x 1

B(t)D(t)dt

Montrer que(X-1)

4diviseP(X)S(X)-Q(X)R(X).

Exercice 19.36Montrer queP=X3+pX+qadmet une racine double si et seulement si4p3+ 27q2= 0.

2Les techniques

Exercice 19.37SoitPun polynôme tel que les restes de la division euclidienne dePpar(X-1),(X-2)et(X-3)

soient3,7et13respectivement. Déterminer le reste de la division euclidienne dePpar(X-1)(X-2)(X-3).

Exercice 19.38Soit??Ret pourn?N?,Pn= cos((n-1)θ)Xn+1-cos(nθ)Xn-cos(θ)X+1. Montrer queP1 divisePnet expliciter le quotient. Exercice 19.39Résoudre l"équation(X-1)P?+XP= 1 +X 3 2. Exercice 19.40Résoudre l"équation4P= (X-1)P?+P??. Exercice 19.41Déterminer les polynômesPtels queP?diviseP.

Exercice 19.42SoitPn= (1 +iX)n-(1-iX)npourn≥1.Factoriser le polynômePnet en déduire la valeur de

p? k=0 tan2 ?kπ

2p+ 1?

et de p-1? k=0 tan2 ?kπ 2p?

En déduire la valeur detan

2?π

14? + tan 2 ?3π 14? + tan 2 ?5π 14? -3/46-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

2. LES TECHNIQUESCHAPITRE 19. POLYNÔMES

Exercice 19.43Factoriser surCle polynômeP= (X+ 1)n-e2inaoùa?R,en déduire n-1? k=0 sin? a+kπn?

Que vaut

n-1? k=0 sin?kπn? ? Déterminer, par passage à la limite, le produit n-1? k=1 sin?kπn?

Exercice 19.44SoitP?C[X],on suppose que?x?R,P(x)?R. Montrer que les coefficients dePsont tous réels.

Exercice 19.45SoitPun polynôme tel queP(X) =P(1-X),montrer quePpeut s"écrire comme un polynôme

enX(1-X).

Exercice 19.46SoitPun polynôme de degré3ayant au moins deux racines distinctesαetβ,montrer queP?

0(Alors que d"après le théorème de Rolle, il existec?]α,β[tel queP

?(c) = 0,cela prouve quecn"est jamais le milieu du segment).

Exercice 19.47SoitP(X)un polynôme de degré3à coefficients réels ayant trois racines réellesα,βetγ.Montrer

que la tangente en

2au graphe dePenOxcoupe l"axe en la troisième racineγ. On pourra utiliser l"exercie

19.46.

Plus technique : Que dire siPa une seule racine?.En déduire la propriété suivante pour les polynômes de degré3:

SoitPde degré3,si(u,v)?R

2,on définitAetBde coordonnées(u,P(u))et(v,P(v))dans le repère canonique

deR

2. Montrer que la corde(AB)et la tangente au graphe dePau point d"abscisseu+v2se coupent en un point du

graphe deP.

Exercice 19.48SoitPde degré4tel que ses racines forment une suite arithmétique, montrezque les racines deP?

forment aussi une suite arithmétique. Exercice 19.49SoitP(X) =X3-aX2+bX-c,déterminer une CNS pour que ses racines dansCsoient en progression arithmétique. Exercice 19.50Déterminer tous les polynômesPtels que P ?X

2?=X2?X2+ 1?P(X)

P(2) = 12

-4/46-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

CHAPITRE 19. POLYNÔMES2. LES TECHNIQUES

Exercice 19.51SoitP= 2X3-6X2+7X+λoùλ?C. Déterminerλpour que2des racines soient inverses l"une

de l"autre. Quelles sont alors les racines deP?

Exercice 19.52SoitP=X3+aX2+bX+c,on noteα,β,γses racines. Déterminer le polynômeQunitaire ayant

pour racinesα

2,β2,γ2. Montrer queP(X)diviseQ?X2?. Retrouver alorsQ(X).

Exercice 19.53Le but de cet exercice est de présenter sur les poynômes de degré4la méthode Laguerre pour la

localisation des racines.

On considère donc un polynôme unitaireP=X

4+aX3+bX2+cX+ddont on suppose qu"il admet4racines réelles

notéesα,β,γetδ.

1. Justifier que

2-2b-α2=β2+γ2+δ2

2. Soit-→u=(

)et-→v=( (1 1 1) ),justifier que -→u·-→v) en déduire que

3. Conclure que les racines dePsont dans l"intervalle

I=? -a-⎷

9a2-24b

4,-a+⎷

9a2-24b

En particulier le réel9a

2-24best positif ou nul.

Exercice 19.54 (Olympiade de Norvége 2007)Déterminerm >0tel que le polynômeP(X) =X4-(3m+ 2)X2+

2ait quatre racines en progression arithmétique.

Exercice 19.55SoitP=X3+X+ 1etQle polynôme de degré3tel queQ(0) =-1et dont les racines sont les cubes des racines deP.CalculerQ(-1). Exercice 19.56Soit le polynômeP(X) =X3-4X2+ 6X-4.

