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Exemples d'utilisation d'un repere

Daniel PERRIN

Ce texte vise a donner des elements pour traiter l'expose 22 du CAPES

2013. Comme un certain nombre d'autres, il s'agit d'un expose \auberge es-

pagnole" ou il faut surtout disposer de bons exemples. Cependant, il faut aussi avoir un recul un peu theorique, voir paragraphe 2 ci-dessous.

1 Prerequis et denitions

1.1 Prerequis

Le prerequis essentiel pour cet expose est la notion de vecteur et tout ce qui tourne autour (addition, multiplication par un scalaire, etc.). En par- ticulier, on dira qu'une droite, un plan ou un espace de dimension 3 est anelorsqu'on a deni sur cet objet la notion de vecteur avec les pro- prietes usuelles. La notion de base (ou de famille libre et generatrice) est sous-jacente, m^eme si elle n'est pas dans les programmes. On l'utilisera dans ce qui suit en indiquant comment la contourner eventuellement. Pour qu'il n'y ait pas d'ambigute sur les denitions je les precise ici. Il n'est peut-^etre pas indispensable de le faire le jour du CAPES.

1.2 Denitions

1.2.1 Sur la droite

1.1 Denition.SoitDune droite ane. Un repere (ane, ou cartesien)

deDconsiste en la donnee d'un pointO2Det d'un vecteur directeur~ide D. Il revient au m^eme de se donner deux points distinctsO;IdeD, avec la formule!OI=~i. On peut alors decrire, de maniere unique, tout pointMde Dpar la formule!OM=x~iouxest l'abscisse deMdans le repere(O;~i).

1.2.2 Dans le plan

1.2 Denition.SoitPun plan ane. Un repere (ane, ou cartesien) deP

consiste en la donnee d'un pointO2Pet de deux vecteurs non colineaires (ou independants)~iet~j. Il revient au m^eme de se donner trois points non 1 alignesO;I;Javec les relations!OI=~iet!OJ=~j. On peut alors decrire, de maniere unique, tout pointM2Ppar la formule!OM=x~i+y~jouxet ysont l'abscisse et l'ordonnee deM.

1.2.3 Dans l'espace

1.3 Denition.SoitEun espace ane de dimension3. Un repere (ane,

ou cartesien) dePconsiste en la donnee d'un pointO2Pet de trois vecteurs independants ~i,~jet~k. Il revient au m^eme1de se donner quatre points non coplanairesO;I;J;Kavec les relations!OI=~i,!OJ=~jet!OK=~k. On

peut alors decrire, de maniere unique, tout pointM2Ppar la formule!OM=x~i+y~j+z~koux,yetzsont l'abscisse, l'ordonnee et la cote deM.

1.2.4 Repere orthonorme

1.4 Denition.On suppose la droite, le plan ou l'espace (noteEdans les

trois cas) muni d'une structure metrique (par exemple un produit scalaire). Un repere ane deEest ditorthogonalsi ses vecteurs sont orthogonaux et orthonorme si, de plus, ils sont de norme1.

2 Problematique

2.1 Quels problemes peut-on traiter a l'aide de reperes?

Les reperes peuvent intervenir dans presque tous les problemes de geometrie, leur fonction etant de transformer des problemes geometriques en problemes algebriques ou analytiques

2. Ils peuvent notamment servir a montrer des

proprietes, a faire des constructions, a determiner des lieux, a resoudre des problemes d'optimisation, a calculer des grandeurs, etc. Ils peuvent ^etre uti- lises a la fois dans le plan et dans l'espace. Nous donnerons des exemples de chaque sorte ci-dessous.

2.2 Quels types de repere utiliser?

C'est une question essentielle. Au niveau du second degre, deux types de reperes peuvent ^etre utilises : les reperes orthonormes

3ou les reperes1. Et cela constitue une denition alternative de \lineairement independants".

2. Dans les programmes actuels de lycee il n'y a plus grand-chose d'autre en geometrie

et c'est bien triste.

