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Exercice 8 (Splines cubiques à peu de nœuds) Soit a = x0 < x2 < ··· < xn = b les n + 1 nœuds des splines cubiques S3 Soit s ∈ S3 qui satisfait les conditions aux

Exercices http://math unice fr/˜ junca Splines cubiques Soit u ∈ C2([0,1],R), N ∈ N, xi = ih, 0 ≤ i ≤ N +1, On va approcher u par une fonction spline s = sh ∈ C2 , cubique Comparer avec les majorations obtenues par le polynôme d' interpolation cubique par morceaux Références: de cours avec des exemples corrigés

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Exercice V 1 Pour quelle valeur de m le polynôme d'interpolation est unique? On verra plus loin les splines cubiques qui sont également définies par

[PDF] Recueil dexercices pour les cours MTH2210x - MTH2210A

(a) Utiliser l'interpolation par splines cubiques naturelles afin d'estimer f(1,03) (b) Sachant que f corriger l'erreur et refaire le raisonnement de façon correcte

Exercices avec corrige succinct du chapitre 5

(Remarque: les references ne sont pas gerees dans ce document, par contre les quelques??qui apparaissent dans ce texte sont bien denis dans la version ecran complete du chapitre 5)

Exercice V.1

Soitfune fonction connue aux points d'abscisseti(0in), supposees toutes distinctes. Soit l'ensemblePndes polyn^omes de degre inferieur ou egal an. Tout polyn^omepdePnpeut s'ecrire p(t) =a0+a1t+:::+antn:

On cherchep2 Pntel quep(ti) =f(ti);i= 0;:::;n.

Ecrire les conditions d'interpolation, montrer que le systeme lineaire obtenu admet une solution unique.

Solution :Le probleme s'ecrit:

n X k=0a ktki=f(ti); i= 0;:::;n: C'est donc un systeme lineaire den+ 1 equations an+ 1 inconnues. Ce probleme a une solution unique puisque la matriceMdu systeme (appelee matrice de Van der Monde) est alors inversible. M=0 B

B@1t0::: tn01t1::: tn1::: ::: ::: :::

1tn::: tnn1

CAExercice V.2

On suppose la fonctionfconnue aux pointsf1;0;1gou elle prend les valeursf0;1;0get soitPm l'ensemble des polyn^omes de degre au plusm. Quelle est la valeur minimale demqui conduit a une technique d'interpolation? Pour quelle valeur demle polyn^ome d'interpolation est unique? Solution :On doit avoirm2 car par trois points non alignes on ne peut faire passer une droite! Pourm= 2, le polyn^ome d'interpolation s'ecritp(t) = 1t2. Remarquons que pourm >2, il passe un innite de polyn^omes par trois points.Exercice V.3 On considere les points du planf(ti;zi);0ingavect0< t1< ::: < tn. 1. Ecrire l'equation de la droite passant par les points (ti;zi) et (ti+1;zi+1) en utilisant la base de

Lagrange.

2. Ecrire l'equation de la ligne brisee qui interpole tous les points.

Solution :

1. La droite passant par les points (ti;zi) et (ti+1;zi+1) a pour equationy=gi(t).gis'ecrit:

g i(t) =zitti+1titi+1+zi+1ttiti+1ti: 1

2. La ligne brisee a pour equationy=g(t) ougest une fonction denie par morceau:

g(t) =8 >:g

0(t) pourt2[t0;t1]

1(t) pourt2[t1;t2]

g n1(t) pourt2[tn1;tn] On peut remarquer quegi(ti+1) =gi+1(ti+1) =zi+1, la fonctiongest une fonction continue sur [t0;tn], par contregn'est pas derivable aux pointst1;:::;tn1, en ces points la courbe presente des points anguleux, les derivees a droite et a gauche existent mais sont dierentes. On verra plus loin les splines cubiques qui sont egalement denies par morceaux, mais qui ont plus de regularite.Exercice V.4

Soitnun entier naturel.

