Analyse de Fourier de signaux analogiques • Signaux à temps TdS H Garnier 5 • Représentation habituelle : amplitude du signal en fonction du temps
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[PDF] Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques
Analyse de Fourier de signaux analogiques • Signaux à temps TdS H Garnier 5 • Représentation habituelle : amplitude du signal en fonction du temps
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série de Fourier permet de transformer n'importe quel signal périodique en une somme de sinusoıdes On peut 3 1 S ´erie de Fourier Le mathématicien Figure 3 1 – Onde en dent de scie reconstruite par série de Fourier 3 3 Sym ´ etrie et
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On utilise un signal créneau périodique de fréquence fe = 1200Hz Y a-t-il en sortie un signal? Si oui, Même question s'il l'on op`ere avec un signal en dents de scie ri+Ldi dt= u(t), i(t) se compose de la réponse `a chaque harmonique,
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Aujourd'hui, les séries Fourier et les transformées de Fou- infinie purement formelle, peut-être non convergente, et au sujet de laquelle on ne dit rien Le 0- ème coefficient de Fourier de cette fonction en dents de scie s'annule : 0 = ̂ À toute fonction Riemann-intégrable, on peut associer l'effet par composition de ces
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II 2 4) Transformée de Fourier d'un signal périodique leur composition fréquentielle Il existe une version Signal en dents de scie On peut faire de très jolie choses rien qu'en diminuant la taille de la porte, en écrivant par exemple :
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Démontrer qu'un signal carré, d'amplitude ±Umax, de période T, se décompose en série de Fourier de la façon suivante: s(t) = 4 Umax π ∞ ∑ n=0 sin ((
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3 sept 2005 · Dans le cas particulier des signaux sinusoïdaux, la valeur efficace est égale à l' amplitude divisée par 2 : [ ] 2 b du développement de Fourier en sinus sont nuls pour une telle fonction Effet d'un filtre linéaire sur la composition spectrale Le signal de sortie ne ressemble en rien à la dérivée du signal
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Le spectre d'un signal n'est donc rien d'autre que sa re- composition selon une base de fonctions élémentaires ejvt = ej2π ft 2 2 Ainsi, la décomposition en série de Fourier d'un signal en dents de scie défini par f(t) = t sur l'intervalle
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15 oct 2008 · Composition de la commission d'examen : Jérôme Gauthier, Marie-Christine Cacas et Laurent Duval, Local directional and échantillonnés, Journée nationale : logiciels pour la modélisation et le calcul scien- de la transformée de Fourier rapide (Fast Fourier Transform - FFT) l'un des outils centraux
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8 3 La transformée de Fourier 9 3 1 Rappels sur la décomposition en série de Fourier de signaux périodiques 3 5 Transformée de Fourier d'un signal échantillonné 28 Marie Tahon Page 1 / 45 Les lèvres et les dents Idéalement le
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TdS H. Garnier 1
Hugues GARNIER
hugues.garnier@univ-lorraine.fr Décomposition en série de Fourier Signaux périodiquesTdS H. Garnier 2
Organisation de l'UE de TdS
I. Introduction
II. Analyse et traitement de signaux déterministes - Analyse de Fourier de signaux analogiques• Signaux à temps continu • Décomposition en série de Fourier • Transformée de Fourier à temps continu
- De l'analogique au numérique - Analyse de Fourier de signaux numériques III. Filtrage des signaux IV. Analyse et traitement de signaux aléatoiresTdS H. Garnier 3
Introduction
• Domaine, jusqu'à présent, habituel pour analyser un signal : - Domaine temporel : analyse de l'évolution du signal dans le temps
• Permet de mettre en évidence certaines caractéristiques :• signal périodique ou non (détermination de la période), • amplitude (valeur moyenne, maximale...), • signal analogique/numérique, énergie finie/infinie, ...
• Déterminer l'expression analytique du signal ci-dessous ?5 s(t) t (ms) 5 0
s(t)=?TdS H. Garnier 4
Introduction
• L'expression mathématique du signal est : - L'observation dans le domaine temporel est s ouvent insuffisante pour déduire l'expression mathématique du signal - Il serait int éressant de tro uver une autre représentation qui app orterait plus d'informations sur le signal que la représentation usuelle temporelle - Cette nouvelle représentation devra faire directement apparaître certaines caractéristiques du signal (par exemple A o , A 1 , A 2 o 1 2) non plus dans le do maine temporel (en fonct ion du temps) mais dans le do maine fréquentiel, c'est à dire en fonction de la fréquence.
5 s(t) t (ms) 5 0
TdS H. Garnier 5
• Représentation habituelle : amplitude du signal en fonction du temps • Nouvelle représentation : amplitude et phase initiale en fonction de la fréquence5 s(t) t (ms) 5 0f (Hz) 0
A o =2 A 1 =5 A 2 =10 A n1000 2500 f (Hz) 0
o =0 ϕ n1000 2500
3 1 2 2TdS H. Garnier 6
Série & transformée de Fourier
Joseph FOURIER
• Auxerre 1768 - Paris 1830 • Grand savant français • A pr ofondément influencé les mathématiques et la physique des sciences de son siècle • L'étude de la propagation de la chaleur l'a amené à la découverte des séries trigonométriques portant son nomTdS H. Garnier 7
Théorème de Fourier Sous certaines conditions de dérivation et de continuité, tout signal à temps continu s(t) périodique de période T
o peut s'écrire sous la forme d'une somme de signaux sinusoïdaux Cette somme peut s'écrire de deux manières : - forme trigonométrique réelle - forme exponentielle complexeTdS H. Garnier 8
Forme trigonométrique réelle
avec : Tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire :Le terme g énéral u
n (t)=a n cos(nω o t)+b n sin(nω o t)=A n cos(nω o t-ϕ n ) est appelé harmonique de rang n C'est un signal cosinusoïdal d'amplitude A n de période T o /n (fréquence nf o ) et de phase à l 'origine -ϕ nTdS H. Garnier 9
Remarques et propriétés
- a 0 : valeur moyenne du signal (composante continue) - Harmonique d'ordre 1 : fondamental - Amplitudes A n tendent vers 0 lorsque n tend vers l'infini - Décomposition indépendante de l'intervalle [t 0 , t 0 +T o - Si s(t) pair - Si s(t) impairTdS H. Garnier 10
Spectres unilatéraux d'amplitude et de phase
• Spectre d'amplitude de s(t) : tracé de A n en fonction des pulsations (fréquences) • Spectre de phase de s(t) : tracé de ϕ nen fonction des pulsations (fréquences) • On parle de représentation fréquentielle ou spectrale • A
n et ϕ n n'existant que pour des multiples entiers de ω o on parle de spectres de raies. composante continue 0 ω o