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Exercice 5 – Caractériser la similitude directe : C → C , z ↦→ f(z) = (3 - 3i)z + 2 Exercice 6 – (Extrait de l'examen d'octobre 2010) 1) Déterminer les nombres 

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10 avr 2012 · Dans les exercices suivants donner l'écriture complexe de la similitude directe de centre Ω d'afixe ω, de rapport k et d'angle θ 1) ω = 1 + i; k = 2; 

[PDF] Exercice 1 : a) Déterminons l affixe du centre A de S 1 , son rapport

L'écriture complexe d'une similitude directe de centre Ω (d'affixe ω), de rapport k et d'angle θ est : z' - ω = k e i θ ( z – ω ) Celle de S2 de centre B ( 1 + i ) , de 

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Exercice 1: Dans le une similitude S de centre O dont on précisera le rapport et l'angle b)Soit H On en déduit qu'un argument de ce nombre complexe est:

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Isométries-similitudes Fiche exercices EXERCICE 1 Soit l'équation z2+(1−2i)z +1+5i=0 définie dans l'ensemble des nombres complexes 1 Trouver les deux 

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Exercice 1 Le plan L' expression complexe d' une similitude directe est de la forme complexe de la similitude f de centre Ω(1 ; 1), de rapport 2 et d'angle π

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Nombres complexes et similitude directe Exercice : Dans le plan orienté, ABCD est un carré de côté 1 et de centre O tel que I est le milieu du segment [AO] 1

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Fiche Exercices Fiche 12 : Similitudes Déterminer l'écriture complexe d'une similitude indirecte Méthode La connaissance de deux points A et B et de leurs  

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Donner l'écriture complexe de cette similitude c Déterminer le centre Ω de la similitude directe s 2 4 Translation et rotation, France 2010 Dans tout l'exercice , 

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Exercice 1 Soit la transformation du plan complexe qui, à un point d' affixe associe le point d'affixe ′ = (−1 + √3) − √3 1 Montrer que est une similitude directe, dont on donnera le rapport et le 

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TerminaleSsp´e

Exo sur les similitudes

Exercice 1 :

Écriture complexe

Dans les exercices suivants donner l'écriture complexe de la similitude directe de centreΩd'afixeω, de rapportket d'angleθ.

1)ω=1+i;k=2;θ=π

2.

2)ω=0;k=⎷

3;θ=π3.

3)ω=1-2i;k=2⎷

2;θ=-π4.

Exercice 2 :

Caractérisation d'une transformation

Dans les exercices suivants, étudier la transformation géométrique et préciser les élé-

ments géométriques qui la caractérise :

1)z?=z+2+i

2)z?=-z+2i

3)z?=3z-2

4)z?=1

iz

5)z?=1+i⎷

3

2z6)z?=⎷

2

2(1+i)z

7)z?=2z+1-i

8)z?-i=(⎷

3+i)(z-i)

9)z?=-2iz+5

10)z?=(3+4i)z-4-8i

Exercice 3 :

Caractéristiques d'une similitude directe

Quelles sont les caractéristiques de la similitude suivante, d'écriture complexe : z ?=(1-⎷

2)eiπ4z+i

Exercice 4 :

Discution suivant la valeur d'un paramètre

Soituun nombre complexe etfla transformation d'écriture complexe : z ?=u2z+u-1

1) Pour quelles valeurs deu,fest-elle une translation?

Dans la suite, on supposeu2?1

paul milan1/7 10 avril 2012 exercicesTerminaleSsp´e

2) Montrer que le pointΩd'affixeω=-11+uest l'unique point fixe def.

3) Déterminer les valeur deupour lesquellesfest une symétrie centrale et représenter

graphiquement les centre de ces symétries.

4) Déterminer les valeur deupour lesquellesfest un quart de tour direct et représenter

graphiquement les centre de ces quarts de tour.

5) Caractériserflorsqueu=1-i.

Exercice 5 :

Propriété géométrique

Placer deux points distinctsOetAet construire à la règle et au compas l'image deA par chacune des similitudes suivantes, toutes centrée enO.

1) angle

3π

4et rapport⎷2.

2) angle-π

6et rapport⎷

3 2.

3) angle

2π

3et rapport12.

4) angle-π

2et rapport⎷

2 2.

Exercice 6 :

Configurations usuelles

Donner l'angle, le rapport et l'écriture complexe de chacune des similitudes directes de centreΩqui transformeAenBpuisBenA.

Exercice 7 :

Moyenne géométrique

Prouver que la similitude directe de centreIqui transformeBenCtransformeCen A. Retrouver (?) ainsi queICest la moyenne géométrique deIAetIB, c'est à dire que

IC=⎷

IA×IB

paul milan2/7 10 avril 2012 exercicesTerminaleSsp´e

Exercice 8 :

ABC est un triangle équilatéral direct de centre de gravité G.I est le milieu de [AB].

