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D´ecomposition de fractions en ´el´ements simples Niveau :De la Terminale aux Maths du sup´erieur

Difficult´e :Moyenne

Dur´ee :1h `a 1h30

Rubrique(s) :

Alg`ebre(fractions rationnelles, syst`emes lin´eaires)Exercice 1: Nous allons faire la d´ecomposition en ´el´ements simples de la fraction

rationelle f(x) =1x(x+ 1) sous la forme f(x) =ax +bx+ 1, o`uaetbsont deux nombres r´eels `a d´eterminer.

1)D´etermineraetbde deux fa¸cons diff´erentes :-en regroupant au mˆeme d´enominateur les deux termes de droite de l"´egalit´e puis

en identifiant terme `a terme.-en calculant la limite def(x)×xen 0 puis la limite def(x)×(x+ 1) en-1

2)En d´eduire la limite de la suite

u n=n? k=11k(k+ 1). Indications et Commentaires: Plus g´en´eralement, consid´erons la fraction rationnelle f(x) =P(x)? n i=1(x-xi),

o`uPest un polynome de d´egr´e strictement inf´erieur `anetx1,...,xnsont des complexes deux `a

deux distincts.

On dit alors qu"il y a seulement des pˆoles simples et la fraction se d´ecompose en ´el´ements simples

de la facon suivante f(x) =a1x-x1+a2x-x2+...+anx-xn Les valeurs desaipeuvent etre facilement obtenus par la technique de multiplication (la deuxi`eme m´ethode de l"exercice, plus simple et rapide) a j= limx→xj(x-xj)f(x) =P(xj)n i=1i?=j(xj-xi).1

Cees d´ecompositions en ´el´ements simples sont bien pratiques, par exemple pour trouver des li-

mites comme dans la derni`ere question, et surtout pour int´egrer comme nous le verrons ensuite.

En fait, nous avons pour l"instant suppos´e ici qu"il existe une telle d´ecomposition, puis cherch´e

`a identifier les valeurs des coefficients. L"existence mˆeme de telles d´ecompositions n´ecessite de

se retrousser encore un peu les manches. Dans notre cas de"pˆoles simples», il suffit de v´erifier

que ca marche une fois le r´esultat trouv´e, c"est `a dire que le terme de droite reduit au mˆeme

d´enominateur coincide bien avec le terme de gauche. Nous sommes amen´es pour cela `a mon-

trer que deux polynˆomes sont ´egaux, et il suffit de montrer qu"ils sont ´egaux en un nombre

suffisamment grand de points .... Les pointsxisont tout indiqu´es : `a vous de jouer!

Corrections.

1)M´ethode 1. On identifie en r´eduisant au mˆeme d´enominateur le membre de droite

ax +bx+ 1=a(x+ 1) +bxx(x+ 1) (a+b)x+ax(x+ 1) Cette fraction rationelle est ´egale `af(x) ssi a+b= 0 eta= 1.

En effet deux polynomes sont ´egaux ssi leur coefficients de mˆeme degr´e sont ´egaux deux `a deux.

On obtient donc ici

a= 1, b=-1.

M´ethode 2. On consid`ere

f(x)x=1x+ 1=a+bxx+ 1 et en faisant tendrexvers z´ero, on obtient 1 =a. De mani`ere similaire en faisant tendrexvers-1 dans l"´egalit´e f(x)(x+ 1) =1x =a(x+ 1)x +b, on obtient -1 =b.

2)On utilise la question pr´ec´edente pour ´ecrire que pour toutk≥1

f(k) =1k(k+ 1)=1k -1k+ 1.

En sommant ces ´egalit´es pourk= 1...n,

u n=n? k=11k(k+ 1)=n? k=1? 1k -1k+ 1? On a ici une somme t´el´escopique, c"est `a dire : u n=11- 12+ 12- 13+1 3-

14+...+...+...+

1n-1- 1n+ 1n-

1n+ 1= 1-1n+ 1.

