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TdS H. Garnier 1
Hugues GARNIER
hugues.garnier@univ-lorraine.fr Décomposition en série de Fourier Signaux périodiquesTdS H. Garnier 2
Organisation de l'UE de TdS
I. Introduction
II. Analyse et traitement de signaux déterministes - Analyse de Fourier de signaux analogiques• Signaux à temps continu • Décomposition en série de Fourier • Transformée de Fourier à temps continu
- De l'analogique au numérique - Analyse de Fourier de signaux numériques III. Filtrage des signaux IV. Analyse et traitement de signaux aléatoiresTdS H. Garnier 3
Introduction
• Domaine, jusqu'à présent, habituel pour analyser un signal : - Domaine temporel : analyse de l'évolution du signal dans le temps
• Permet de mettre en évidence certaines caractéristiques :• signal périodique ou non (détermination de la période), • amplitude (valeur moyenne, maximale...), • signal analogique/numérique, énergie finie/infinie, ...
• Déterminer l'expression analytique du signal ci-dessous ?5 s(t) t (ms) 5 0
s(t)=?TdS H. Garnier 4
Introduction
• L'expression mathématique du signal est : - L'observation dans le domaine temporel est s ouvent insuffisante pour déduire l'expression mathématique du signal - Il serait int éressant de tro uver une autre représentation qui app orterait plus d'informations sur le signal que la représentation usuelle temporelle - Cette nouvelle représentation devra faire directement apparaître certaines caractéristiques du signal (par exemple A o , A 1 , A 2 o 1 2) non plus dans le do maine temporel (en fonct ion du temps) mais dans le do maine fréquentiel, c'est à dire en fonction de la fréquence.
5 s(t) t (ms) 5 0
TdS H. Garnier 5
• Représentation habituelle : amplitude du signal en fonction du temps • Nouvelle représentation : amplitude et phase initiale en fonction de la fréquence5 s(t) t (ms) 5 0f (Hz) 0
A o =2 A 1 =5 A 2 =10 A n1000 2500 f (Hz) 0
o =0 ϕ n1000 2500
3 1 2 2TdS H. Garnier 6
Série & transformée de Fourier
Joseph FOURIER
• Auxerre 1768 - Paris 1830 • Grand savant français • A pr ofondément influencé les mathématiques et la physique des sciences de son siècle • L'étude de la propagation de la chaleur l'a amené à la découverte des séries trigonométriques portant son nomTdS H. Garnier 7
Théorème de Fourier Sous certaines conditions de dérivation et de continuité, tout signal à temps continu s(t) périodique de période T
o peut s'écrire sous la forme d'une somme de signaux sinusoïdaux Cette somme peut s'écrire de deux manières : - forme trigonométrique réelle - forme exponentielle complexeTdS H. Garnier 8
Forme trigonométrique réelle
avec : Tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire :Le terme g énéral u
n (t)=a n cos(nω o t)+b n sin(nω o t)=A n cos(nω o t-ϕ n ) est appelé harmonique de rang n C'est un signal cosinusoïdal d'amplitude A n de période T o /n (fréquence nf o ) et de phase à l 'origine -ϕ nTdS H. Garnier 9
Remarques et propriétés
- a 0 : valeur moyenne du signal (composante continue) - Harmonique d'ordre 1 : fondamental - Amplitudes A n tendent vers 0 lorsque n tend vers l'infini - Décomposition indépendante de l'intervalle [t 0 , t 0 +T o - Si s(t) pair - Si s(t) impairTdS H. Garnier 10
Spectres unilatéraux d'amplitude et de phase
• Spectre d'amplitude de s(t) : tracé de A n en fonction des pulsations (fréquences) • Spectre de phase de s(t) : tracé de ϕ nen fonction des pulsations (fréquences) • On parle de représentation fréquentielle ou spectrale • A
n et ϕ n n'existant que pour des multiples entiers de ω o on parle de spectres de raies. composante continue 0 ω o2 ω
o3 ω
o4 ω
o A 1 A 0 A 2 A 3 A 4 A 55 ω
o A n fondamental ω (rd/s)Spectre unilatéral de phase
0 n o2 ω
o3 ω
o4 ω
o 1 0 2 3 4 55 ω
oω (rd/s)
Spectre unilatéral d
'amplitude 0 T o s(t) tEvolution temporelle du signal
TdS H. Garnier 11
Exemple 1 : cas d'un signal sinusoïdal
• Soit un signal sinusoïdal décrit par : C 'est un signal ne contenant qu'un seul harmonique ! s(t)=2cos(2π10t-π4)Domaine temporel
s(t) t 20.1125 0 0.0125 T
o =0.1s A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 0 10 20304050
A n fondamental f (Hz) 2Domaine fréquentiel
Spectre unilatéral de phase Spectre unilatéral d 'amplitude 1 2 3 4 50 10 20 30 40 50 ϕ
n f ( Hz )4 π
TdS H. Garnier 12
Exemple 2 : cas d'un créneau
• Montrer que le dévelop pement en s érie de Fourier d'un signal créneau s'écrit : s(t) t A T o 0Domaine temporel
A n 4A 3 4A 3ω 5ω 3ω 5ω n 2Domaine fréquentiel
Spectre unilatéral de phase Spectre unilatéral d 'amplitudeTdS H. Garnier 13
Evolution temporelle des harmoniques Reconstruction du signal à partir des harmoniques0 -2 0 2 0 0 0 0 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 -2 0 2 -2 0 2 -2 0 2 -2 0 2 1 1 1 1 1
Harmonique 1 Harmoniques 1 et 3 Harmoniques 1, 3 et 5 Harmoniques 1, 3, 5 et 7 Harmoniques 1, 3, 5 7 et 9 Harmonique 1 Harmonique 5 Harmonique 3 Harmonique 7 Harmonique 9
Ondulations = phénomène de Gibbs
A=2 T o =1TdS H. Garnier 14
Théorème de Fourier
Sous certaines conditions de dérivation et de continuité, tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire sous la forme d'une somme de signaux sinusoïdaux. Cette somme peut s'écrire de deux manières : - forme trigonométrique réelle - forme exponentielle complexeTdS H. Garnier 15
De la forme trigonométrique à la forme exponentielle complexe • Tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire :En utilisant les formules d'Euler :
• On montre que tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut également s'écrire :Forme trigonométrique
réelleForme exponentielle
complexeTdS H. Garnier 16
Forme exponentielle complexe
• Tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire : • Remarques - Les coefficients c nsont appelés coefficients de Fourier - Ces coefficients sont généralement complexes et peuvent
s 'écrire sous forme exponentielle complexe : - L 'harmonique de rang n s'écrit également : L'harmonique de rang n est donc une cosinusoïde de pulsation nω o d'amplitude 2 |c n et de déphasage Arg(c n