[PDF] Droites et plans de lespace PDF droites-plans2013.pdf

1) Par deux points a, b distincts passe une droite et une seule notée (ab) 1 3') Si deux plans distincts ont un point commun, leur intersection est une droite

On obtient les points K et L et ainsi l'intersection cherchée Théorème du toit : P1 et P2 sont deux plans sécants Si une droite d1 de P1 est parallèle à une droite

[PDF] 1 DROITES ET PLANS DANS LESPACE - Pierre Lux

Deux plans peuvent être : • sécants ( leur intersection est une droite ) • parallèles ( ils n'ont aucun point commun ou ils sont confondus ) PROPRIETE 2:

[PDF] Géométrie dans lespace

Dans ce cas, l'intersection est une droite Notation : Soit (P1) et (P2) deux plans parallèles On note P1∩P2 =D 1 1 2 Position relative de deux droites

[PDF] Chapitre 13 Droites, plans et vecteurs de lespace - Maths-francefr

Si 3 et 3′ sont deux droites sécantes de l'espace, il existe un plan et un seul 乡 et 乡′ ne sont pas parallèles, l'intersection de ces deux plans est une droite

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Principe : On commence par trouver deux droites sécantes contenues respectivement dans chacun des deux plans Placer le point d'intersection Recommencer

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D 3 Intersection de deux droites 12 III D 4 Intersection d'une sphère et d'une droite 12 Soient u et v deux vecteurs de l'espace

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1 fév 2021 · Deux droites sécantes ou strictement parallèles définissent L'intersection, lorsqu'elle existe, d'une face par le plan (P) est un segment

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Deux plans de l'espace peuvent être : droites d'intersection sont Parallèles Deux droites de l'espace sont orthogonales si et seulement si il existe deux

[PDF] Chapitre 4: Géométrie analytique dans lespace

4 1 Équation paramétrique de la droite dans l'espace Convention Dans tout ce Calculer le point d'intersection des deux droites sécantes suivantes: a) (d):

Droites et plans de l'espace

Daniel Perrin

1 Introduction

Le but de ce texte est de donner des elements pour traiter l'expose de CAPES numero 28 (numerotation 2013). En verite, les exposes 27 et 28 posent plusieurs problemes, dont le principal est le programme. Comme on n'a que le programme des classes de college et de lycee a notre disposition (le programme des BTS est vraiment inutilisable, surtout en geometrie), il est totalement impossible d'avoir un traitement un tant soit peu rigoureux des questions geometriques de base, sans s'ecarter largement des rails du pro- gramme. Dans le systeme precedent, il y avait (implicitement) une approche par les espaces vectoriels et les espaces anes, voire par la geometrie ana- lytique, celle deRn, qui conduisait a utiliser le programme complementaire. Ici, on ne sait vraiment plus sur quel pied danser. J'ai donc fait un choix, plus facile pour la lecon 28 que pour la 27, celui de partir d'une approche a la maniere d'Euclide (ou plut^ot d'Euclide revu par Hilbert), mais en essayant de donner aussi des elements sur les approches vectorielle et analytique. On commence donc par etudier les proprietes af- nes, puis les proprietes metriques pour aborder ensuite les caracterisations par les vecteurs et les equations. Attention, il y a ici beaucoup trop de choses pour la lecon de CAPES et il faut faire des choix, voir a la n. Pour certains points on renverra a Mathematiques d'Ecole, cite [ME]. Une autre reference possible, mais epuisee, est le livre d'Annie Cousin-Fauconnet.

2 Les axiomes et les premiers resultats

2.1 Les axiomes

On postule l'existence d'un ensemble appeleespace (ane) de dimen- sion3 et noteE. Les elements de cet espace sont appelespointset il contient deux sortes de parties remarquables : lesdroiteset lesplans, supposees in- nies, et soumises aux axiomes ci-dessous :

1) Par deux pointsa;bdistincts passe une droite et une seule notee(ab).

2) Par trois points non alignesa;b;cpasse un unique plan note(abc);

toute droite passant par deux points distincts d'un plan est strictement conte- nue dans ce plan.