Or 1/(n+ 1) tend vers z´ero quandntend vers l"infini. Doncuntend vers 1 quandn→ ∞.2

Exercice 2: Nous allons faire la d´ecomposition ´el´ements simples de la fraction rationelle

suivante f(x) =1x(x+ 1)2=ax +bx+ 1+c(x+ 1)2, o`ua,betcsont trois nombres r´eels `a d´eterminer. Nous proposons plusieurs m´ethodes pour cela.

1)D´eterminera,betcen regroupant au mˆeme d´enominateur les deux termes de droites

de l"´egalit´e puis en identifiant terme `a terme.

2.a)D´etermineraetcen calculant la limite def(x)×xen 0 puis la limite def(x)×

(x+ 1)2en-1.

2.b)D´eterminerbpar deux m´ethodes diff´erentes :-en consid´erant la fraction rationelle

g(x) =f(x)-ax -c(x+ 1)2.-en consid´erant limx→∞xf(x).

2.c)Quelle m´ethode vous semble la plus rapide pour calculera,b,c?

3)En d´eduire la valeur de?2

1 f(x)dx. Indications et Commentaires: 2.a) R´eduire la fractiongau mˆeme d´enominateur pour en remplacantaetcpar leur valeur et identifier `ab/(x+ 1).

Corrections.

1)R´eduisons au mˆeme d´enominateur

ax +bx+ 1+c(x+ 1)2=a(x+ 1)2+bx(x+ 1) +cxx(x+ 1)2 ax2+ 2ax+a+bx2+bx+cxx(x+ 1)2 (a+b)x2+ (2a+b+c)x+ax(x+ 1)2. En identifiant `af(x), les coefficients des polynˆomes du num´erateur sont ´egaux et donc ?a+b= 0, b=-a=-1

2a+b+c= 0, c=-2a-b=-1

a= 1

Donca= 1,b=-1 etc=-1.

2.a)Multiplionsfparx:

xf(x) =1(x+ 1)2=a+bxx+ 1+cx(x+ 1)2 Donc en faisant tendrexvers 0, on obtien 1 =a. De mˆeme en multipliantfpar (x+ 1)2: (x+ 1)2f(x) =1x =a(x+ 1)2x +b(x+ 1) +c.3

Donc en faisant tendrexvers-1, on obtien :-1 =c.

2.b)Premi`ere m´ethodeg(x) =f(x)-ax

-c(x+ 1)2

1x(x+ 1)2-1x

+1(x+ 1)2

1-(x+ 1)2+xx(x+ 1)2

(x+ 1)(1-(x+ 1))x(x+ 1)2 -1x+ 1. Or g(x) =bx+ 1 et en identifiant (ici, il suffit de consid´ererx= 1), on obtientb=-1. Seconde m´ethode. En multipliant (encore) parx: xf(x) =1(x+ 1)2=a+bxx+ 1+cx(x+ 1)2 et en faisant tendrexvers l"infini, on obtient

0 =a+b,doncb=-a=-1.

2.c)La seconde m´ethode est ici un peu plus rapide, mais elle ne permet pas toujours de conclure,

comme on le voit dans l"exercice suivant.

3)Nous utilisons la d´ecomposition en ´el´ement simple ´etablie pr´ec´edemment

f(x) =1x -1x+ 1-1(x+ 1)2 et en int´egrant cette identit´e et en utilisant la lin´earit´e de l"int´egrale 2 1 f(x)dx=? 2 1? 1x -1x+ 1-1(x+ 1)2? dx 2 11x dx-? 2

11x+ 1dx-?

11(x+ 1)2dx

?lnx?2

1-?ln(x+ 1)?2

1-?-1x+ 1?

