Exercices http://math unice fr/˜ junca Splines cubiques Soit u ∈ C2([0,1],R), N ∈ N, xi = ih, 0 ≤ i ≤ N +1, On va approcher u par une fonction spline s = sh ∈ C2 , cubique Comparer avec les majorations obtenues par le polynôme d' interpolation cubique par morceaux Références: de cours avec des exemples corrigés
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Splines cubiques
polyn ˆomes de degr´e au plusk. On va approcherupar une fonction splines=sh?C2, cubique par morceaux, qui interpoleuaux pointsxi. On va d"abord d´emontrer le Th ´eor`eme 1Il existe une et une seule fonction s=sh:[0,1]→R, telle que •s?C2([0,1],R) •s?Ppm •s(xi) =u(xi), i=0,···,N+1, •s?(0) =u?(0), s?(1) =u?(1).1. Existence, unicit
´e de la spline cubique:
(a) Soitpi,i=1,···,N, des param`etres r´eels quelconques. Montrer qu"il existe une unique fonctionw:[0,1]→R, telle que •w?C1([0,1],R) •w?Ppm •w(xi) =u(xi),i=0,···,N+1, •w?(0) =u?(0),w?(1) =u?(1). •w?(xi) =pi,i=1,···,N. (b) Soitr?P3montrer que: r ??(xi) =6h2[r(xi+1)-r(xi)]-2h
[r?(xi+1)+2r?(xi)], r ??(xi+1) =6h2[r(xi)-r(xi+1)]+2h
[r?(xi)+2r?(xi+1)]. (c) En d ´eduire le th´eor`eme 1, i.e. pour avoirw?C2, il n"y a qu"un seul choix possible des param `etrespidonn´es par le syst`eme lin´eaire: (((((((4 1 0···0 01 4 1 0···0
0 1 4 1 0.........
0 0···1 4 1
0 0 0···1 4)
(((((((p 1 p 2... p i... p N) 3h (((((((u(x2)-u(0) u(x3)-u(x1)... u(xi+1)-u(xi-1)... u(1)-u(xN-1)) (((((((u ?(0)0......
0 u ?(1))2. Meilleure approximation pour la moyenne quadratique de la d
´eriv´ee seconde:
On d ´emontrera et donnera une interpr´etation des r´esultats suivants: (a) pour toutr?Sh=C2∩Ppm 3:Z 10(u-s)??(x)r??(x)dx=0.
(b) Z 10[u??(x)]2dx=Z
10[(u-s)??(x)]2dx+Z
10[s??(x)]2dx.
(c) SoitU={v?C2([0,1]),v(xi) =u(xi),i=0,···,N,v?(0) =u?(0),v?(1) =u?(1)}, on a:Z 10[s??(x)]2dx=infv?UZ
10[v??(x)]2dx.
(d) SurSh=C2∩Ppm3, on a:Z
10[(u-s)??(x)]2dx=infr?ShZ
10[(u-r)??(x)]2dx.
3. Estimation de l"erreur:u?C4([0,1])dans cette question.
(a) Soitqhle vecteur de composantes(s"(xi))N+1i=0, calculer les composantes deBhqhen fonction des valeurs deu(xi),u?(0),u?(1).Bhest la matrice d"ordreN+2 suivante: B h=( (((((((2 1 0···0 01 4 1 0···0
0 1 4 1 0.........
0 0···1 4 1
0 0 0···1 2)
(b) Soitqle vecteur de composantes(u"(xi))N+1i=0, montrer qu"il existe une contanteC (c) * Montrer que?|B|?-1∞est born´ee ind´ependamment deh. (d) En d (e) En d ´eduire qu"il existe des constantesC2,C1,C0telles que: Comparer avec les majorations obtenues par le polynˆome d"interpolation cubique
par morceaux. R ´ef´erences:de cours avec des exemples corrig´es•[C], Ciarlet, Introduction`a l"analyse num´erique matricielle et`a l"optimisation. p. 66-67,