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Les formules de Cardan :

résolution des équations du troisième degré

I) Historique

La méthode de Cardan, imaginée et mise au point par Jérôme Cardan dans son ouvrage Ars Magna publié en

1545, est une méthode permettant de

résoudre toutes les équations du troisième degré.

Cette méthode permet de mettre en place des formules appeléesformules de Cardandonnant en fonction dep

etqles solutions de l"équation x3+px+q= 0.

Elle permet de prouver que

les équations de degré 3 sont résolubles par radicaux: les solutions s"expriment en

fonction des coefficients du polynôme en utilisant seulementles quatre opérations habituelles (+- ×et÷), et

l"extraction de racines carrées, et de racines cubiques.

On sait déjà que les solutions d"une équation du second degréde la formeax2+bx+c= 0sont de la forme

x=-b+⎷

2aetx=-b-⎷

2a, oùΔ =b2-4acest le discriminant de l"équation, sous la condition queΔ>0.

Les solutions s"expriment donc à l"aide des coefficientsa,betcsous forme d"expressions utilisant seulement les

quatre opérations habituelles sur les nombres rationnels (+- ×et÷), et l"extraction de racine carrée.

L"objet des recherches des mathématiciens italiens de la Renaissance était de trouver des formules analogues

pour tout polynôme de degré 3, de la formeax3+bx2+cx+d= 0.

Nous montrerons comment l"équation généraleax3+bx2+cx+d= 0peut se ramener à une équation "plus

simple" de la formex3+px+q= 0(qui n"a pas de terme enx2) à l"aide d"un changement de variable,

puis nous étudierons comment résoudre une telle équation par l"utilisation d"une forme "canonique". Pour bien

comprendre le raisonnement, dans le paragraphe suivant, nous allons rappeler les idées développées lors de

l"étude des polynômes de degré deux, puis nous expliqueronsla méthode pour les polynômes du troisième degré.

II) Une présentation des idées sur les équations de degré 2

Voici un court rappel de la méthode qui a conduit à la formule du discriminant pour les polynômes du second

degré, cette méthode sera réutilisée pour les équations de degré 3 :

•Cas particulier :

On sait résoudre les équations de la formex2-q= 0: les solutions sontx=⎷ qetx=-⎷qsiq≥0.

•Cas général :

Si on a une équation générale du second degréax2+bx+c= 0alors on se ramène à une équation de la forme

précédente en posant un changement de variable: en effet, on a les équivalences suivantes ax

2+bx+c= 0??a?

x 2+b ax+ca? = 0??x2+bax+ca= 0 que l"on peut encore écrire avec la forme canonique, x+b 2a? 2 -b2-4ac4a2= 0. On a donc, en posant le changement de variableX=x+b

2a, l"équationX2-?

2a? 2 = 0, c"est à dire une équation du type précédent si on poseq=? 2a? 2 ,q≥0. On en déduitX=⎷

2aouX=-⎷

2a.

Et sachant quex=X-b

2a, on obtient les formules classiques :x=-b+⎷

2aoux=-b-⎷

2a.

III) Présentation de la méthode générale pour une équation du troisième degréax3+bx2+cx+d= 0

Soit donc un polynôme du troisième degré,ax3+bx2+cx+d= 0, aveca?= 0.

On peut écrirea?

x 3+b ax2+cax+da? = 0. Et on peut obtenir via la forme canonique du développement d"un cubea? x+b 3a? 3 +p? x+b3a? +q? = 0, en posantp=-b23a2+caetq=b27a?

2b2a2-9ca?

+da.

Exercice :

Développer l"expressiona?

x+b3a? 3 +p? x+b3a? +q? oùp=-b23a2+caetq=b27a?

2b2a2-9ca?

+da, et montrer que l"on obtient bien la formeax3+bx2+cx+d.

À partir de l"équationa?

x+b 3a? 3 +p? x+b3a? +q? = 0, on peut poser le changement de variable X=x+b

3a, et on obtienta?X3+pX+q?= 0. Cette équation est donc équivalente àX3+pX+q= 0.

Exercice :

Considérons l"équation du troisième degré6x3-6x2+ 12x+ 7 = 0.

Donner les valeurs dea,b,cetd.

PoserX=x+b

3a=x-13, c"est à dire remplacerxparx=X+13, et montrer qu"on obtient l"équation

suivante :54X3+ 90X+ 95 = 0. IV) Présentation de la méthode de résolution de l"équationx3+px+q= 0

Ainsi donc, une équation quelconque de degré trois peut se ramener à une équation de la formex3+px+q= 0.