2 1 = ln2-ln1-(ln3-ln2) +?13 -12 = 2ln2 + ln3-16 Exercice 3: Nous allons enfin faire la d´ecomposition en ´el´ements simples suivante f(x) =1x

2(x+ 1)2=ax

+bx

2+cx+ 1+d(x+ 1)2,

o`ua,b,cetdsont quatre nombres r´eels `a d´eterminer.4

1)D´eterminerbetden utilisant les limites def(x)×x2en 0 puis la limite def(x)×

(x-1)2en 1.

2)D´eterminer les valeurs deaetcpar deux m´ethodes diff´erentes-en d´ecomposant la fraction rationnelle suivante en ´el´ement simple (comme dans le

premier exercice) g(x) =1x

2(x+ 1)2-bx

2-d(x+ 1)2,-en utilisant

limx→∞xf(x) etf(-1).

3)En d´eduire pour toutt≥1 la valeur de

t 11x

2(x+ 1)2dx.

Indications et Commentaires: 2.a) R´eduire la fraction rationnellegau mˆeme d´enominateur

puis la d´ecomposer en ´el´ements simple comme dans le premier exercice (c"est `a dire en consid´erant

les limites dexg(x) en 0 puis la limite de (x-1)g(x) en 1). Il ne reste plus alors qu"`a identifier avec g(x) =ax +cx+ 1. On voit dans cet exercice sur un cas particulier comment on peut d´ecomposer en ´el´ements

simples une fraction rationelle qui n"a pas que des pˆoles simples comme dans le premier exercice.

Soit f(x) =P(x)? n i=1(x-xi)ki, avec les (xi:i= 1...n) dansCdeux `a deux distincts,k1,...,kndansN?.

Si le d´egr´e du num´erateurPest strictement inf´erieur au d´egr´e du d´enominateur?n

i=1ki, alors f(x) =?a1,1x-x1+...+a1,k1(x-x1)k1? +?a2,1x-x2+...+a2,k2(x-x2)k2? +...+?an,1x-xn+...+an,kn(x-xn)kn?

Si le degr´e du num´erateur est sup´erieur ou ´egal `a celui du d´enominateur, on peut se ramener `a

la situation pr´ec´edente en faisant une division euclidienne du polynˆome au num´erateur par celui

au d´enominateur.

Corrections.

1)On commence maintenant `a ˆetre rompu `a cette technique :

lim x→0x2f(x) = limx→01(x+ 1)2= 1 = limx→0ax+b+cxx+ 1+dx(x+ 1)2=b doncb= 1. De mˆeme, lim x→-1(x+ 1)2f(x) = limx→-11x

2= 1 = limx→-1a(x+ 1)2x

+b(x+ 1)2x

2+c(x+ 1) +d=d

et doncd= 1.5

2)M´ethode 1 :On r´eduit au mˆeme d´enominateur :

g(x) =1x

2(x+ 1)2-bx

2-d(x+ 1)2

2(x+ 1)2-1x

2-1(x+ 1)2

1-(x+ 1)2-x2x

2(x+ 1)2

-2x2-2xx

2(x+ 1)2

-2x(x+ 1)x

2(x+ 1)2

-2x(x+ 1) Or grˆace au premier exercice, nous savons d´ej`a d´ecomposer

1x(x+ 1)=1x

-1x+ 1 et nous obtenons donc g(x) =-2x +2x+ 1=ax +cx+ 1.

Ainsi les valeurs cherch´ees sonta=-2 etc= 2.

M´ethode 2En mulpliant parx, nous obtenons

xf(x) =1x(x+ 1)2=a+bx +cxx+ 1+dx(x+ 1)2 Et en prenant la limite quandxtend vers l"infini dans cette expression, nous en d´eduisons

0 =a+c.

Enfin, en consdi´erantf(1), nous avons

f(1) =14 =a+b+c2 +d4 =a+ 1-a2 +14 Ainsi a=-2, c= 2.