1. Déterminer les racines dePsachant que le produit de deux d"entre elles est égal à la troisième.

2. Résoudre le système

?(x-1) + (y-1) + (z-1) = 1 x(x-1) +y(y-1) +z(z-1) = 0 x

2(x-1) +y2(y-1) +z2(z-1) = 0

Exercice 19.57Soientaetbdeux complexes, pourn≥2,on considère le polynômeP(X) =Xn+aX-b. Montrer quePadmet une racine double si et seulement si?a n? n+?bn-1? n-1 = 0. Quelle condition retrouve-t-on sin= 2 ?Quelle condition retrouve-t-on sin= 3et siP(X) =X

3+pX+q?

Exercice 19.58SoitP?R[X]tel queP(0) = 0etP?X2+ 1?=P(X)2+1. On définit la suite(un)n?Nparu0= 0 etu n+1=u2 n+ 1. Montrer que?n?N,P(un) =un. En déduireP. Exercice 19.59 (Mines-Ponts PSI 2008)Trouver uneCNSsur(p,q)?C2pour que les trois racinesa,betcdu polynômesX

3+pX+qvérifienta2+b2= 1 +c2.

Exercice 19.60 (Mines-Ponts PSI 2008)SoitP=X3+aX2+bX+c?C[X],trouver uneCNSsur(a,b,c) pour que le carré de l"une des racines soit égal au produit desdeux autres. -5/46-

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3. LES EXOTIQUESCHAPITRE 19. POLYNÔMES

Exercice 19.61SoitPun polynôme à coefficients complexes,P(x) =anxn+···+a0, montrer qu"il existe un complexe

z Indication : Rendre unitaireP(x)en écrivantP(x)quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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Chapitre 19

POLYNÔMES

Enoncé des exercices

1Les basiques

Exercice 19.1Montrer que

Φ(P) = (2X-1)P-?

Exercice 19.6Pourn?= 0, factoriser le polynôme

2+ 1?.

1. LES BASIQUESCHAPITRE 19. POLYNÔMES

3!+···+X

Exercice 19.19Résoudre le système :?

Siα,β,γsont les racines deP(X) =X

3-X-1,calculer

1 +α

1-α+1 +β1-β+1 +γ1-γ

2+y2+z2= 15

2iπ

1. Calculer

2+β2+γ2

2. En utilisantP(α) +P(β) +P(γ)que l"on exprimera de deux manières différentes, en déduire la valeur de

3+β3+γ3.

3. Exprimer le reste de la division euclidienne deX

4parP. En déduire la valeur deα4+β4+γ4.

1-α+11-β+11-γ

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CHAPITRE 19. POLYNÔMES2. LES TECHNIQUES

Exercice 19.34Un exercice sur la divisibilité.

1. Déterminer deux suites(a

On choisira ainsi pour la suite de l"exercice(a

2. Déterminer le quotient de la division euclidienne deA

3. En déduire une expression simple de

P(x) =?

A(t)C(t)dt,Q(x) =?

A(t)D(t)dt,R(x) =?

B(t)C(t)dtetS(x) =?

B(t)D(t)dt

Montrer que(X-1)

4diviseP(X)S(X)-Q(X)R(X).

2Les techniques

2p+ 1?

En déduire la valeur detan

2?π

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2. LES TECHNIQUESCHAPITRE 19. POLYNÔMES

Que vaut

0(Alors que d"après le théorème de Rolle, il existec?]α,β[tel queP

2au graphe dePenOxcoupe l"axe en la troisième racineγ. On pourra utiliser l"exercie

19.46.

SoitPde degré3,si(u,v)?R

2,on définitAetBde coordonnées(u,P(u))et(v,P(v))dans le repère canonique

2. Montrer que la corde(AB)et la tangente au graphe dePau point d"abscisseu+v2se coupent en un point du

2?=X2?X2+ 1?P(X)

P(2) = 12

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CHAPITRE 19. POLYNÔMES2. LES TECHNIQUES

2,β2,γ2. Montrer queP(X)diviseQ?X2?. Retrouver alorsQ(X).

On considère donc un polynôme unitaireP=X

4+aX3+bX2+cX+ddont on suppose qu"il admet4racines réelles

1. Justifier que

2-2b-α2=β2+γ2+δ2

2. Soit-→u=(

3. Conclure que les racines dePsont dans l"intervalle

9a2-24b

4,-a+⎷

9a2-24b

En particulier le réel9a

2-24best positif ou nul.

2ait quatre racines en progression arithmétique.

1. Déterminer les racines dePsachant que le produit de deux d"entre elles est égal à la troisième.

2. Résoudre le système

2(x-1) +y2(y-1) +z2(z-1) = 0

3+pX+q?

3+pX+qvérifienta2+b2= 1 +c2.

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3. LES EXOTIQUESCHAPITRE 19. POLYNÔMES