1. Calculer l'erreur commise en interpolant la fonctionf(t) =tn, denie sur l'intervalle [0;1], en

les pointsti=i=n,i= 0;1;:::;n, a l'aide du polyn^ome d'interpolation de Lagrange de degren.

Expliquer le resultat.

2. M^eme question pour la fonctiong(t) =tn+1.

Solution :

1. Si l'on applique le resultat sur le calcul d'erreur, on trouve

e(t) = 0 car la derivee d'ordren+ 1 d'un polyn^ome de degrenest nulle. Ce resultat s'explique car par n+ 1 points il passe un polyn^ome et un seul de degren, c'est donctn!

2. Si l'on applique le resultat sur le calcul d'erreur, on trouve

e(t) =1(n+ 1)!(n+ 1)!n(t) =n(t); car la derivee d'ordren+ 1 d'un polyn^ome de degretn+1est (n+ 1)!. On aurait pu retrouver ce resultat directement. Si l'on noteple polyn^ome de degre inferieur ou egal antel quep(ti) =g(ti);i= 0;1;:::;n, alorsgpest un polyn^ome de degre inferieur ou egal an+ 1 qui verie (gp)(ti) = 0, donce(t) = (gp)(t) =(tt0)(tt1):::(ttn), or le coecient detn+1dans le polyn^omegpest 1, donc= 1Exercice V.5

Montrer que les polyn^omes

1;(tt0);(tt0)(tt1);:::;(tt0)(tt1)(ttn1);

forment une base dePn, ensemble des polyn^omes de degre inferieur ou egal an.

Solution :Les polyn^omes etant tous de degre distinct, il est facile de montrer qu'ils sont lineairement

independants. OrPnest un espace vectoriel de dimensionn+ 1. Donc toute famille libre dePnde n+ 1 elements est une base dePn.2

Exercice V.6

On at0= 1;t1= 2;t2= 3,f(t0) = 1;f(t1) = 3;f(t2) = 4. Ecrire le polynomep0de degre 0 qui interpolefent0. Ecrire le polynomep1de degre 1 qui interpolefent0;t1. Ecrire le polynomep2de degre 2 qui interpolefent0;t1;t2. Ecrire chacun des polyn^omes dans la base de Newton.

Solution :On a

0(t) =f(t0) = 1:

On ap1(t) =c0+c1(tt0), on ecrit quep1(t0) =f(t0);p1(t1) =f(t1), on obtient les coecients c

0= 1;c1= 2,

1(t) = 1 + 2(t1):

On ap2(t) =c00+c01(tt0)+c02(tt0)(tt1), onecrit quep2(t0) =f(t0);p2(t1) =f(t1);p2(t2) =f(t2), on obtient les coecientsc00= 1;c01= 2;c03=12, p

2(t) = 1 + 2(t1)12(t1)(t2):

On remarque bien, comme indique dans le paragraphe de cours, que les polyn^omes sont 'emboites' et que pour chaque nouveau polyn^ome il sut de calculer un seul coecient.Exercice V.7 Soit2IR donne, soitpnle polyn^ome de degre inferieur ou egal anqui interpolefent0;t1;:::;tn, on veut evaluer l'erreur en, c'est a direen() =f()pn(). Siest egal a l'un desti, l'erreur est nulle.

Supposons maintenant que6=ti;8i= 0;:::;n.

On denit alors le polyn^omeppar

p(t) =pn(t) + n(t)f()pn()n() ou n(t) =Qn i=0(tti).

1. Montrez quepinterpolefaux pointsft0;t1;:::;tn;g. Quel est le degre dep?

2. En deduirep(t)pn(t) en fonction def[t0;t1;:::;tn;t].

3. En deduire le calcul de l'erreuren() =f()pn().

Solution :

1. Par construction dep, il est facile de montrer quep(ti) =f(ti) pouri= 0;:::;netp() =f().

Le degre de ce polyn^ome est evidemment egal an+ 1.