3)Nous utilisons la d´ecomposition en ´el´ements simples :

f(x) =-2x +1x

2+2x+ 1-1(x+ 1)2

En int´egrant cette identit´e et en utilisant la lin´earit´e de l"int´egrale : t 1 f(x)dx=-? t 12x dx+? t 11x 2dx+? t

12x+ 1dx-?

11(x+ 1)2dx

=-2?lnx]t1+?-1x t

1+ 2?ln(x+ 1)]t1+?1x+ 1?

t 1 =-2lnt-1t + 1 + 2ln(t+ 1)-2ln2 +11 +t-12 = 2ln(t+ 1)-2lnt-1t(t+ 1)-2ln2 +12 .6quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

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1)D´etermineraetbde deux fa¸cons diff´erentes :-en regroupant au mˆeme d´enominateur les deux termes de droite de l"´egalit´e puis

2)En d´eduire la limite de la suite

Corrections.

1)M´ethode 1. On identifie en r´eduisant au mˆeme d´enominateur le membre de droite

On obtient donc ici

M´ethode 2. On consid`ere

2)On utilise la question pr´ec´edente pour ´ecrire que pour toutk≥1

En sommant ces ´egalit´es pourk= 1...n,

14+...+...+...+

1n+ 1= 1-1n+ 1.

1)D´eterminera,betcen regroupant au mˆeme d´enominateur les deux termes de droites

2.a)D´etermineraetcen calculant la limite def(x)×xen 0 puis la limite def(x)×

2.b)D´eterminerbpar deux m´ethodes diff´erentes :-en consid´erant la fraction rationelle

2.c)Quelle m´ethode vous semble la plus rapide pour calculera,b,c?

3)En d´eduire la valeur de?2

Corrections.

1)R´eduisons au mˆeme d´enominateur

2a+b+c= 0, c=-2a-b=-1

Donca= 1,b=-1 etc=-1.

2.a)Multiplionsfparx:

Donc en faisant tendrexvers-1, on obtien :-1 =c.

2.b)Premi`ere m´ethodeg(x) =f(x)-ax

1x(x+ 1)2-1x

1-(x+ 1)2+xx(x+ 1)2

0 =a+b,doncb=-a=-1.

2.c)La seconde m´ethode est ici un peu plus rapide, mais elle ne permet pas toujours de conclure,

3)Nous utilisons la d´ecomposition en ´el´ement simple ´etablie pr´ec´edemment

11x+ 1dx-?

11(x+ 1)2dx

1-?ln(x+ 1)?2

1-?-1x+ 1?

2(x+ 1)2=ax

2+cx+ 1+d(x+ 1)2,

1)D´eterminerbetden utilisant les limites def(x)×x2en 0 puis la limite def(x)×

2)D´eterminer les valeurs deaetcpar deux m´ethodes diff´erentes-en d´ecomposant la fraction rationnelle suivante en ´el´ement simple (comme dans le

2(x+ 1)2-bx

2-d(x+ 1)2,-en utilisant

3)En d´eduire pour toutt≥1 la valeur de

2(x+ 1)2dx.

Corrections.

1)On commence maintenant `a ˆetre rompu `a cette technique :

2= 1 = limx→-1a(x+ 1)2x

2+c(x+ 1) +d=d

2)M´ethode 1 :On r´eduit au mˆeme d´enominateur :

2(x+ 1)2-bx

2-d(x+ 1)2

2(x+ 1)2-1x

2-1(x+ 1)2

1-(x+ 1)2-x2x

2(x+ 1)2

2(x+ 1)2

2(x+ 1)2

1x(x+ 1)=1x

Ainsi les valeurs cherch´ees sonta=-2 etc= 2.

M´ethode 2En mulpliant parx, nous obtenons

0 =a+c.

Enfin, en consdi´erantf(1), nous avons

3)Nous utilisons la d´ecomposition en ´el´ements simples :

2+2x+ 1-1(x+ 1)2

12x+ 1dx-?

11(x+ 1)2dx

1+ 2?ln(x+ 1)]t1+?1x+ 1?