[PDF] Vecteurs, droites et plans dans lespace - Lycée dAdultes PDF 12_cours_vecteurs_droites_et_plans_dans_l

1 fév 2021 · Deux droites sécantes ou strictement parallèles définissent L'intersection, lorsqu'elle existe, d'une face par le plan (P) est un segment

On obtient les points K et L et ainsi l'intersection cherchée Théorème du toit : P1 et P2 sont deux plans sécants Si une droite d1 de P1 est parallèle à une droite

[PDF] 1 DROITES ET PLANS DANS LESPACE - Pierre Lux

Deux plans peuvent être : • sécants ( leur intersection est une droite ) • parallèles ( ils n'ont aucun point commun ou ils sont confondus ) PROPRIETE 2:

[PDF] Géométrie dans lespace

Dans ce cas, l'intersection est une droite Notation : Soit (P1) et (P2) deux plans parallèles On note P1∩P2 =D 1 1 2 Position relative de deux droites

[PDF] Chapitre 13 Droites, plans et vecteurs de lespace - Maths-francefr

Si 3 et 3′ sont deux droites sécantes de l'espace, il existe un plan et un seul 乡 et 乡′ ne sont pas parallèles, l'intersection de ces deux plans est une droite

[PDF] Fiche méthode : intersection dans lespace Intersection de deux

Principe : On commence par trouver deux droites sécantes contenues respectivement dans chacun des deux plans Placer le point d'intersection Recommencer

[PDF] Droites et plans de lespace

1) Par deux points a, b distincts passe une droite et une seule notée (ab) 1 3') Si deux plans distincts ont un point commun, leur intersection est une droite

[PDF] Géométrie dans lespace I Modes de repérage dans lespace

D 3 Intersection de deux droites 12 III D 4 Intersection d'une sphère et d'une droite 12 Soient u et v deux vecteurs de l'espace

[PDF] Vecteurs, droites et plans dans lespace - Lycée dAdultes

1 fév 2021 · Deux droites sécantes ou strictement parallèles définissent L'intersection, lorsqu'elle existe, d'une face par le plan (P) est un segment

[PDF] 1 GEOMETRIE DANS LESPACE FICHE 1 : PARALLELISME I - latiQ

Deux plans de l'espace peuvent être : droites d'intersection sont Parallèles Deux droites de l'espace sont orthogonales si et seulement si il existe deux

[PDF] Chapitre 4: Géométrie analytique dans lespace

4 1 Équation paramétrique de la droite dans l'espace Convention Dans tout ce Calculer le point d'intersection des deux droites sécantes suivantes: a) (d):

Vecteurs, droites et plans dans l"espace

Table des matières

1 Rappels de géométrie euclidienne2

1.1 Perspective cavalière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Le plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Parallélisme de deux plans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Section d"un cube ou d"un tétraèdre par un plan. . . . . . . . . . . 3

1.4.1 Section d"un cube par un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.2 Section d"un tétraèdre par un plan. . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Géométrie vectorielle5

2.1 Définition d"un vecteur dans l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Colinéarité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Coplanarité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Relations entre droites et plans7

3.1 Relations entre deux droites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Relations entre une droite et un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Relation entre deux plans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 Parallélisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Repérage dans l"espace8

4.1 Base et repère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2 Coordonnées d"un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Représentation paramétrique10

5.1 Représentation paramétrique d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.3 Représentation paramétrique d"un plan. . . . . . . . . . . . . . . . 12

PAUL MILAN1TERMINALE MATHS SPÉ

1 RAPPELS DE GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE

1 Rappels de géométrie euclidienne

1.1 Perspective cavalière

Définition 1 :Laperspective cavalièreest une manière de représenter en deux dimensions des objets en volume. Cette représentation ne présente pas de point de fuite : la taille des objetsne diminue pas lorsqu"ils s"éloignent.

Dans cette perspective, deux des axes sont or-

thogonaux (vue de face en vraie grandeur) et le troisième axe est incliné d"un angleαcom- pris entre 30° et 60° par rapport à l"horizon- tale, appelé "angle de fuite". Les mesures sur cet axe sont multipliées par un facteur de ré- ductionkcompris entre 0,5 à 0,7. ?Cette perspective ne donne qu"une indica- tion sur la profondeur de l"objet.A BC DE F G H fuyante ←(×k)α représentation du cube ABCDEFGH ?La perspective cavalièrene conserve pas: la mesure : deux segments de même longueur peuvent être représentés par deux segments de longueurs différentes (AB?=AD); les angles en particulier deux droites perpendiculaires peuvent être représen- tées par deux droites non perpendiculaires ((AB)??(AD)) Ainsi un carré peut être représenté par un parallélogramme (AEHD)! ?Deux droites peuvent se couper sur la perspective sans être sécantes!

Les droites (HC) et (AG) ne sont pas sécantes.

?Par contre, cette perspectiveconserve: le parallélisme : 2 droites parallèles sont représentées par 2droites parallèles; le milieu ou tout autre division d"un segment.