2. Les proprietes du polyn^ome de Newton donne:

p(t) =pn(t) +f[t0;t1;:::;tn;t]n(t): 3. e n() =f()pn() =p()pn() =f[t0;t1;:::;tn;]n(): 3

Exercice V.8

Soit la fonctionfconnue aux trois points d'abscisset0,t1ett2. On considere le polyn^ome d'interpo- lation dans la base de Newton avec les notations du cours. Montrer, par le calcul, que c

2=f[t0;t1;t2]

en utilisant la denition et la symetrie des dierences divisees.

Solution :Le polyn^ome s'ecrit

p(t) =c0+c1(tt0) +c2(tt0)(tt1): Or p(t0) =f(t0))c0=f[t0] p(t1) =f(t1))c1=f(t1)f(t0)t1t0=f(t0)f(t1)t0t1=f[t0;t1] p(t2) =f(t2))c2=f(t2)f(t0)t2t0f[t0;t1]t2t1=f[t2;t0]f[t0;t1]t2t1=f[t2;t0;t1] =f[t0;t1;t2] On a utilise la symetrie des dierences divisees.Exercice V.9 Calculer les coecientsckdu polyn^ome d'interpolationp3de l'exemple??, dans la base de Newton. Solution :Pour calculer les coefcients dep3(t) dans la base deNewton, nous sommes conduits a construire le tableau propose dans le cours pourn= 3, ce qui avec les donnees de l'exercice nous

donne:k= 0k= 1k= 2k= 3t0= 0f[t0] =12t1= 1f[t1] = 1f[t0;t1] =12t2= 2f[t2] = 2f[t1;t2] = 1f[t0;t1;t2] =14t3= 3f[t3] =12f[t2;t3] =52f[t1;t2;t3] =74f[t0;t1;t2;t3] =23On peut donc ecrirep3(t) de la facon suivante:

3(t) =12+12t+14t(t1)23t(t1)(t2):Exercice V.10

On a calcule a l'aide des dierences divisees le polyn^omepnd'interpolation defaux pointsft0;:::;tng.

On desire rajouter un point d'interpolationtn+1. Doit-on refaire tout le tableau des dierences divisees?

Et, si on utilisait la base des polyn^omes de Lagrange, devrait-on refaire tous les calculs? Solution :Si vous avez compris les calculs eectues dans le tableau des dierences divisees du 4 paragraphe??, il sut d'ajouter une ligne a ce tableau pour ajouter un point d'interpolation. Les coecientsfc0;:::;cngsont les m^emes que ceux depnle dernier coecient de la derniere ligne donnera c

n+1. Si les calculs ont ete faits a la main, vous les avez evidemment gardes. Par contre, si vous avez

utilise l'algorithme donne dans le m^eme paragraphe, une colonne se superpose a la precedente, et le tableau complet n'est donc pas garde en memoire. Il faut donc penser a stocker le tableau ... En ce qui concerne la base des polyn^omes de Lagrange, chacun d'eux est construit a partir de tous

les points d'interpolation, ce qui necessite de recalculer tous ces polyn^omes lorsque l'on rajoute un

point d'interpolation!Exercice V.11 Calculer le nombre d'operations arithmetiques necessaires pour evaluer, en un pointt, la valeur de p n(t) =c0+c1(tt0) +c2(tt0)(tt1) +:::+cn(tt0)(tt1):::(ttn1):

1. Par la methode `naturelle', en ecrivant l'algorithme

2. Par le schema de Horner.

Solution :

1. L'algorithme "classique" est le suivant:

1:Les donnees sont:c0;:::;cn;t0;:::;tn1;t

2:q=tt0

3:p=c0+c1q

4:pourk= 2 jusqu'anfaire

5:q=q(ttk1)

6:p=p+ckq

7:n pour

Ceci correspond a 2n1 multiplications,nadditions etnsoustractions.

2. Le schema de Horner, dont l'algorithme est donne dans le cours comptenmultiplications,n

additions etnsoustractions.Exercice V.12

Mettre en evidence experimentalement, en utilisant un logiciel de calcul (Matlab, Scilab,...) les di-

cultes de l'interpolation polynomiale de la fonction 1=(1 +t2) sur l'intervalle [5;+ 5].