3) Chaque droiteDest munie d'une relation d'ordre total sans plus petit

ni plus grand element. Cet axiome permet de denir le segment [ab] =fx2(ab)jaxbg, ainsi que la demi-droite [ab) =fx2(ab)jaxg(sia < b).

4) Une droiteDcontenue dans un planPpartage ce plan en trois parties

non vides et disjointes :Det deux demi-plans ouverts notesP+etP. Deux pointsa;bdePsont dans le m^eme demi-plan (on dit aussi \du m^eme c^ote deD") si et seulement si[ab]ne rencontre pasD.

5) Un planPpartage l'espaceEen trois parties non vides et disjointes :

Pet deux demi-espaces ouverts notesE+etE. Deux pointsa;bsont dans le m^eme demi-espace (on dit aussi \du m^eme c^ote deP") si et seulement si [ab]ne rencontre pasP. On peut aussi remplacer les axiomes 3,4,5 par l'axiome suivant (qui sera demontre en 3.3) :

3') Si deux plans distincts ont un point commun, leur intersection est une

droite. On peut aussi dire que l'on suppose que les proprietes de la geometrie plane sont satisfaites dans chaque plan, ce qui evite de se poser les questions de denition des notions qui existent deja dans le cas du plan.

2.2 Quelques consequences

2.1 Proposition.1) SoientDune droite etaun point n'appartenant pas a

D. Il existe un unique planPcontenantDeta. Il est note(D;a)

2) SoientDetdeux droites qui se coupent ena. Il existe un unique

planPcontenantDet. Il est note(D;). Demonstration.Pour 1) il sut de prendre deux pointsb;c2Det le plan P= (abc) convient, pour 2) de choisirb2Detc2 et le planP= (abc) repond a la question.

3 Positions relatives des droites et des plans

3.1 Une droite et un plan

3.1 Proposition-Denition.SoientPun plan etDune droite. Il y a trois

possibilites : 2

1) L'intersectionP\Dcontient deux points distinctsa;b. On a alors

DP.

2) L'intersectionP\Dest reduite a un pointa. On dit quePetDsont

secants.

3) L'intersectionP\Dest vide. On dit queDeststrictement1pa-

ralleleaP. Demonstration.Le point 1) vient de l'axiome 2 et le reste est evident.

3.2 Theoreme.1) SiDest parallele aPet non contenue dansPelle est

contenue dans l'un des demi-espaces limites parP.

2) SiDcoupePeno, les deux demi-droites deDd'origineosont conte-

nues chacune dans un demi-espace limite parP. Demonstration.1) SiDcontient des pointsa;bsitues de part et d'autre de

P, le segment [ab] rencontreP, doncDrencontreP.

2) On choisita2D,a6=o. Si, disons, on aa2 E+, il est clair que ]oa)

est contenue dansE+(car la droite ne coupe le plan qu'eno). Sibest dans la demi-droite opposee, [ab] coupePeno, doncbest dansE.

3.2 Deux plans

3.3 Proposition-Denition.SoientP1etP2deux plans distincts2. Il y a

deux cas :

1) L'intersectionP1\P2est vide. On dit que les plans sontparalleles.

2) L'intersectionP1\P2est non vide. Alors, cette intersection est une

droite et les plans sont ditssecants. Demonstration.Le point 1) est evident, mais 2) ne l'est pas tout a fait3. Supposons queI=P1\P2contient un pointa. SiIcontient un autre point a

0, la droite (aa0) est contenue dansI(axiome 2) etIne contient pas de point

en dehors de (aa0) (si elle contienta00en dehors de (aa0) l'intersection est le plan (aa0a00) et les plansPisont egaux). Pour montrer queIcontient un second point on prendb2P1,b62P2. Supposons quebest dans le demi-espaceE+limite parP2. Alors, les points de la demi-droite opposee a [ab) sont dansE. On obtient ainsi un point b

02P1qui est dansE. On considere alors un pointc2P1,c62(ab). S'il est

dansP2on a ni. Sinon, il est dansE+ouE. S'il est dansE+la droite (cb0)

coupeP2ena06=a, s'il est dansE, c'est la droite (cb).1. Dans le casDPon dit aussi queDest parallele aP.