3. Les reperes orthogonaux non orthonormes doivent en general ^etre proscrits, voir

ci-dessous 5.1. 2 cartesiens (ou anes), pas necessairement orthogonaux ni normes. On peut eriger en regle les principes suivants : Si le probleme a traiter est euclidien, par ses hypotheses ou sa conclu- sion, c'est-a-dire s'il met en jeu des longueurs, des angles, l'orthogonalite, des cercles, le produit scalaire, etc. il faut absolument utiliser un repere ortho- norme , voir 3.1.2. En eet, dans un repere non orthonorme, pour ne donner que cet exemple, le calcul de la longueurAM, avecA= (a;b) etM= (x;y), par la formuleAM2= (xa)2+ (yb)2est incorrect. Si le probleme est de nature ane, c'est-a-dire si hypotheses et conclu- sions portent sur des proprietes d'alignement, de concours, de parallelisme, d'aires

4, on peut utiliser un repere cartesien. C'est encore vrai si les pro-

prietes en jeu peuvent s'exprimer en termes de vecteurs (sans produit sca-

laire) comme par exemple le fait queMest le milieu de [AB] (qui s'ecrit!AM=!MB, voire au tiers de [AB] du c^ote deA(!AM=12

!MB) ou dans une proportion quelconque. En eet, ces proprietes peuvent se verier avec les co- ordonnees que le repere soit orthonorme ou non. Cela regroupe les resultats qui s'exprimaient autrefois en termes de rapports de mesures algebriques (Thales, Menelaus, Ceva, etc.).

3 Des exemples en geometrie plane

3.1 Des reperes pour montrer des resultats

Ici, il est essentiel de bien distinguer selon la nature du probleme, ane ou euclidien.

3.1.1 Un probleme ane : le concours des medianes

SoitABCun triangle,A0;B0;C0les milieux de[BC],[CA]et[AB], res- pectivement. Montrer que les droites(AA0),(BB0)et(CC0)sont concourantes en un pointGet queGest au tiers de[AA0]du c^ote deA0(et de m^eme pour les autres). On remarque qu'il s'agit d'un probleme ane (car milieu et tiers peuvent s'exprimer en termes devecteurs.) On peut donc choisir un repere cartesien

adapte au probleme, par exempleB;C;A. Autrement dit on prendB= (0;0),4. Ce point n'est pas tout a fait evident. On prend comme unite d'aire le pa-

rallelogramme b^ati sur le repere ane. Alors, la mesure de l'aire du triangleABCest la moitie de la valeur absolue du determinant des vecteurs!ABet!AC. Par une application ane l'aire est multipliee par le determinant de l'application lineaire associee, mais les rapports d'aires sont invariants. 3

C= (1;0) etA= (0;1). On en deduitA0= (12

;0),B0= (12 ;12 ) etC0= (0;12 La droite (BB0) a pour equationy=x, la droite (CC0),y=12 x+12 .On en deduit leur point d'intersectionG= (13 ,13 ) et on verie qu'il est sur (AA0), y=2x+1. Pour les tiers on ecrit les vecteurs, par exemple!BG= (13 ,13 ) et!GB0= (16 ;16 ) donc!BG= 2!GB0, ce qui est une maniere d'ecrire la propriete du tiers.

3.1.2 Une redaction incorrecte pour le concours des medianes

Le lecteur est invite a traiter l'exercice suivant sans en lire la correction. On considere un triangleABC, et on noteA0;B0;C0les milieux des c^otes [BC],[CA]et[AB]respectivement. SoitGle point d'intersection des droites (AA0)et(BB0). On utilise le repere forme des pointsB= (0;0),A= (0;1)etC= (1;0).

1) a) Determiner les coordonnees des pointsA0;B0;C0etG.

b) Montrer queGest sur(CC0). c) Montrer l'egalite de longueursAG= 2GA0et les egalites analogues avecBetC.

2) Calculer les longueursAGetCGet montrer qu'elles sont egales.

Dans cet exercice, le resultat de la question 1) est correct (c'est celui vu ci-dessus), mais il est maladroit de formuler les proprietes en termes de longueurs. En eet, le fait d'utiliser des longueurs ne permet pasa priori d'employer un repere cartesien comme il est propose. Ici, c'est cependant correct parce que les proprietes peuvent s'exprimer en termes de vecteurs. Si dans la question 1), la maladresse ne pr^ete pas a consequence, en revanche, la question 2) est faite expres pour induire en erreur en incitant a calculer les longueurs comme si le repere etait orthonorme. On trouve dans ce casAG2=19 +49
=59 etCG2=49 +19 =59 doncAG=CG. Pourtant, cette propriete n'est vraie que si le triangle est isocele enB. En eet, si l'on aAG=CGle triangleAGCest isocele enGdonc la mediane (GB0) est aussi hauteur et c'est vrai aussi dansABCqui est donc isocele enB. On a donc montre que tout triangle est isocele!

