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Produit scalaire dans l"espace

1 Produit scalaire dans le plan (Rappels et complément)

1.1 Différentes expressions du produit scalaire (Rappels)

1.∙Si#»?et#»?sont deux vecteurs non nuls, alors :

#»?⋅#»?=∥#»?∥ × ∥#»?∥ ×cos(#»?,#»?)⃗? ∙Si#»?ou#»?est le vecteur nul, alors#»?⋅#»?= 0.

Remarque

Le produit scalaire ne dépend en réalité que de l"angle géométrique associé aux vecteurs#»?et#»?.⃗?

?⋅#»?=# »??⋅# »??=??×??×cos"???=??×??×cos?

Cas particulier de deux vecteurs colinéaires

#»?et#»?non nuls

∙Si#»?et#»?sont de même sens alorscos(#»?,#»?) = 1et#»?⋅#»?=∥#»?∥ × ∥#»?∥.

∙Si#»?et#»?sont de sens contraire alorscos(#»?,#»?) =-1et#»?⋅#»?=-∥#»?∥ × ∥#»?∥.

En particulier,#»?⋅#»?=∥#»?∥2. Ce nombre est appelé lecarré scalairede#»?et est aussi noté#»?2.

2.Pour tous vecteurs#»?et#»?:

#»?⋅#»?=1 2 (∥#»?+#»?∥2- ∥#»?∥2- ∥#»?∥2)

3.Pour tous vecteurs#»?et#»?:

#»?⋅#»?=1 2 (∥#»?∥2+∥#»?∥2- ∥#»?-#»?∥2)

4.Soient#»?et#»?deux vecteurs non nuls et?,?,?et?quatre points du plan tels que#»?=# »??et#»?=# »??.

On note?′et?′les projetés orthogonaux de?et?sur(??)et#»?′=# »?′?′. Alors :

?⋅#»?=#»?⋅#»?′=®∥#»?∥∥#»?′∥si#»?et#»?′sont de même sens

#»?∥∥#»?′∥si#»?et#»?′sont de sens contraire? ?

?′⃗?5.Si dans une baseorthonormale,#»?et#»?ont pour coordonnées respectives(?;?)et(?′;?′), alors :

1

1.2 Règles de calcul (Rappels)

Soient

#»?,#»?, et#»?des vecteurs et?un réel. 1.

2.(?#»?)⋅#»?=#»?⋅(?#»?) =?(#»?⋅#»?)

3.

Terminale SProduit scalaire dans l"espace

2 Produit scalaire dans l"espace

2.1 Orthogonalité dans l"espaceDénition : Droites orthogonales

Deux droites sont ditesorthogonalessi leurs parallèles menées par un point quelconque sont perpendi-

culaires.?Δ

DDéfinition : Droite orthogonale à un plan

Une droiteDest dite orthogonale à un planPlorsqueDest orthogonale à toute droite deP.P? 1

2DDéfinition : Plans perpendiculaires

Deux plans sont dits perpendiculaires si l"un d"eux contient une droite orthogonale à l"autre.P P 1

2PetP′perpendiculaires ne signifie pas que toute droite dePest orthogonale à toute droite deP′!

2

Terminale SProduit scalaire dans l"espace

2.2 Projection orthogonale sur un plan, sur une droite

Projection orthogonale sur un plan

Par tout point?de l"espace, il passe une, et une seule, droiteD?orthogonale au planP. La droiteD?coupe le planPen?′:?′est le projeté orthogonal de?sur le planPP D M ′3Projection orthogonale sur une droite Par tout point?de l"espace, il passe un, et un seul, planP?orthogonal à la droiteD.

Le planP?coupe la droiteDen?′′:?′′est le projeté orthogonal de?sur la droiteDP

?D?M ′′2.3 Normes et distances

Propriété

Soit(?;#»? ,#»? ,#»?)un repèreorthonormalde l"espace.

1.Si un vecteur#»?a pour coordonnées(?;?;?)dans la base(#»? ,#»? ,#»?), alors :

2+?2+?2

2.Si?et?ont pour coordonnées respectives(??;??;??)et(??;??;??)dans le repère(?;#»? ,#»? ,#»?)

alors : (??-??)2+ (??-??)2+ (??-??)2 ?M ~uM ′′?2.4 Produit scalaire dans l"espace

Propriété

Soient#»?et#»?deux vecteurs de coordonnées respectives(?;?;?)et(?′;?′;?′)dans une baseorthonor-

malede l"espace.