2. Deux plans egaux sont consideres comme paralleles.

3. C'est ici qu'on utilise de facon essentielle l'axiome des demi-espaces, et c'est a peu

pres le seul endroit. On pourrait donc eventuellement remplacer l'axiome des demi-espaces par le point 2) de la proposition. 3

3.3 Deux droites

3.4 Proposition-Denition.SoientD1etD2deux droites distinctes4. Il

y a trois cas :

1) SiD1etD2sont coplanaires, leur intersection est soit vide (on dit que

les droites sontparalleles), soit reduite a un point (on dit que les droites sontsecantes).

2) SiD1etD2ne sont pas coplanaires, leur intersection est vide.

Demonstration.Le point 1) vient de l'axiome 1. Pour 2) on utilise 2.1.2.

3.4 Le theoreme de Desargues

Je pense que le theoreme de Desargues est un bon theme de developpement pour le jour du CAPES : c'est spectaculaire, et facile.

3.5 Theoreme. (Theoreme de Desargues dans l'espace)On considere

trois droites non coplanaires, concourantes en un pointo. Sur chacune de ces droites on prend deux pointsa;a0;b;b0;c;c0, distincts deo. On suppose que les droites (coplanaires)(bc)et(b0c0)(resp.(ca)et(c0a0), resp.(ab)et(a0b0)) se coupent enu(resp.v, resp.w). Alors,u;v;wsont alignes. Demonstration.On note quea;b;cne sont pas alignes (sinon, ils seraient sur une droiteDet le plan deni paroetDcontiendrait les trois droites donnees). Ils denissent donc un planP. Ce plan contient les droites (bc), (ca) et (ab), donc les pointsu;v;w. Le m^eme raisonnement montre que le planP0= (a0b0c0) contientu;v;w. Ces points sont donc alignes sur la droite =P\P0.

3.6 Corollaire. (Theoreme de Desargues dans le plan)On considere

trois droites d'un planP, concourantes en un pointo. Sur chacune de ces droites on prend deux pointsa;a0;b;b0;c;c0, distincts deo. On suppose que les droites(bc)et(b0c0)(resp.(ca)et(c0a0), resp.(ab)et(a0b0)) se coupent enu (resp.v, resp.w). Alors,u;v;wsont alignes. Demonstration.On choisit un point!exterieur5aP. Dans le plan (o!a0) (qui contienta) on trace la parallele a (o!) passant para. Elle coupe (!a0) ena00. On construit de m^emeb00etc00. Le theoreme de Desargues de l'espace

applique aa0;b0;c0;a00;b00;c00fournit trois pointsu0;v0;w0alignes. Je dis que4. La encore on englobe l'egalite dans le parallelisme.

5. On suppose que le plan est plonge dans l'espace. Si ce n'est pas vrai, le theoreme de

Desargues peut ^etre en defaut dans certaines geometries planes. 4 o a c b c' a' b' u w vFigure1 { Le theoreme de Desargues ce sontu;v;w. Montrons par exemple que le point d'intersectionu0de (b0c0) et (b00c00) est sur (bc) (il sera alors egal au). Deja, le pointu0etant sur (b0c0) est dansP. On considere ensuite les droites (bb00) et (cc00). Elles sont paralleles a (o!) donc paralleles entre elles et determinent ainsi un planQ. Ce plan contient (b00c00), donc aussiu0. Il contient (bc), ce qui montre qu'on aP\Q= (bc). Commeu0est surPetQ, il est sur (bc).

3.5 Applications

Une application de Desargues (voir par exemple [ME] Exercices 231 et 232 et leurs solutions) consiste a tracer la section d'un tetraedre ou d'un cube par un plan donne par trois points. Il y a en general plusieurs methodes et le fait qu'elle donnent le m^eme plan resulte de Desargues. Un joli developpement consiste a traiter le cas \dicile" du cube, c'est-a-dire le cas ou il n'y a pas deux points dans une m^eme face. 5 4