On va maintenant poserx=u+v, avecuetvréels, de façon à avoir deux inconnues au lieu d"une et se

donner ainsi la possibilité de poser ultérieurement une condition suruetvpermettant de simplifier le problème.

L"équation devient ainsi(u+v)3+p(u+v) +q= 0.

Cette équation se transforme sous la forme suivante :u3+v3+ (3uv+p)(u+v) +q= 0.

Exercice :

Développer l"expressionu3+v3+ (3uv+p)(u+v) +q, et montrer que l"on obtient bien la forme(u+v)3+ p(u+v) +q= 0.

La condition de simplification annoncée sera alors3uv+p= 0. Ce qui nous donne d"une l"équationu3+v3+q= 0.

Et la condition de simplification3uv+p= 0implique queuv=-p

3; expression qui, en élevant les deux membres

à la puissance 3, donneu3v3=-p3

27.
Nous obtenons finalement le système somme-produit des deux inconnuesu3etv3suivant :? ?u

3+v3=-q

u

3v3=-p3

27On peut poser les inconnuesU=u3etV=v3, on connaît alors la somme et le produit deUetV?

?U+V=-q

UV=-p3

27doncUetVsont les racines du polynôme du second degréZ2+qZ-p327.

Le discriminant de cette équation estΔ =q2+4

27p3, et en supposant queΔ≥0les racines sont

U=u3=-q+⎷

2etV=v3=-q-⎷

2

On extrait alors des racines cubiquesu=3?

-q+⎷Δ

2etv=3?

-q-⎷Δ

2. On a alorsx=u+vdonc

x=3?-q+⎷Δ 2+3? -q-⎷Δ 2 c"est cette formule qui fait partie des formules de Cardan.

V) Quelques exemples concrets

Exemple 1

(sous forme d"exercice guidé pour comprendre les étapes du raisonnement précédent) Considérons l"équation du troisième degré6x3-6x2+ 12x+ 7 = 0.

1.En identifiant les coefficients avec la formule généraleax3+bx2+cx+d= 0, donner les valeurs dea,b,

cetd.

2.PoserX=x+b

3a=x-13, c"est à dire remplacerxparx=X+13, et montrer qu"on obtient l"équation

équivalente suivante :54X3+ 90X+ 95 = 0.

3.Poser alors :X=u+v, et montrer qu"on obtient l"équation54(u3+v3) + (162uv+ 90)(u+v) + 95 = 0.

4.Écrire la condition de simplification; donner alors le système d"équation somme-produit portant suru3et

v 3.

5.u3etv3sont donc les racines d"un polynôme de degré2, écrire ce polynôme. En déduire queu3=5

54et
v 3=-50

27(ou dans l"ordre inversev3puisu3).

6.Le couple(u,v)est donc égal àu=3?

5

54=133?

5

2etv=-3?

50

27=-133⎷50.

Trouver les valeurs deXpuis dex.

Solution de l"exemple 1:

1.En identifiant les coefficients avec la formule généraleax3+bx2+cx+d= 0, l"équation6x3-6x2+12x+7 = 0

a pour coefficientsa= 6,b=-6,c= 12etd= 7.

2.En posantX=x+b

3a=x-13, c"est à dire en remplaçantxparx=X+13, on obtient l"équation

6 X+1 3? 3 -6? X+13? 2 + 12X+ 11 = 0. Soit6X3+ 10X+959= 0. Et en multipliant par9pour ne plus avoir de fractions, on obtient l"équation équivalente54X3+ 90X+ 95 = 0.

3.En posant alors :X=u+v, on obtient l"équation54(u+v)3+90(u+v)+95 = 0. Qui par développement

donne54u3+ 162u2v+ 162uv2+ 54v3+ 90u+ 90v+ 95 = 0.

Mais le développement de l"équation54(u3+v3)+(162uv+90)(u+v)+95 = 0donne la même équation.

Donc l"équation à résoudre est :54(u3+v3) + (162uv+ 90)(u+v) + 95 = 0.

4.L"équation à résoudre est :54(u3+v3) + (162uv+ 90)(u+v) + 95 = 0.

La condition de simplification sera donc :162uv+ 90 = 0; c"est à direuv=-5 9. Le système d"équation somme-produit portant suru3etv3est :? ?u

3+v3=-95

54
u

3v3=?-5

9? 3 =-125729

5.On cherche doncuetvtels que?