Alors, le réel??′+??′+??′estindépendant de la base orthonormale choisieet est appelé le

produit scalairedes vecteurs#»?et#»?. Il est noté#»?⋅#»?.

Ainsi,

Terminale SProduit scalaire dans l"espace

3 Orthogonalité dans l"espace et produit scalaire

3.1 Orthogonalité de deux vecteurs, de deux droitesPropriété

1.Deux vecteurs#»?et#»?sont orthogonaux si, et seulement si,#»?⋅#»?= 0.

2.Deux droitesDetD′de vecteurs directeurs respectifs#»?et#»?′sont orthogonales si, et seulement si,#»?⋅#»?′= 0.

4

3.2 Orthogonalité d"une droite et d"un planPropriété

SoientDune droite de vecteur directeur#»?etPun plan.

AlorsDest orthogonale àPsi, et seulement si, pour tous points?et?deP,#»?⋅# »??= 0.

Démonstration

Il suffit de revenir à la définition de l"orthogonalité d"une droite et d"un plan. ∙SiDest orthogonale àPalorsDest orthogonale à toute droite deP

donc pour tous points?et?distincts deP,Dest orthogonale à(??), d"où#»?⋅# »??= 0puisque#»?et# »??sont des vecteurs directeurs respectifs deDet(??)

Si?et?sont confondus, on a alors# »??=#»0et bien sûr#»?⋅# »??= 0 Ainsi, pour tous points?et?deP,#»?⋅# »??= 0. ∙Réciproquement, supposons que pour tous points?et?deP,#»?⋅# »??= 0 SoitD′une droite dePet?et?deux points distincts deD′

Alors,

#»?⋅# »??= 0, ce qui entraîne que les droitesDetD′sont orthogonales (puisque#»?et# »??sont des

vecteurs directeurs respectifs deDetD′)

Ainsi,Dest orthogonale à toute droite dePce qui signifie queDest orthogonale au planP.Propriété

SoientDune droite de vecteur directeur#»?,Pun plan,#»?1et#»?2deux vecteurs non colinéaires deP.

AlorsDest orthogonale àPsi, et seulement si,#»?⋅#»?1= 0et#»?⋅#»?2= 0.P? 1

2D⃗?

1⃗?

2Démonstration

∙Soient?1et?2deux droites dePde vecteurs directeurs respectifs#»?1et#»?2(cf. figure)

SiDest orthogonale àPalorsDest orthogonale à toute droite dePdonc en particulier à la droite?1et à

la droite?2. Donc,#»?⋅#»?1= 0et#»?⋅#»?2= 0.

∙Réciproquement, si#»?⋅#»?1= 0et#»?⋅#»?2= 0, alors, pour toute droite?deP, un vecteur directeur#»?de?s"écrit

sous la forme?#»?1+?#»?2, avec?et?réels (car#»?,#»?1et#»?2sont coplanaires et#»?1et#»?2sont non colinéaires)

Donc,#»?⋅#»?=#»?⋅(?#»?1+?#»?2) =?#»?⋅#»?1+?#»?⋅#»?2=?×0 +?×0 = 0.

Ainsi, la droiteDest orthogonale à toute droite?deP, doncDest orthogonale àP.

Remarque

On retrouve le résultat vu en seconde : une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, elle est orthogonale

à deux droites sécantes de ce plan.

Terminale SProduit scalaire dans l"espace

3.3 Vecteur normal à un plan

Dénition

On appellevecteur normalà un planPtout vecteur directeur d"une droite orthogonale àP.PD 1?

2Remarques

∙Un vecteur normal à un planPest un vecteur orthogonal à tout vecteur deP. ∙Il existe une infinité de vecteurs normaux à un planP.

Si#»?est un vecteur normal àPalors tout vecteur non nul colinéaire à#»?est aussi un vecteur normal àP.Propriété

1.SoitPun plan,?un point dePet#»?un vecteur normal àP.