Etude du parallelisme

4.1 Le theoreme du toit

4.1 Theoreme. (Theoreme du toit, version Bonaventure

6) SoientP1;P2;Qtrois plans secants deux a deux. On poseD=P1\P2, D

1=P1\QetD2=P2\Q. On suppose que les droitesD1etD2sont

paralleles. Alors elles sont paralleles aD. P 1 P 2 D D 1 D 2

QFigure2 { Le theoreme du toit

Demonstration.SiD1etD2sont egales, cette droite etant dansP1etP2 est aussi egale aDet le resultat est evident. Supposons que ce n'est pas le cas et montrons par exemple queDetD1sont paralleles. Sinon, elles sont distinctes et, comme elles sont toutes deux dans le planP1, elle se coupent en un pointa. Mais alors le pointaest dansP1\P2\QP2\Q=D2. On voit queaest commun aD1etD2ce qui contredit le fait qu'elles sont paralleles.

4.2 Corollaire. (Theoreme du toit, version usuelle)

SoientP1;P2deux plans secants selon une droiteDet soientD1;D2des droites deP1;P2respectivement. On supposeD1etD2paralleles. Alors ces droites sont paralleles aD. Demonstration.SiD1etD2sont confondues, elles sont egales aP1\P2= Det le resultat est evident. Sinon, comme elles sont paralleles, elles sont coplanaires et determinent un planQet on aD1=P1\QetD2=P2\Q.

Le resultat vient alors de 4.1.6. Merci a Bonaventure Hounkpatin de m'avoir propose cette version. Contrairement

a ce que j'avais arme, le theoreme du toit ne necessite pas l'axiome d'Euclide. 6

4.2 L'axiome d'Euclide et quelques consequences

Je rappelle ici l'axiome d'Euclide, tres important sur le plan mathematique, mais peut-^etre pas indispensable a mettre en avant au CAPES. La consequence la plus importante de cet axiome est sans doute la transitivite du parallelisme.

4.3 Axiome.Par tout point il passe une unique droite parallele a une droite

donnee.

4.4Remarque.SoitPun plan,Dune droite dePetaun point deP. Alors,

la paralleleD0aDpassant paraest contenue dansP. En eet, c'est evident siaest surDcar on a alorsD0=Det sinon, le plan (D;D0) contientDet adonc est egal aP.

4.5 Theoreme.SoientD;D0deux droites paralleles.

1) Tout plan secant a l'une est secant a l'autre.

2) Tout plan parallele a l'une est parallele a l'autre.

Demonstration.1) SoitPun plan secant aD(donc coupantDen un pointa). Si on aD0=Dle resultat est evident. Sinon, soitQle plan contenantD;D0. Il coupePet n'est pas egal aP(carPne contient pasD). L'intersection P\Qest donc une droite qui contienta, est dierente deD(carDn'est pas contenue dansP) et deD0(caran'est pas dansD0). Cette droite coupe D

0enb(sinon, commeD0et sont coplanaires, elles seraient paralleles et

il y aurait deux paralleles aD0passant para). Le pointbest dansP\D0. CommeD0n'est pas contenue dansP(sinon elle serait egale aP\Q= ), D

0etPsont secants et on a gagne.

Le point 2) est consequence de 1).

4.6 Corollaire.SoientP;Qdeux plans paralleles,Dune droite deP,aun

point deQ. La parallele aDpassant paraest contenue dansQ. Demonstration.SoitD0la parallele aDpassant para. CommeD0coupeQ enaelle est soit contenue dansQ, soit secante. Si elle etait secante aQ, il en serait de m^eme deDen vertu du theoreme precedent. MaisPetQsont paralleles etDest contenue dansP. Si on aP=Q,Dest aussi contenue dansQet c'est absurde, siP\Q=;c'est absurde egalement.

4.7 Corollaire.SoientD;deux droites paralleles. On supposecontenue

dans le planP. AlorsDest parallele aP.

Demonstration.Cela resulte du point 2 de 4.5.

4.8 Theoreme. (Transitivite du parallelisme des droites)SoientD;D0;D00

trois droites. On supposeDparallele aD0etD0parallele aD00. AlorsDest parallele aD00. 7 Demonstration.Soitaun point deD00etPle plan (D;a). Il contientD, donc est parallele aD0(4.5) donc aD00(idem), donc il contientD00. Les droitesD;D00sont donc coplanaires. De plus, si elles sont distinctes, elles ne se coupent pas, sinon par leur point de rencontre passeraient deux paralleles aD0.