?u

3+v3=-9554

u

3v3=-125

729;u3etv3sont donc les racines deZ2+95

54Z-125729.

Le discriminantΔestΔ =1225

324=3518,Δ>0donc les deux racines de cette équation sont :u3=554et

v 3=-50 27.

6.On a doncX=u+v=1

3? 3? 5

2-3⎷50?

Et on obtient finalement une solution de l"équation que l"on s"était donné de résoudre : x=X+1 3=13? 3? 5

2-3⎷50 + 1?

Exemple 2(mise en pratique de la méthode en utilisant les formules trouvées)

Considérons l"équation :x3-6x2+ 9x-1 = 0.

En identifiant les coefficients avec la formule généraleax3+bx2+cx+d= 0, l"équationx3-6x2+ 9x-1 = 0

a pour coefficientsa= 1,b=-6,c= 9etd=-1.

En posantX=x+b

3a=x-2, c"est à dire en remplaçantxparx=X+2, on obtient l"équationX3-3X+1 = 0.

On ap=-3etq= 1, donc on chercheuetvtels queX=u+v, avecu3v3=-p3

27= 1etu3+v3=-q=-125

doncu3etv3sont racines de l"équationZ2+Z+ 1 = 0. Le discriminant estΔ =-3,Δ<0donc on est bloqué.

Cependant, on voit bien en traçant le graphe de la fonction qu"il existe trois solutions réelles :

±15±10±55

1015

±1 1 2 3 4 5

x

Les mathématiciens cherchèrent donc une façon de les trouver avec les mêmes formules (dites de Cardan), et

furent amenés à essayer de considérer⎷ Δ =⎷-3dans leur équation, afin de poursuivre leurs calculs...

Exemple 3(exemple historique)

Dans l"exemplex3= 15x+ 4ou bienx3-15x-4 = 0, on ap=-15etq=-4, donc :u3v3=-p3

27= 125et

u

3+v3=-q= 4doncu3etv3sont racines de l"équationZ2-4Z+125 = 0, dont les racines réelles n"existent

pas puisqueΔ<0. Pourtant, il y a bien une solution réellexà l"équation initiale; c"estx= 4. C"est

Bombelli(un contemporain de Cardan) qui surmonta cette difficulté en proposant pour la première fois

un calcul sur les nombres "imaginaires". La résolution "formelle" de l"équationZ2-4Z+ 125 = 0donne pour

racinesu3= 2 +⎷ -121 = 2 + 11⎷-1etZ= 2-⎷-121 = 2-11⎷-1, or Bombelli s"aperçoit que le cube de

2 +⎷

-1vaut2 + 11⎷-1(cf calcul(?)) et que le cube de2-⎷-1vaut2-11⎷-1.

Il en déduit queu= 2 +⎷

-1et quev= 2-⎷-1et il trouve bien comme solution finalex=u+v= 4. Ainsi, en s"autorisant des calculs avec un nombre "imaginaire"⎷ -1, Bombelli a su trouver des solutions réelles. (?)Détail du calcul pour justifier que?2 +⎷-1?3= 2 + 11?⎷-1?: Sachant que(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3, on a :?2 +⎷ -1?3= 23+3(2)2?⎷-1?+3(2)?⎷-1?2+?⎷-1?3.

Sachant que?⎷

-1?2=-1et donc?⎷-1?3=-?⎷-1?, on obtient que?2 +⎷

-1?3= 23+ 3(2)2?⎷-1?+ 3(2)?⎷-1?2+?⎷-1?3= 8 + 12?⎷-1?-6-?⎷-1?= 2 + 11?⎷-1?.

Exercice : de même, sachant que(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3, montrer que l"on a :?2-⎷ -1?3= 2-11?⎷-1?

Cependant, quel sens donner à

-1, quelles règles de calcul pouvait on lui appliquer? Ce fut l"objet de nom-

breuses discussions et controverses... (cf paragraphe suivant sur l"histoire des nombres imaginaires).

VI) Prolongement historique

VI-1) Prolongement historique sur équations polynomiales

On raconte que la méthode de Cardan fut précédemment découverte par le mathématicien italien Tartaglia.

À cette époque, les mathématiciens se lançaient des défis pour résoudre des équations du troisième degré et

Tartaglia les résolvait toutes. Intrigué, Cardan lui demanda s"il n"aurait pas trouvé une méthode systématique.

Après s"être fait prier et avoir reçu l"assurance que Cardan ne les dévoilerai à personne, Tartaglia les lui confia.

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