Alors,?∈P⇐⇒# »??⋅#»?= 0

2.Réciproquement, si?est un point quelconque et#»?un vecteur non nul, alors l"ensemble des points?

tels que# »??⋅#»?= 0est un plan : c"est le plan passant par?et de vecteur normal#»?.P?~n

MDémonstration

1.∙Soit?un point quelconque deP

Puisque#»?est un vecteur directeur d"une droite orthogonaleàP, alors d"après la propriété1du paragraphe

précédent :# »??⋅#»?= 0(puisque?et?sont deux points deP)

∙Réciproquement, considérons un point?tel que# »??⋅#»?= 0et montrons que?∈P

Soit?′le projeté orthogonal de?surPP

⃗?M AM

??=# »??′+# »?′?donc# »??⋅#»?= (# »??′+# »?′?)⋅#»?=# »??′⋅#»?+# »?′?⋅#»?

or,# »??′⋅#»?= 0puisque?et?′sont deux points dePet#»?est un vecteur normal àP

donc# »??⋅#»?=# »?′?⋅#»?, d"où# »?′?⋅#»?= 0

5

Terminale SProduit scalaire dans l"espace

∙ou bien?et?′sont distincts, alors la droite(??′)est orthogonale àPet#»?est donc un vecteur

directeur de(??′) donc# »?′?et#»?sont colinéaires :# »?′?=?#»?, avec?réel; ∙ou bien?et?′sont confondus :# »?′?=#»0 = 0×#»?. Dans les deux cas, il existe un réel?tel que# »?′?=?#»? d"où,# »?′?⋅#»?=?#»?⋅#»?=?∥#»?∥2

L"égalité

# »?′?⋅#»?= 0entraîne donc?= 0puisque∥#»?∥ ∕= 0 donc,# »?′?=#»0

Ainsi?=?′, ce qui entraîne que?∈P.

2.SoitDune droite de vecteur directeur#»?etPl"unique plan orthogonal àDet passant par?.

?est donc un point dePet#»?un vecteur normal àP

Alors, d"après1., pour tout point?:

# »??⋅#»?= 0⇐⇒?∈P Ainsi, l"ensemble des points?tels que# »??⋅#»?= 0est le planP.

3.4 Plans perpendiculairesPropriété

SoientPetP′deux plans de vecteurs normaux respectifs#»?et#»?′. Alors,PetP′sont perpendiculaires si, et seulement si,#»?⋅#»?′= 0.P P n′Démonstration ∙Supposons quePetP′sont perpendiculaires alors il existe une droiteΔ′deP′orthogonale àP Soit?une droite de vecteur directeur#»?:?est orthogonale àP donc?est parallèle àΔ′

Ainsi,

#»?dirigeΔ′

Soit?′une droite de vecteur directeur#»?′:?′est orthogonale àP′donc à toute droite deP′, en particulier

On en déduit

#»?⋅#»?′= 0(puisque#»?et#»?′dirigent respectivementΔ′et?′) ∙Réciproquement, supposons maintenant que#»?⋅#»?′= 0 Soit?∈P′etΔ′la droite passant par?et de vecteur directeur#»? ′est orthogonale àP

On va montrer queΔ′⊂P′

6

Terminale SProduit scalaire dans l"espace

Soit?′une droite de vecteur directeur#»?′:?′est orthogonale àP′ or #»?⋅#»?′= 0, donc?′est orthogonale àΔ′

donc, puisque?′est orthogonale àP′, on en déduit queΔ′est parallèle àP′

Ainsi,Δ′est parallèle àP′et passe par un point deP′: elle est donc incluse dansP′.

Exemple? ?

??est un vecteur normal au plan(????)# »??est un vecteur normal au plan(????)# »??⋅# »??= 0(vecteurs orthogonaux)

donc les plans(????)et(????)sont perpendiculaires

3.5 Plans parallèlesPropriété

SoientPetP′deux plans de vecteurs normaux respectifs#»?et#»?′. Alors,PetP′sont parallèles si, et seulement si,#»?et#»?′sont colinéaires.P P

Démonstration

∙Supposons quePetP′sont parallèles Soit?une droite de vecteur directeur#»?:?est orthogonale àP Soit?′une droite de vecteur directeur#»?′:?′est orthogonale àP′

PuisquePetP′sont parallèles, on en déduit que?est orthogonale àP′et donc que#»?′dirige?