4.9 Corollaire.SoientP;Qdeux plans. AlorsP;Qsont paralleles si et seule-

ment si il existe deux droites secantesD1;D2(resp.1;2) deP(resp.Q) avecDiparallele aipouri= 1;2. Demonstration.Si les plans sont paralleles, on choisit deux droites secantes D

1;D2dePet un pointdeQ. Les paralleles aD1;D2passant parsont

contenues dansQen vertu de 4.4 et conviennent. Inversement, on suppose qu'on a les droitesDi;icomme ci-dessus. SiP;Qne sont pas paralleles, on appelleDla droite intersection. Par le theoreme du toit elle est parallele a la fois auxDiet aux i, doncD1;D2 sont paralleles, ce qui est absurde.

4.10 Corollaire. (Euclide pour les plans)SoitPun plan etaun point.

Il existe un unique plan parallele aPpassant para. Demonstration.Existence: on considere deux droitesD1;D2secantes de Pet les paralleles 1;2a ces droites passant para. Le planQ= (1;2) convient en vertu de 4.9. Unicite: on suppose qu'on a deux plans distinctsQ1;Q2paralleles aP et passant para. Ils sont donc secants selon une droiteD. On choisit deux droitesD1;D2secantes dePet on considere les paralleles aD1;D2passant para. Chacune est contenue dansQ1etQ2par 4.6 et donc toutes deux sont egales aD, ce qui implique queD1;D2sont paralleles et c'est absurde.

4.11 Corollaire. (Transitivite du parallelisme des plans)SoientP;P0;P00

trois plans; on supposePparallele aP0etP0parallele aP00, alorsPest pa- rallele aP00. Demonstration.Cela resulte de l'assertion d'unicite de 4.10.

4.12 Proposition.SoientP;Qdeux plans paralleles etRun plan quel-

conque. Alors, siRest secant aPil est aussi secant aQet les droitesP\R etQ\Rsont paralleles. Demonstration.La premiere assertion vient de 4.11, la seconde de la denition du parallelisme des droites. 8

4.3 Intersection de trois plans

4.13 Theoreme.SoientP1;P2;P3trois plans distincts. On suppose que deux

quelconques des plans ne sont pas paralleles. On noteDi;jla droite intersec- tion dePietPj. Il y a trois cas possibles pour l'intersectionP1\P2\P3:

1) Si la droiteD1;2n'est pas parallele aP3, l'intersection est reduite a un

point (cas dutriedre).

2) Si la droiteD1;2est strictement parallele aP3, l'intersection est vide

et les trois droitesDi;jsont paralleles (cas duprisme).

3) Si la droiteD1;2est contenue dansP3, l'intersection est egale aD1;2=

2;3=D3;1(cas dupinceau).

Demonstration.On aP1\P2\P3=D1;2\P3et on est ainsi ramene a un probleme connu et les resultats concernant l'intersection sont clairs. Pour le point supplementaire du 2), les droitesD1;2etD1;3sont toutes deux dansP1 et ne se coupent pas (sinonD1;2couperaitP3), donc elles sont paralleles.

4.14Remarque.Si deux des plans concident on est ramene a l'intersection

de deux plans, si deux sont paralleles, l'intersection est vide.

5 La geometrie metrique

On passe maintenant a la geometrie metrique. Il s'agit de donner un sens aux notions de longueur, angle, orthogonalite. Je propose une approche elementaire, puis une entree par le produit scalaire. Tout ce qui suit est dans [ME].

5.1 Mesure des longueurs, angles

On postule l'existence d'unedistancesurEavec les axiomes usuels et notamment l'inegalite triangulaire. On noteabla distance deaab(ou lon- gueur du segment [ab]). Cela permet de denir les notions qui accompagnent celle de distance : milieux, isometries, spheres, boules, etc. On a une enn une notion d'angle(et donc d'orthogonalite) qui concide avec la notion usuelle dans chaque plan, de sorte qu'on a les theoremes usuels (Pythagore, Thales, etc.).

