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Exercice 1 (Méthode de Cardan (1501-1576) / Tartaglia (1500-1557)) Soient p, q ∈ R On va résoudre : (E) z3 + pz + q = 0 — Vérifier que toute équation 

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10 oct 2012 · EXERCICE 1 Ce problème illustre la méthode générale de Cardan pour résoudre les équations du troisième degré à travers l'exemple suivant 

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La méthode de Cardan, imaginée et mise au point par Jérôme Cardan dans son Exercice : Considérons l'équation du troisième degré 6x3 − 6x2 + 12x +7=0

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On a vu ci-dessus que la méthode de Cardan am`ene `a extraire des racines cubiques de nombres complexes Encore faut-il montrer que c'est possible et dire  

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Exercice 1 : Méthode de résolution de Cardan-Hudde 1) Etape 1 a) On va développer l'expression (x + a)3 + p(x + a) + q puis identifier les coefficients avec

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24 sept 2011 · méthode différente `a chaque fois 1 Méthode de Cardan Le but de ce paragraphe est de EXERCICE 1 Soit n ∈ N un entier supérieur ou 

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21 sept 2013 · EXERCICE 1 : Sommes trigonométriques Mots-clés EXERCICE 2 : Coefficients du binôme et somme de carrés Méthode de Cardan

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bon exercice de calcul pour les élèves qui découvrent à ce moment-là les nombres complexes On retrouve bien la solution mise en évidence au 1) 3) a) On peut 

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par le corps C Ces formules proviennent d'une méthode de Cardan que nous Rechercher par dichotomie la solution de l'équation de l'exercice 1 située dans

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DEVOIRSURVEILL´EN°01

dur´eedel"´epreuve4heures

LISEZ-MOI!

Lesujetest tr`esprochede cequia ´et´etrait´e ens´eance.Prenez10minutesau d´ebutde l"´epreuvepour regarderl"ensembledusujetet rep´ererlespartiesquevousconnaissezbien, ouaucontrairelespartiesquivous semblentplusdifficiles. etd´ebutezparce que vous savezlemieuxfaire! COMPOSITION DEL"´EPREUVE ET BARˆEMEAPPROXIMATIF Mots-cl´es:racinescubiques,syst`emesomme-produit, factorisation,changementd"in-

EXERCICE1:Sommestrigonom´etriques

EXERCICE2:Coefficientsdu binˆome etsommedecarr´es

EXERCICE3:Partie enti`ered"unr´eel

Mots-cl´es: formuledubinˆome...............................................≈3pt

Mots-cl´es:racinesciqui`emesdel"unit´e, identit´e g´eom´etrique.................≈4pt

Nb:l"utilisation descalculatricesestinterdite.

1 L"objetde ceprobl`eme estd"´etudierlesm´ethodesquiconduisirentlesmath´ematiciensitaliens duXVIi`emesi`ecle`aintroduirelesnombrescomplexes.Contrairement`ace quel"onpourrait Lesprincipauxacteursde cetted´ecouvertefondamentalesontGirolamo-J´erˆome enversion

1557)etRaffaeleBombelli(1526-1573).

Dansceprobl`eme,onr´esoutdeux´equationspolynomialesdedegr´etrois suivantune m´ethodediff´erente`achaquefois.

1.En d´eterminantuneracineimaginairepure

Lebutde cettequestionestder´esoudredansCl"´equation z

3-(5+3i)z2+(7+16i)z+3-21i=0(EQ1)

solution del"´equation:

5y2-16y+3=0

b.En d´eduireuneracinede(EQ1)etunefactorisation du polynˆome

P(z)=z3-(5+3i)z2+(7+16i)z+3-21i.

c.R´esolvez(EQ1).

2.M´ethodedeCardan

Lebutde cettequestionestder´esoudredansCl"´equation z

3-3iz+1-i=0(EQ2)

Acettefin,consid`eronslesyst`emesuivant:

?u+v=z u×v=i.(S) a.Montrerquesizestsolution de(EQ2),et (u,v)estunesolution de(S),alorsn´ecessairement u

3etv3sontles solutionsde:

w

2+(1-i)w-i=0(E)

b.R´esolvezl"´equation(E),en d´eduirelesvaleursdeu.En utilisantl"´egalit´ei=uven d´eduire

lesvaleursdev. c.R´esolvezl"´equation(EQ2).Vouspr´esenterezles solutionsen notationalg´ebrique. 2

EXERCICE1:Sommestrigonom´etriques

1.Question decours:soit (xk)et (ak)deuxsuitesdenombresr´eelstellesquepour tout

entiernaturelk?N,ona:xk=ak+1-ak.`Al"aided"unchangementd"indice,montrezquepour toutentiernatureln?N,ona

n k=0x k=an+1-a0.

2.Exprimez, lorsque cela aunsenstan(p)-tan(q)`al"aidedesin(p-q),cos(p)etcos(q).

D´eduisez-en une expressionr´eduitedelasommen? k=11 cos(kx)cos?(k+1)x?.

3.a.V´erifiezquesin(x)=3sin?x

3?-4sin3?x3?.

b.Calculezlasommen? k=13 k-1sin3?x 3k?. EXERCICE2:Coefficientsdu binˆome etsommedecarr´es

Soitn?Nunentiernaturel,fix´e.

1.Soitp?[[0,n]].En utilisantlaformuledePascal,montrezque?k

p?peuts"´ecriresousla formeak+1-ak.D´eduisez-enque n k=0? k p? =?n+1 p+1?

2.D´eduisez-enlasommedesnpremiersentiers(non nuls).

2?+b?k

1?.D´eduisez-enlavaleurdelasomme

desnpremierscarr´esd"entiers(non nuls).

EXERCICE3:Partie enti`ered"unr´eel

1.`Al"aidedelaformuledu binˆomedeNewton,d´eveloppez(3+⎷

5)net (3-⎷5)n.

2.D´eduisez-enque(3+⎷

5)n+(3-⎷5)nestunentierpair.

3.En d´eduirequelapartie enti`erede(3+⎷

5)nestunentierimpair.

Indication:on donne⎷

5≈2,2 `a 10-1pr`es.

1.Onconsid`erel"´equation d"inconnuez?C

z

5-1=0(EQ3)

Quelles sontles solutionsde(EQ3)?Repr´esentez ces solutions sousforme exponentielle. 3

2.Onconsid`erel"´equation d"inconnuez?C

1+z+z2+z3+z4=0(EQ4)

a.`Al"aidedelapremi`erequestion,donnezles solutionsde(EQ4).Repr´esentez ces solutions surle cercletrigonom´etrique. b.R´esolvez(EQ4)encalculantlespartiesr´eellesetimaginairesdes solutions`al"aidede Indication:vouspourreznoterque0n"estpas solution de(EQ4)eteffectuerle change- mentd"inconnuew=z+1 z. c.D´eduisezdesdeux questionspr´ec´edenteslesvaleursde cos?2π

Fin dusujet

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