Ainsi,

#»?et#»?′dirigent?: on en déduit que#»?et#»?′sont colinéaires. ∙Réciproquement, supposons que#»?et#»?′sont colinéaires Soit?une droite de vecteur directeur#»?:?est orthogonale àP Soit?′une droite de vecteur directeur#»?′:?′est orthogonale àP′

Puisque

#»?et#»?′sont colinéaires, on en déduit que?et?′sont parallèles 7 donc?est aussi orthogonale àP′

Ainsi,PetP′sont orthogonaux à une même droite : on en déduit qu"ils sont parallèles.

Terminale SProduit scalaire dans l"espace4 Applications du produit scalaire à la géométrie analytique

4.1 Équation cartésienne d"un planPropriété

Dans unrepère orthonormal:

1.Si un planPa pour vecteur normal#»?(?;?;?), alorsPa uneéquation cartésiennede la forme

??+??+??+?= 0où?,?,?ne sont pas tous nuls (puisque#»?est un vecteur normal) et?un réel.

2. Réciproquement,?,?,?et?étant quatre réels donnés avec?,?,?non tous nuls, l"ensemble des

points?(?;?;?)tels que??+??+??+?= 0est un plan de vecteur normal#»?(?;?;?).

Démonstration

1.SoientPun plan et#»?(?;?;?)un vecteur normal àP.

Le vecteur#»?est non nul donc les réels?,?,?ne sont pas tous nuls. Soient?(??;??;??)un point dePet?(?;?;?)un point quelconque Le vecteur# »??a pour coordonnées(?-??;?-??;?-??) ?∈P⇐⇒# »??⋅#»?= 0 ⇐⇒?(?-??) +?(?-??) +?(?-??) = 0 ⇐⇒??+??+??+ (-???-???-???) = 0 ⇐⇒??+??+??+?= 0en posant?=-???-???-??? Une équation cartésienne cartésienne dePest donc :??+??+??+?= 0

2.Réciproquement, notonsEl"ensemble des points?(?;?;?)tels que??+??+??+?= 0.

Les réels?,?,?n"étant pas tous nuls, l"ensembleEcontient au moins un point?(??;??;??)

Par exemple, si?∕= 0,?Å

;0;0ã ∈Epuisque?×Å +?×0 +?×0 +?= 0

Notons

#»?le vecteur de coordonnées(?;?;?)(#»?est non nul)

Pour tout point?(?;?;?),

?∈E⇐⇒??+??+??+?= 0 ⇐⇒??+??+??+?=???+???+???(???+???+???= 0puisque?∈E) ⇐⇒?(?-??) +?(?-??) +?(?-??) = 0 ⇐⇒# »??⋅#»?= 0 Ainsi,Eest le plan passant par?et de vecteur normal#»?.

Remarques

∙Une équation cartésienne d"un plan n"est pas unique (il y a unicité à un coefficient multiplicatif près)

∙Cette propriété permet de retrouver les équations des plans de coordonnées. Le plan(???), par exemple, est le plan passant par?et de vecteur normal#»?(0;0;1): ?∈(???)⇐⇒# »??⋅#»?= 0⇐⇒?= 0.

Exemple

Déterminer, dans un repère orthonormal, une équation du planPpassant par?(-2;1;3)et de vecteur

normal#»?(1;1;-1).Solution 8

Terminale SProduit scalaire dans l"espace

4.2 Distance d"un point à un plan

Propriété

Soient?un point de l"espace,Pun plan,?le projeté orthogonal de?sur le planP. ∙Si?est un point dePet#»?un vecteur normal àP, alors la distance de?àPest ?(?,P) =??=∣# »??⋅#»?∣ k #»?∥P ⃗?M AH

∙Dans un repère orthonormal de l"espace, si?a pour coordonnées(?0;?0;?0)etPa pour équation

??+??+??+?= 0, avec?,?et?non tous nuls, alors : ?(?,P) =??=∣??0+??0+??0+?∣ p

2+?2+?2

Démonstration

La distance du point?au planPest la distance??.# »??⋅#»?= (# »??+# »??)⋅#»?=# »??⋅#»?+# »??⋅#»?

Comme# »??est orthogonal à#»?,# »??⋅#»?= 0 donc# »??⋅#»?=# »??⋅#»?.