Exercice V.13

1. Compter le nombre de degres de liberte a determiner pour denir completement une spline

cubique.

2. Compter le nombre d'equations disponibles pour ce faire. Comparer.

Solution :Sur chacun desnintervalles [ti;ti+1];i= 0;:::;n1,gest un polyn^ome de degre inferieur ou egal a 3, on a doncg(t) =i+it+ it2+it3, il y a donc 4ninconnues.

On doit avoir

g(t+i) =g(ti);g0(t+i) =g0(ti);g00(t+i) =g00(ti);i= 1;:::;n1 an que la fonctiongsoit 2 fois contin^ument derivable. On obtient donc 3(n1) equations. 5 La fonctiongdoit interpoler, on doit donc avoirg(ti) =yi;i= 0;:::;n.

On a donc au total 3n3 +n+ 1 = 4n2 equations.

Il manque donc deuxequations, c'est pourquoi on impose, par exemple, les conditions supplementaires: g

00(t0) =g00(tn) = 06

quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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Exercices avec corrige succinct du chapitre 5

Exercice V.1

On cherchep2 Pntel quep(ti) =f(ti);i= 0;:::;n.

Solution :Le probleme s'ecrit:

B@1t0::: tn01t1::: tn1::: ::: ::: :::

1tn::: tnn1

CAExercice V.2

Lagrange.

Solution :

1. La droite passant par les points (ti;zi) et (ti+1;zi+1) a pour equationy=gi(t).gis'ecrit:

2. La ligne brisee a pour equationy=g(t) ougest une fonction denie par morceau:

0(t) pourt2[t0;t1]

1(t) pourt2[t1;t2]

Soitnun entier naturel.

1. Calculer l'erreur commise en interpolant la fonctionf(t) =tn, denie sur l'intervalle [0;1], en

Expliquer le resultat.

2. M^eme question pour la fonctiong(t) =tn+1.

Solution :

1. Si l'on applique le resultat sur le calcul d'erreur, on trouve

2. Si l'on applique le resultat sur le calcul d'erreur, on trouve

Montrer que les polyn^omes

1;(tt0);(tt0)(tt1);:::;(tt0)(tt1)(ttn1);

Exercice V.6

Solution :On a

0(t) =f(t0) = 1:

0= 1;c1= 2,

1(t) = 1 + 2(t1):

2(t) = 1 + 2(t1)12(t1)(t2):

Supposons maintenant que6=ti;8i= 0;:::;n.

On denit alors le polyn^omeppar

1. Montrez quepinterpolefaux pointsft0;t1;:::;tn;g. Quel est le degre dep?

2. En deduirep(t)pn(t) en fonction def[t0;t1;:::;tn;t].

3. En deduire le calcul de l'erreuren() =f()pn().

Solution :

1. Par construction dep, il est facile de montrer quep(ti) =f(ti) pouri= 0;:::;netp() =f().

2. Les proprietes du polyn^ome de Newton donne:

Exercice V.8

2=f[t0;t1;t2]

Solution :Le polyn^ome s'ecrit

3(t) =12+12t+14t(t1)23t(t1)(t2):Exercice V.10

1. Par la methode `naturelle', en ecrivant l'algorithme

2. Par le schema de Horner.

Solution :

1. L'algorithme "classique" est le suivant:

1:Les donnees sont:c0;:::;cn;t0;:::;tn1;t

2:q=tt0

3:p=c0+c1q

4:pourk= 2 jusqu'anfaire

5:q=q(ttk1)

6:p=p+ckq

7:n pour

2. Le schema de Horner, dont l'algorithme est donne dans le cours comptenmultiplications,n

Exercice V.13

1. Compter le nombre de degres de liberte a determiner pour denir completement une spline

2. Compter le nombre d'equations disponibles pour ce faire. Comparer.

On doit avoir

On a donc au total 3n3 +n+ 1 = 4n2 equations.

00(t0) =g00(tn) = 06