5.2 Orthogonalite dans l'espace

La notion d'orthogonalite (dans chaque plan) permet de denir plusieurs notions dans l'espace. 9

5.1 Denition.Deux droitesD1etD2sont ditesperpendiculairessi elles

sont coplanaires et si, dans le plan qu'elles determinent, elles sont perpendi- culaires au sens du plan. On noteD1?D2.

On a aussi une notion plus faible :

5.2 Denition.Deux droitesD1etD2sont ditesorthogonaless'il existe

des parallelesD01etD02aD1etD2qui sont perpendiculaires.

5.3Remarques.1) SiDest orthogonale a etD0parallele aD,D0est

orthogonale a .

2) Deux droitesDetD0sont perpendiculaires si et seulement si elles sont

orthogonales et coplanaires (donc secantes). En eet, par hypothese,Dest parallele a une droite qui est perpendiculaire aD0ena. On se place dans le planP= (D;D0). Comme est l'unique parallele aDpassant para, elle est dans ce plan. Mais dans un plan on sait que siDest parallele a , elle-m^eme perpendiculaire aD0,Dest perpendiculaire aD0.

5.4 Denition.On dit qu'une droiteDestperpendiculairea un planP

siDcoupePen un pointaet siDest perpendiculaire a toutes les droites dePqui passent para. On note alorsD?P. On notera que la denition precedente presente un avantage et un in- convenient. L'avantage c'est que, lorsque l'on sait queDest perpendiculaire aP, on en deduit aussit^ot qu'elle est perpendiculaire atoutesles droites qui passent par le point d'intersectiona, ce qui est un atout puissant. L'in- convenient, c'est la m^eme chose (comme la langue de Diogene) : si l'on veut montrer queDest perpendiculaire aPil faut montrer qu'elle est perpen- diculaire a toutes les droites dePpassant para, ce qui n'est pas facile. Le theoreme suivant remedie a cet inconvenient :

5.5 Theoreme.SoientDune droite etPun plan. Les conditions suivantes

sont equivalentes :

1)Dest perpendiculaire aP,

2)Dn'est pas contenue dansPet il existe deux droites distinctesD1;D2de

Ptelles queDsoit perpendiculaire aD1etD2,

3)Dest orthogonale a deux droites non paralleles deP,

4)Dest orthogonale a toutes les droites deP.

Demonstration.Il est clair qu'on a 1 =)4 =)3. Montrons 3 =)2. On supposeDorthogonale aD1etD2, deux droites non paralleles deP. On montre d'abord queDn'est pas contenue dansP. Sinon, par 5.3,Dserait perpendiculaire aD1etD2, dansPet ces droites seraient paralleles. Mon- trons ensuite queDcoupePena. Sinon,Dserait parallele aP, donc a une 10 droiteD3dePet cela impliquerait encoreD1parallele aD2. Il en resulte queDest perpendiculaire aux droites paralleles aD1;D2passant para. Il reste 2 =)1. Nous en donnerons une preuve un peu plus loin.

Voici quelques consequences de ce resultat :

5.6 Corollaire.1) Deux points distincts deEadmettent un plan mediateur.

2) SoitPun plan. Par tout pointadeEpasse une unique droite perpen-

diculaire aP.

3) Deux droites sont perpendiculaires au m^eme plan si et seulement si

elles sont paralleles. Demonstration.1) Soienta;bles points. On considere deux plansQ;Q0dis- tincts contenanta;b. DansQ(resp.Q0),a;bont une mediatriceD(resp.D0) qui est perpendiculaire a [ab] en son milieum. Alors le planPdeni par D;D

0est un plan mediateur dea;b, ce qui signie que, pour toutp2P

on apa=pb. Notons d'abord que (ab), qui est perpendiculaire aD;D0, est perpendiculaire aPenm. Sipest dansP, la droite (pm) est donc perpendi- culaire a (ab) et on a, par Pythagore,pa2=pm2+ma2=pm2+mb2=pb2. SiD;D0sont paralleles et siDest perpendiculaire aP, il resulte de 4.5quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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