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- 1 -

C. Lainé

PRODUIT SCALAIRE G$16 I·(63$F(

Cours Terminale S

1. Produit scalaire de deux vecteurs

1) Définition

Définition 1 :

plan. Les trois définitions suivantes sont équivalentes et la deuxième demande un repère orthonormal ; , , O i j k

On appelle produit scalaire de deux vecteurs

u x y z et v x y z , le nombre réel noté uv tel que : ([SUHVVLRQ j O·MLGH GHV QRUPHV :

2 2 21

2 u v u v u v ou

2 2 21

2 u v u v v u ([SUHVVLRQ j O·MLGH GHV ŃRRUGRQQpHV : xx yy zzuv ([SUHVVLRQ j O·MLGH GX ŃRVLQXV : cos , u v u v u v dans le plan. En effet, on peut toujours trouver un plan p, passant par un point A et de vecteurs directeurs et uv Si H est le projeté orthogonal de C sur la droite AB , on a :

AB AC AB AH

uv Remarque : La deuxième formule des normes peut se traduire également par

2 2 21

2AB AC AB AC BC

Exemple : ABCDEFGH a.

BF u et AH BG v . Alors cosBF AH BF BG BF BG FBG uv Donc 2222
a a auv - 2 -

C. Lainé

2) Application

Soient les points A, B et C : A(6; 8; 2), B(4; 9; 1) et C(5; 7; 3)

1 GpPHUPLQH] OM PHVXUH GH O·MQJOH JpRPpPULTXH

BAC

2) Les points A, B et C se projettent orthogonalement respectivement HQ $· %· HP

F· VXU OH SOMQ

O ; , ij

SOMQ G·pTXMPLRQ z = 0).

M GpPHUPLQH] OHV ŃRRUGRQQpHV GHV SRLQPV $· %· HP F·B

N GpPHUPLQH] OM PHVXUH GH O·MQJOH JpRPpPULTXH

BA C . Que constatez-vous ? 1) BAC , nous utiliserons la 3ème formule du produit scalaire.

On a :

cosAB AC AB AC BAC ; par suite, cosAB ACBACAB ACu Or

4 6 5 6 9 8 7 8 1 2 3 2 2 1 1 0AB AC

On obtient alors

cos 0BAC . Par conséquent, 2BAC

2) a) Pour trouver les coordonnées des points , et , projetés orthogonaux sur le plan

; , O ij , on annule la troisième coordonnée. On obtient alors :

6 ; 8 ; 0A

4 ; 9 ; 1B

et

5 ; 7 ; 0C

b) cosAB AC AB AC BAC u u ; par suite, cosA B A CBACA B A C c c c c c c cu Or

4 6 5 6 9 8 7 8 0 0 0 0 2 1 1AB AC u u u

2224 6 9 8 0 0 5AB

et

2225 6 7 8 0 0 2AC

On en déduit que

1 10cos1010BAC

. Par conséquent,

1,25 rad 71,5BAC

On constate que l

un triangle rectangle. La projection orthogonale ne conserve pas les angles géométriques. - 3 -

C. Lainé

3) Propriétés

Propriétés 1 : Soient

u v et w trois vecteurs non nuls du plan, et k un réel, on a :

Symétrie :

u v v u

Linéarité :

u w u v u wv u v w u w v w kku v u v et kku v u v carré scalaire : 22
u u u u u u vecteurs orthogonaux : u et v sont orthogonaux si, et seulement si, 0 uv

Exemple

BF AG

220BF AG BF AB BG BF AB BF BG

aa - 4 -

C. Lainé

3. Vecteur normal à un plan

1) Définition

Définition 2 : Le vecteur

n est normal au plan p si, et seulement si, toute droite de vecteur directeur n est orthogonale au plan p.

2) Théorème

Théorème 1 : Une droite est orthogonale à toute droite d'un plan si, et seulement si, elle est

orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Démonstration (exigible au Bac) :

droite de p, donc à deux droites sécantes de p. d une droite, de vecteur directeur n , orthogonale à deux droites sécantes 1d et 2d de p, de vecteurs directeurs respectifs et uv Comme d est orthogonale à 1d et 2d , alors 0 nu et 0 nu

De plus,

1d et 2d sont sécantes, alors et uv forment un couple de vecteurs directeurs de p.

Soit une

droite de p, de vecteur directeur w réels x et y tels que w xu yv 0 0 0 w n xu yv n xu n yv n x y

On en déduit que

d est orthogonale à la droite

Corollaire : Un vecteur non nul

n de l'espace est normal à un plan p s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de p.

3) Applications

a) Application 1

ABCDEFGH est un cube.

Démontrer que le vecteur

CF est normal au plan ABG

Dans le repère

; , , A AB AD AE

A a pour coordonnées

0 ; 0 ; 0

B a pour coordonnées

0 ; 1 ; 0

C a pour coordonnées

1 ; 1 ; 0

F a pour coordonnées

1 ; 0 ; 1

G a pour coordonnées

1 ; 1 ; 1

- 5 -

C. Lainé

AB et AG sont deux vecteurs non colinéaires du plan ABG Or

1 1 1 0 0 1 0 1 0 0AB CF

et

1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0AG CF

CF est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan ABG

Par conséquent,

CF est normal au plan ABG b) Application 2 Dans un repère orthonormé, A a pour coordonnées

1 ; 2 ; -2

, B a pour coordonnées -1 ; 3 ; 1 et C a pour coordonnées

2 ; 0 ; -2

Déterminer un vecteur normal au plan (ABC).

n x y z est normal au plan ABC si, et seulement si, 0 0 AB AC n n Or

2 3 0 4 3 00 2 0 2 20

AB AC x y z y y z z yn x y x y x yn

Si on prend

1y , on obtient 2x et 1z Donc

2 ; 1 ; 1

n est un vecteur normal au plan ABC

4) Plans perpendiculaires

Propriété 2 (admise) : Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonal à un vecteur normal de l'autre.

4. eTXMPLRQ G·XQ SOMQ

1) Théorème

Propriété 3 : Soit

n un vecteur non nul et A M 0AM n est le plan contenant A et admettant n comme vecteur normal. - 6 -

C. Lainé

Démonstration : Soit () la droite contenant le point A et de vecteur directeur n

Soit p le plan orthogonal à () contenant A et

12 et vv deux vecteurs directeurs du plan p. Si M appartient à p, il existe deux nombres réels a et b tels que : 12AM av bv

Puisque

120 et 0

n v n v , alors

1 2 1 20 0 0AM

n n av bv an v bn v

Réciproquement, supposons

0AM nquotesdbs_dbs15.pdfusesText_21