Les vecteurs# »??et#»?sont colinéaires donc il existe un réel?tel que# »??=?#»?(puisque#»?est non nul)

donc??=∥# »??∥=∣?∣∥#»?∥# »??⋅#»?=?#»?⋅#»?=?∥#»?∥2

donc?=# »??⋅#»? #»?∥2 donc??=∣?∣∥#»?∥=∣# »??⋅#»?∣ k #»?∥2∥#»?∥=∣# »??⋅#»?∣ k Ainsi,?(?,P) =??=∣# »??⋅#»?∣ k

On se place dans un repère orthonormal :?(??;??;??),?(?0;?0;?0)et#»?(?;?;?)est un vecteur normal au

planPd"équation??+??+??+?= 0# »??⋅#»?=?(?0-??) +?(?0-??) +?(?0-??) =??0+??0+??0-(???+???+???)

Or,?est un point dePdonc-(???+???+???) =?

donc# »??⋅#»?=??0+??0+??0+?

2+?2+?2

Donc,??=∣??0+??0+??0+?∣

p

2+?2+?2

Remarque

??est bien sûr le minimum de la distance??lorsque?décrit le planP(puisque d"après le théorème de

Pythagore,??⩾??)

9

Exemple

Dans un repère orthonormal, on considère le point?(5;2;-3)et le planPd"équation?+ 4?+ 8?+ 2 = 0.

Déterminer la distance du point?au planP.

Terminale SProduit scalaire dans l"espace

4.3 Plan médiateur d"un segment - Demi-espaces

4.3.1 Plan médiateur d"un segmentDéfinition

Soient?et?deux points distincts,?le milieu du segment[??].

On appelleplan médiateurde[??]le plan perpendiculaire à la droite(??)passant par?.Propriété

Le plan médiateur d"un segment[??]est l"ensemble des points de l"espace équidistants des points?

et?.?IB M P

Démonstration

Soient?un point de l"espace,Ple plan médiateur du segment[??].

2-??2=# »??2-# »??2= (# »??+# »??)⋅(# »??-# »??) = 2# »??⋅# »??= 2# »??⋅# »??

D"après la définition deP,# »??est normal àPet?∈P

donc?∈P⇐⇒# »??⋅# »??= 0⇐⇒2# »??⋅# »??= 0⇐⇒??2-??2= 0⇐⇒??=??.

Ainsi, le plan médiateur du segment[??]est bien l"ensemble des points de l"espace équidistants despoints?

et?.

4.3.2 Demi-espacesPropriété

Dans un repère orthonormal de l"espace, un planPd"équation??+??+??+?= 0partage l"espace en deux demi-espaces ouverts d"inéquations??+??+??+? >0et??+??+??+? <0.

Démonstration

Tout planPd"équation??+??+??+?= 0peut être considéré comme le plan médiateur d"un segment[??],

tel que# »??, vecteur normal àP, ait pour coordonnées(?;?;?).

Ppartage l"espace en deux demi-espace ouverts : l"unE?contenant?est l"ensemble des points?plus proches

de?que de?; l"autreE?contenant?est l"ensemble des points?plus proches de?que de?. Soient?(?;?;?)un point de l"espace,?(??;??;??)le milieu de[??] ?∈E?⇐⇒?? < ?? ⇐⇒??2< ??2 ⇐⇒??2-??2<0 ⇐⇒2# »??⋅# »?? <0 (cf. démonstration sur le plan médiateur) ⇐⇒# »??⋅# »?? <0 ⇐⇒?(?-??) +?(?-??) +?(?-??)<0 ⇐⇒??+??+?? < ???+???+???<0 ⇐⇒??+??+?? <-?(???+???+???=-?puisque?∈P) ⇐⇒??+??+??+? <0 Ainsi,E?est l"ensemble des points?(?;?;?)tels que??+??+??+? <0. De même, on montre queE?est l"ensemble des points?(?;?;?)tels que??+??+??+? >0.

Remarque

On définit également des demi-espaces fermés : il suffit de remplacer les inégalités strictes par des inégalités

larges. Contrairement aux demi-espaces ouverts, chaque demi-espace fermé délimité parPcontient le planP.

Exemple

Déterminer une inéquation du demi-espace ouvert délimité par le planPd"équation2?-3?+?+ 5 = 0et

contenant le point?(1;1;1).quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21