3.1.3 Pappus ane

Voici l'enonce :

Soientd;d0deux droites secantes enOet soientA;B;C(resp.A0;B0;C0) trois points ded(resp.d0) distincts deO. On suppose que les droites(AB0)et 4 d d' O A B C B' A'

C'Figure1 { La version ane de Pappus

(BA0)sont paralleles, ainsi que(AC0)et(CA0). Alors(BC0)et(CB0)sont paralleles. Le probleme est clairement ane, de sorte qu'on peut prendre un repere d'origineOavecd0etdcomme axes desxet desy. Il n'est pas necessaire de prendre les points donnes comme points unites, c'est m^eme plut^ot mieux d'utiliser des parametres pour bien comprendre le calcul. On pose doncA= (0;a),B= (0;b),C= (0;c),A0= (a0;0),B0= (b0;0) etC0= (c0;0). On ecrit que les droites (AB0) et (A0B) sont paralleles. Leurs equations sont y=ab

0x+aety=ba

0x+b. Dire qu'elles sont paralleles signie qu'elles ont

m^eme coecient directeur, ce qui donneaa0=bb0. Le calcul est identique pour (AC0) et (A0C) (et c'est ici qu'on voit l'inter^et d'avoir pris des parametres : la relation est la m^eme que l'autre en changeant simplement les noms :aa0= cc

0). On en deduitbb0=cc0qui, la encore, est la relation qui exprime le

parallelisme de (BC0) et (CB0).

3.1Remarque.Il y a une variante de Pappus, projective : on suppose que

les droites (AB0) et (BA0) se coupent enW, (CA0) et (AC0) enVet (BC0) et (CB0) enU. AlorsU;V;Wsont alignes. On peut traiter ce probleme en utilisant le m^eme repere. On trouve comme coordonnees deW: x=a0b0(ba)bb

0aa0ety=ab(b0a0)bb

0aa0 et de m^eme pour les autres par permutation circulaire. Il n'y a plus qu'a verier que ces points sont bien alignes, ce qu'on peut par exemple traduire par la nullite d'un determinant 33 qu'un logiciel de calcul formel verie sans peine. 5

3.1.4 Encore un probleme ane : le probleme des tiers

Il s'agit d'un probleme classique, dont on trouvera plus bas un enonce extrait d'un manuel (le de de Day). Attention, cet enonce est un peu desagreable sur plusieurs points. D'abord, les noms des points (TRIetJUS) sont stupides car ils perdent la possibilite d'utiliser les permutations comme on l'a vu plus haut. Ensuite, l'enonce suggere d'utiliser un repere cartesien sans justier pourquoi c'est possible (c'est encore une fois parce que les hypotheses et les conclusions, milieux et tiers, peuvent se traduire en termes de vecteurs). Enn, il semble considerer que la reciproque va de soi, ce qui n'est pas si evident. Pour la traiter on peut prendre cette foisS;J;Ucomme repere ane. Voir des details dans le chierElise.E36 : Problèmes de constructions géométriques

Niveaux : 3

ème

/ 2 nde / 1

ère

S

Prérequis : construction à la règle et au compas, théorème de Thalès, homothéties

Plan :

I) Polygones inscrits dans un polygone

1) Un carré dans un triangle

2) Un triangle dans un triangle

II) Pentagone régulier

III) Autres constructions géométriques

2) Triangle rectangle isocèle

I) Polygones inscrits dans un polygone

1) Un carré dans un triangle - Exercice 3

ème

Soit ABC un triangle. On veut construire un carré MNOP inscrit dans le triangle ABC tel que : P [AB], O [AC], M [BC] et N [BC]. construit le résultat voulu. (Aide préalable avec un logiciel et abandon de la contrainte O [AC])

2) Un triangle dans un triangle - Exercice 2

nde (MR 104p283)

