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Fiche méthode : équations diophantiennes

Résoudre une équation diophantienne

Principe

Résoudre une équation diophantienne se passe en deux ou trois temps

1) On détermine un solution particulière ( un ou deux temps)

2) utilisant le théorème de Gauss

Une équation diophantienne est de la forme : ax + by = c avec a , b , c , x et y des entiers relatifs et le but est de trouver (x ;y) . Une équation diophantienne a des solutions si et seulement si c est un multiple de PGCD(a ;b) Pourquoi ? Parce que pour pouvoir utiliser le théorème de Gauss , on a besoin que a et b soient premiers entre eux !

On va travailler sur un exemple détaillé

Résoudre : 630 x 1088 y = 20 avec x et y entiers relatifs .

Avant de commencer

: à la calculatrice , on détermine PGCD(630 ;1088) = 2 . Comme 20 est un multiple de 2 , il y a des solutions donc on peut poursuivre .

Simplifions par 2 :

315 x 544 y = 10

Solution particulière de 315 x 544 y = 1

544 = 315 + 229

315 = 229 + 86

229 = 2(86) + 57

86 = 57 + 29

57 = 29 + 28

29 = 28 +1

Puis , on va " remonter

Fiche méthode : équations diophantiennes

1 = 29 28 = 86 57 (57 29 ) = 86 2( 57) + 29

= 315 229 2 (229 2(86)) + 86 57 = 315 3 (229) + 5 (86) 57 = 315 3 ( 544 315) +5(315 229 ) ( 229 2(86)) = - 3 (544) + 9(315) 6(229) + 2(86) = 9 (315) 3(544) 6 (544 315 )+2(315 229 ) = - 9(544) +17 (315) -2( 229) = - 9 ( 544) +17 ( 315) 2 ( 544 315) = -11 (544) +19( 315)

On a donc : 1 = 315 (19) 11 ( 544)

La solution particulière de 315 x 544 y = 1 est donc le couple ( 19 , 11) Faire attention de bien mettre les solutions dans le bon or

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