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Universit´e Paris-Est Marne-La-Vall´eeLicence GSI2009/2010 Rappels : D´ecomposition en ´el´ements simples

Le but de ce rappel est de pr´esenter lad´ecomposition en ´el´ements simplesd"une fraction rationnelle,

c"est `a dire d"une expression alg´ebrique de la forme P(X) Q(X). Ces fractions peuvent s"´ecrire comme somme de fractions plus simples.

1 Division euclidienne

On a tout d"abord besoin de la notion dedivision euclidienne:

Propri´et´e 1.

´Etant donn´es deux polynˆomesA(X)etB(X), il existe un unique couple de polynˆomes (Q(X),R(X))tel quedeg(R(X))< deg(B(X))etA(X) =B(X)Q(X)+R(X).(Q(X)est appel´equotient de la division euclidienne, etR(X)est appel´ereste.

Ce couple de polynˆome peut ˆetre trouv´e en posant la division, et en calculant comme avec des entiers.

Par exemple pourA(X) = 3X5-2X4-2X3+X+ 2 etB(X) =X4+ 2X2+ 1, on a :

3X5-2X4-2X3+X+2

X4+ 2X2+ 1

-3X(X4+2X2+1)3X-2 -2X4-8X3-2X+2 +2(X4+2X2+1) -8X3+4X2-2X+4 On trouveQ(X) = 3X-2 etR(X) =-8X3+ 4X2-2X+ 4. On v´erifie que l"on a bien :

3X5-2X4-2X3+X+ 2 = (X4+ 2X2+ 1)(3X-2) + (-8X3+ 4X2-2X+ 4).

Maintenant, si l"on a une fraction rationnelle de la formeF(X) =A(X)

B(X),on peut ´ecrire (en notant

A(X) =B(X)Q(X)+R(X) la division euclidienne deAparB)F(X) =Q(X)B(X)+R(X)

B(X)=Q(X)+R(X)B(X).

En conclusion, on peut ´ecrire toute fraction rationnelle comme somme d"un polynˆome (iciQ(X)) et d"une

fraction dont le d´enominateur (iciB(X)) a un degr´e sup´erieur `a celui du num´erateur (iciR(X)). Dans

notre exemple, on peut donc ´ecrire :

3X5-2X4-2X3+X+ 2

X4+ 2X2+ 1= 3X-2 +-8X3+ 4X2-2X+ 4X4+ 2X2+ 1.

2 D´ecomposition en ´el´ements simples surC

Tout polynˆomeB(X) =?n

i=0aiXipeut se d´ecomposer en produit de polynˆomes de degr´es 1 :B(X) = a n?q

i=1(X-αi)ki, o`u lesαisont des nombres complexes appel´esracinesdu polynˆomeP. Une fraction

rationnelle ayantBpour d´enominateur et dont le num´erateur `a un degr´e inf´erieur `a celui deB(cas auquel

on peut toujours se ramener, voir ci-dessus) se d´ecompose de mani`ere unique sous la forme : A(X)

B(X)=q?

i=1k i? j=1c i,j(X-αi)j, o`u lesci,jsont des coeffiecients complexes. Pour revenir `a notre exemple, on aB(X) =X2+ 1 = (X-i)(X+i).On a alors la d´ecomposition

3X5-2X4-2X3+X+ 2

X4+ 2X2+ 1= 3X-2+-8X3+ 4X2-2X+ 4X4+ 2X2+ 1= 3X-2+2i-4X+i+3i/2(X+i)2+-2i-4X-i+-3i/2(X-i)2.

Pour trouver la d´ecomposition, on pose :

-8X3+ 4X2-2X+ 4

X4+ 2X2+ 1=aX+i+b(X+i)2+cX-i+d(X-i)2.

1 En multipliant par (X-i)2, et en ´evaluant la fraction obtenue enX=ion trouve -8i3+ 4i2-2i+ 4 (i+i)2=a(i-i)i+i+b(i-i)2(i+i)2+c(i-i) +d. On trouve doncd=-3i/2.On proc`ede de mˆeme pour (X+i)2(en ´evaluant enX=-i) et on obtient b= 3i/2. Ensuite on a a X+i+cX-i=-8X3+ 4X2-2X+ 4X4+ 2X2+ 1--3i/2(X-i)2-3i/2(X+i)2 -8X3+ 4X2-2X+ 4 + 3i/2(X+i)2-3i/2(X-i)2

X4+ 2X2+ 1.

-8X3+ 4X2-8X+ 4

X4+ 2X2+ 1.

En faisant la division euclidienne de-8X3+4X2-8X+4 parX2+1, on trouve-8X3+4X2-8X+4 = (X2+ 1)(-8X+ 4). On a donc a

X+i+cX-i=-8X+ 4X2+ 1

En multipliant cette ´egalit´e par (X-i), et en ´evaluant enX=i,on trouvec=-2i-4. De mˆeme on

trouvea= 2i-4.

3 D´ecomposition en ´el´ements simples surR

Si l"on impose que tous les coefficients utilis´es soient r´eels, un polynˆome se d´ecompose enB(X) =

a n?q1 i=1(X-αi)ki×?q2 i=1(X2+βiX+γi)li, o`u les polynˆomesX2+βiX+γin"ont pas de racines r´eelles. La d´ecomposition en ´el´ements simples est alors la suivante : A(X)

B(X)=q

1? i=1k i? j=1c i,j(X-αi)j+q 2? i=1l i? j=1a i,jX+bi,j(X2+βiX+γi)j.

Sur notre exemple :

3X5-2X4-2X3+X+ 2

X4+ 2X2+ 1= 3X-2+2i-4X+i+3i/2(X+i)2+-2i-4X-i+-3i/2(X-i)2= 3X-2+-8X+ 4X2+ 1+6X(X2+ 1)2.

Pour trouver la d´ecomposition, on fait la d´ecomposition surCpuis on regroupe deux par deux les termes

conjugu´es. 2quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39