3.1.5 Un probleme euclidien : le concours des hauteurs

SoitABCun triangle. Montrer que les hauteurs(AA0),(BB0)et(CC0) (les pointsA0;B0;C0sont les pieds des hauteurs) sont concourantes. Attention, ici les hypotheses portent sur les hauteurs, donc des droites perpendiculaires, notion euclidienne, et on doit donc travailler avec un repere orthonorme. On prend un repere d'origineA0avec (BC) comme axe desxet (AA0) comme axe desy. On pose doncA0= (0;0),A= (0;a),B= (b;0) et 6 C= (c;0) (la encore, c'est mieux d'utiliser des parametres). On ecrit d'abord les equations de (AB) et (AC) :y=ab x+aety=ac x+a(on passe de l'une a l'autre en echangeantbetc). Puis on ecrit l'equation de (BB0) qui passe parBet est perpendiculaire a (AC). Les coecients directeurs ont pour produit1 ce qui donney=ca x+et la droite passe parbce qui donne=cba . On obtient la hauteur issue deCen echangeant les r^oles de betcce qui donney=ba xbca . L'intersectionHde ces droites est un point d'abscisse nulle qui est donc sur la hauteur (AA0).

3.1.6 En geometrie euclidienne : cercles et droites

On peut utiliser des reperes (orthonormes, s'agissant de cercles) pour traiter la question des positions d'un cercle et d'une droite ou de deux cercles. Traitons par exemple le probleme d'un cercleCde centreOet de rayonR et d'une droiteD. On choisitOcomme origine et, par exemple, l'axe desy parallele aDet celui desxperpendiculaire aD. On a alors comme equations x

2+y2=R2pourCetx=dpourDet la discussion est tres facile. On

comparera a la complexite du calcul general avec les equations : x

2+y22ax2by+c= 0 etx+y+

= 0: Dans le cas de deux cercles on prendra les centres en (0;0) et (d;0) avec les equations : x

2+y2=R2etx2+y22dx=R02d2:

3.2 Des reperes pour faire des constructions

Le meilleur exemple est la construction d'un pentagone regulier inscrit dans un cercle. Pour le traiter, on se place dans le plan complexe et on choisit le repere de sorte que le cercle donne soit le cercle unite et que le pentagone regulier ait pour sommets les racines cinquiemes de l'unite : 1, =e2i=5,2,3=2et4=1=. On a la relation :

51 = 0 = (1)(4+3+2++ 1):

Les racines autres que 1 verient donc l'equation de degre 4 que l'on peut encore ecrire2++ 1 +1+2= 0 en divisant par2. On pose alors =+1=+= 2cos(2=5) et, comme2=2+2+ 2, on voit queverie2+1 = 0 dont les racines sont=1 +p5 2 et =1p5 2 =2+2= 2cos(4=5). Pour la construction explicite du pentagone, voir [ME] chapitre 6. 7

3.3 Des reperes pour trouver des lieux

On se reportera a l'expose sur les lieux pour plus d'exemples. J'en traite seulement trois ici.

3.3.1 Le cercle des rapports

SoientA;Bdeux points distincts etkun reel>0. Quel est l'ensemble des pointsMqui verientMB=kMA? C'est un probleme euclidien (car ici, comme les pointsM;A;Bne sont pas alignes, les rapports sont vraiment des rapports de distances). On choisit un repere qui respecte la symetrie de la gure : on poseA= (a;0),B= (a;0) etM= (x;y). On ecritMB2=k2MA2. On trouve l'equation : (k21)(x2+y2+a2) + 2a(k2+ 1)x= 0: Sik= 1 on trouve la droitex= 0 (mediatrice de [AB]) et sinon, un cercle centre sur l'axe desx. Il n'est pas tout a fait evident de trouver les pointsI;Jde l'axe desx. On coupe le cercle par la droitey= 0, on a une equation du second degre en xdont le discriminant reduit est 0= 4a2k2, ce qui donne les deux points IetJd'abscisses respectivesa1k1 +keta1 +k1k.On montre alors qu'on a !IB=k!IAet!JB=k!JA. En fait, ici, la solution qui consiste a introduire les pointsI;Jde (AB) qui sont dans le lieu, denis par les relations vectorielles et a calculer le produit scalaire (!MIj!MJ) est bien meilleure ...

3.3.2 La parabole

SoitDune droite etFun point non situe surD. Quel est l'ensemble5 des pointsMtels queMH=MFouHdesigne le projete orthogonal deM surD. On appelleIle projete orthogonal deFsurDet on prend pour origine6quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15