Pour chacune des similitudes directes

suivantes préciser son rapport et son angle. a)s1a pour centre B ets1(I)=C. b)s2a pour centre I ets2(A)=C. c)s3a pour centre A ets3(G)=C. A BC I G

Exercice 9 :

ABCD est un carré direct.

O est le centre de ABCD et I le milieu

de [AB]. Pour chacune des similitudes di- rectes suivantes, préciser son rapport et son angle. a)s1a pour centre C ets1(A)=B. b)s2a pour centre O ets2(I)=C. A BC D IO

Exercice 10 :

On considère la figure ci-dessous où A' et B' sont les images de Aet B par une similitude directes:

A'=s(A)etB'=s(B)

a) Quel est le rapport des? b) Construire le point K tel que : I=s(K) c) Construire l'image parsdu cercle de centre A passant par O d) On pose : O'=s(O). Le triangle O'A'B' est-il rectangle? e) L'image parsde la médiatrice de [AB] est-elle parallèle à (AB')? f) Soit C le point de coordonnée (0;-1) et

C' son image pars. Montrer que le tri-

angle A'B'C' est isocèle rectangle en C' et calculer son aire ?A' B A B'O I? J paul milan3/7 10 avril 2012 exercicesTerminaleSsp´e

Exercice 11 :

Similitude et géométrie

Soitsla similitude directe d'écriture complexe : z ?=3+i⎷ 3

4z+1-i⎷

3 2

1) Préciser son rapport, son angle et l'affixe de son centreΩ.

2) Montrer que, pour out pointM, distinct deΩ, d'imageM?pars, le triangleΩMM?est

rectangle enM?.

Exercice 12 :

Similitude directe

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct (O;u;v ), on considere les pointsA,B,C,Dd'affixes respectives : z a=-⎷

1) a) Donner le module et un argument de chacun des quatre nombres complexeszA,zB

,zCetzD b) Construire à la règle et au compas les pointsA,B,CetD(on prendra pour unité graphique 2 cm). c) Déterminer le milieu du segment [AC], celui du segment [BD]. d) Calcu1er le quotient : zB zA.

En déduire la nature du quadrilatèreABCD.

2) On considère la similitude directegdont l'écriture complexe est :z?=e-iπ

3z+2 a) Déterminer les éléments caractéristiques deg. b) Construire à la règle et au compas les images respectivesE,FetJpargdes points

A,CetO.

c) Que constate-t-on concernant ces pointsE,FetJ? Le démontrer

Exercice 13 :

Amérique du nord 2003

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O,?u,?v) d'unité graphique 1 cm, on considère les points A

0, A1, A2d'affixes respectives

z

0=5-4i,z1=-1-4i,z2=-4-i

1) a) Justifier l'existence d'une unique similitude directeStelle queS(A0)=A1et

S(A1)=A2.

b) Établir que l'écriture complexe deSestz?=1-i

2z+-3+i2.

c) En déduire le rapport, l'angle et l'affixeωdu centreΩde la similitudeS. d) On considère un pointM, d'affixezavecz?0, et son imageM?, d'affixez?. Vérifier la relation :ω-z?=i(z-z?); en déduire la nature du triangleΩMM?. paul milan4/7 10 avril 2012 exercicesTerminaleSsp´e

2) Pour tout entier natureln, le point An+1, est défini par An+1=S(An) et on pose :

u n=AnAn+1. a) PlacerlespointsA

0, A1,A2etconstruiregéométriquementlespointsA3, A4, A5, A6.

b) Démontrer que la suite (un) est géométrique.

3) La suite (vn) est définie surNparvn=u0+u1+···+un=n?

k=0uk. a) Exprimervnen fonction den. b) La suite (vn) est-elle convergente?

4) a) Calculer en fonction denle rayonrndu cercle circonscrit au triangleΩAnAn+1.

b) Déterminer le plus petit entier naturelptel que, pour tout entier natureln: sin>palorsrn<10-2. paul milan5/7 10 avril 2012 exercicesTerminaleSsp´e

Exercice 14 :

La Réunion juin 2006

On complètera la figure donnée ci-dessous au fur et à mesure des questions, et on la rendra avec la copie. ABCD est un carré tel que?---→AB,---→AD?

2. Soit I le centre du carré ABCD. Soit J

le milieu du segment [CD]. On désigne parsla similitude directe qui transforme A en I et B en J. Le but de l'exercice est d'étudier certaines propriétés de la similitude s.Dans la partie Aon utilisera des raisonnements géométriques; dans la partieBon utilisera les nombres complexes.

Partie A

1) Déterminer le rapport et l'angle de la similitudes.

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