1.2 Le plan

Définition 2 :Trois points non alignés définissent un plan (P). Si (P) est défini par A, B, C alors (P) est noté (ABC). Deux droites sécantes ou strictement parallèles définissent également un plan (P). Exemple :Dans le cube ABCDEFGH le plan (P) est défini par :

les points A, E, C : (P) = (AEC)

les droites (EC) et (AG).

les droites (AE) et (CG)

A BC DE FG H (P)

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1.3 PARALLÉLISME DE DEUX PLANS

1.3 Parallélisme de deux plans

Théorème 1 :Un plan (P) coupe deux plans parallèles (P1) et (P2) en deux droite parallèles. (P1)//(P2) (P)∩(P1) =d1 (P)∩(P2) =d2????? ?d1//d2 d2 d 1 (P1) (P2) (P)

1.4 Section d"un cube ou d"un tétraèdre par un plan

Principe pour déterminer la section du cube ou d"un tétraèdre par un plan (P) L"intersection, lorsqu"elle existe, d"une face par le plan (P) est un segment.

Deux points M et N du plan (P) peuvent être reliés uniquement si M et Nappartiennentaupland"unemêmeface.Lesegment[MN]donnel"intersection

de (P) avec de cette face. La section du cube par le plan (P) est un polygone.

1.4.1 Section d"un cube par un plan

Déterminer la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) tel que : -→EI=2

3--→EH ,-→AJ=23-→AB et-→FK=14-→FG

On trace le cube et on place les point I, J et K. On trace [IK] qui est l"intersection du plan (IJK)avec la face du haut EFGH. On ne peut pas relier J à I ou K car ces segmentsne sont pas sur une face du cube.

On cherche l"intersection de (IJK) avec la faceavantABFE.Pourcela,ondéterminel"intersectionde la droite (IK) avec la droite (EF) qui contientl"arête [EF] appartenant aux faces EFGH et ABFE.

A BC DE FG H ?I J? ?K L M On note L leur point d"intersection. L?(IK) donc L?(IJK). Comme L?(EF), donc L appartient au plan (EFB) contenant la face ABFE. On trace alors la droite (JL) dans le plan (EFB) qui coupe [FB] en M.

M?(JL) donc M?(IJK).

Ainsi [JM] et [KM] constituent les intersections du plan (IJK) avec les faces avant ABFE et de droite BCGF. On trace ces segments. On réitère cette opération pour laface gaucheADHE et laface dudessous ABCD :

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1 RAPPELS DE GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE

On détermine l"intersection de la droite (MJ) avec la droite (AE) qui contient l"arête [AE] appartenant aux faces ADHE et ABFE. On note N leur point d"in- tersection. N?(MJ) donc N?(IJK).

Comme N?(AE), alors N appartient au plan

(EAD) contenant la face ADHE. On trace alors la droite (NI) dans le plan (EAD) qui coupe [AD] en O. Comme O?(NI), O?(IJK). [OI] et [OJ] constituent les intersections du plan (IJK) avec les faces de gauche ADHE et de dessous ABCD. On trace ces segments en pointillé car ces segments sont sur des faces cachées. La section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK)est le pentagone IKMJO.

Remarque :Les faces EFGH et ABCD sont paral-

lèles. Le plan (IJK) coupe ces faces en des segments parallèles. De même pour les faces BCGF et ADHE.A BC DE FG H ?I J? ?K L M N O

On a donc : (IK)//(OJ) et (KM)//(IO).

1.4.2 Section d"un tétraèdre par un plan

Déterminer la section du tétraèdre ABCD par le plan (EFG) tel que :

E centre de gravité du triangle ABD ,

-→BF=1

2-→BC et--→CG=15--→CA

On trace un tétraèdre et l"on place le point Ecomme intersection des médianes du triangleABD et les points F et G.

On trace [GF] qui est l"intersection du plan (EFG)avec la face ABC. On ne peut pas relier E à F ou G car ces segmentsne sont pas sur une face du tétraèdre.

On cherche l"intersection de (EFG) avec la faceABD. Pour cela, on détermine l"intersection dela droite (GF) avec la droite (AB) qui contientl"arête [AB] appartenant aux faces ABC et ABD.On note H leur point d"intersection.H?(GF) donc H?(EFG).

A B C DE FG? H IJ Comme H?(AB), donc H appartient au plan (ABD) contenant la face ABD. On trace alors la droite (HE) qui coupe [BD] en I et [AD] en J. Comme I?(HE) et J?(HE) alors I?(EFG) et J?(EFG). Ainsi [IJ], [FI] et [JG] constituent les intersections du plan (EFG) avec les faces ABD, BCD et ADC. On trace le segment [IJ] et les segment [FI] et [JG] en poin- tillé car sur des faces cachées. La section du tétraèdre ABCD par le plan (EFG) est le quadrilatère GFIJ.

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2 Géométrie vectorielle2.1 Définition d"un vecteur dans l"espaceOn étend la notion de vecteur dans le plan à l"espace.Un vecteur?uou son représentant-→AB est défini par :

une direction : la droite (AB);

un sens : de A vers B;

une norme, notée||?u||: distance AB

AB CD u

Théorème 2 :Égalité de deux vecteurs.

-→AB=--→CD?ABDC parallélogramme

On définit les deux opérations suivantes :

L"additionpar la relation de Chasles :-→AB+-→BC=--→AC La somme de vecteurs de même origine se construit par un parallélogramme. L"addition de deux vecteurs est commutative et associative. Le vecteur nul-→0 est un vecteur de norme nulle.

L"opposé d"un vecteur

?uou-→AB est le vecteur noté-?uou--→AB=-→BA . Leproduit par un scalaire: soit un réelλet le vecteur?v=λ?u va la même direction que le vecteur?u va le même sens que?usiλ>0 et un sens contraire siλ<0 ?v||=|λ| × ||?u|| Bilinéarité:a(?u+?v) =a?u+b?vet(a+b)?u=a?u+b?uaveca,b?R. Exemple :Soit un tétraèdre ABCD. On considère les points I, J, K, L définis par : -→AI=2

3-→AB ,-→BJ=13-→BC ,--→CK=23--→CD ,-→DL=13--→DA

Faire une figure puis montrer que IJKL est un parallélogramme

D"après les relations vectorielles :

-→IJ=-→IB+-→BJ=1

3-→AB+13-→BC=13(-→AB+-→BC) =13--→AC

On a de même :

-→LK=-→LD+--→DK=1 1

3--→AC

Donc :

-→IJ=-→LK et donc IJKL est un parallélogramme. A B CDI J KL

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2 GÉOMÉTRIE VECTORIELLE

Définition 3 :Combinaison linéaire de deux vecteurs. On appelle combinaison linéaire de deux vecteurs ?uet?v, le vecteur ?wtel que : w=a?u+b?vaveca,b?R

Les vecteurs

?u,?vet?wsont alors coplanaires ?u? v a?ub ?v w

2.2 Colinéarité

Définition 4 :Deux vecteurs?uet?vsont colinéaires si, et seulement si, il existe un réelktel que?v=k?uou si l"un d"eux est nul. ?On ne dit pas que des vecteurs sont parallèles mais colinéaires. Remarque :Le vecteur nul-→0 est colinéaire à tout vecteur.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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Vecteurs, droites et plans dans l"espace

Table des matières

1 Rappels de géométrie euclidienne2

1.1 Perspective cavalière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Le plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Parallélisme de deux plans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Section d"un cube ou d"un tétraèdre par un plan. . . . . . . . . . . 3

1.4.1 Section d"un cube par un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.2 Section d"un tétraèdre par un plan. . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Géométrie vectorielle5

2.1 Définition d"un vecteur dans l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Colinéarité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Coplanarité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Relations entre droites et plans7

3.1 Relations entre deux droites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Relations entre une droite et un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Relation entre deux plans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 Parallélisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Repérage dans l"espace8

4.1 Base et repère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2 Coordonnées d"un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Représentation paramétrique10

5.1 Représentation paramétrique d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.3 Représentation paramétrique d"un plan. . . . . . . . . . . . . . . . 12

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1 RAPPELS DE GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE

1 Rappels de géométrie euclidienne

1.1 Perspective cavalière

Dans cette perspective, deux des axes sont or-

Les droites (HC) et (AG) ne sont pas sécantes.

1.2 Le plan

les points A, E, C : (P) = (AEC)

les droites (EC) et (AG).

les droites (AE) et (CG)

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1.3 PARALLÉLISME DE DEUX PLANS

1.3 Parallélisme de deux plans

1.4 Section d"un cube ou d"un tétraèdre par un plan

1.4.1 Section d"un cube par un plan

3--→EH ,-→AJ=23-→AB et-→FK=14-→FG

M?(JL) donc M?(IJK).

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1 RAPPELS DE GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE

Comme N?(AE), alors N appartient au plan

Remarque :Les faces EFGH et ABCD sont paral-

On a donc : (IK)//(OJ) et (KM)//(IO).

1.4.2 Section d"un tétraèdre par un plan

E centre de gravité du triangle ABD ,

2-→BC et--→CG=15--→CA

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2 Géométrie vectorielle2.1 Définition d"un vecteur dans l"espaceOn étend la notion de vecteur dans le plan à l"espace.Un vecteur?uou son représentant-→AB est défini par :

une direction : la droite (AB);

un sens : de A vers B;

une norme, notée||?u||: distance AB

Théorème 2 :Égalité de deux vecteurs.

On définit les deux opérations suivantes :

L"opposé d"un vecteur

3-→AB ,-→BJ=13-→BC ,--→CK=23--→CD ,-→DL=13--→DA

D"après les relations vectorielles :

3-→AB+13-→BC=13(-→AB+-→BC) =13--→AC

On a de même :

3--→AC

Donc :

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2 GÉOMÉTRIE VECTORIELLE

Les vecteurs

2.2 Colinéarité

les points A, E, C : (P) = (AEC)

les droites (EC) et (AG).

les droites (AE) et (CG)

Comme N?(AE), alors N appartient au plan

une direction : la droite (AB);

un sens : de A vers B;

une norme, notée||?u||: distance AB