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Séries de Fourier
FrançoisDEMARÇAY
Département de Mathématiques d"Orsay
Université Paris-Sud, France
1. Espaces de fonctions2-périodiques
Les espaces de Hilbert abstraits peuvent se réaliser concrètement dans de nombreusessituations où ils permettent de résoudre des équations aux dérivées partielles en un certain
sens. Mais la première réalisation historique et naturelle des espaces de Hilbert provient des séries de Fourier.1.1. Fonctions sur le cercle unité (ou tore unidimensionnel).On note parfoisC0(T)
l"espace des fonctionsf:R!Cqui sont continues et2-périodiques : f(+ 2k) =f()(82R;8k2Z): Pourquoi la lettreT? Parce qu"elle est l"initiale du mot "Tore» (de dimension un), et qu"un
tore de dimensionkest par définition homéomorphe1au produit topologique(S1)kTk dekcopies du cercleS1T. Grâce à la2-périodicité defqui prend des valeurs bien définies sur le quotient : R2Z; on peut en effet considérer que la donnée deféquivaut à la donnée d"une fonction : e fei:=f() qui est en fait vraiment définie sur le cercle unité (tore unidimensionnel) :TS1=ei2C:2R:
Le résultat de ces considérations préliminaires, c"est qu"il revient au même de consi- dérer des fonctions continues efqui sont définies sur le cercle unité, et des fonctions2-périodiques définies surRtout entier. En vérité, il s"avère plus pratique de travailler avec
met de modifier aisément les bornes d"intégration dans toutes les intégrales (nombreuses) que nous rencontrerons, comme par exemple :Z f()d=Z a+2 a f()d; pour touta2R, identité que nous vérifions à l"instant comme suit. Soitkl"entier unique tel quea62k < a+ 2. L"intégrale de droite se découpe alors en :Za+2 a =Z 2k a +Z a+2 2k;1. Pourk= 2, on retrouve le tore2-dimensionnelT2S1S1qui est homéomorphe à la partie en
caoutchouc d"une chambre à air gonflée (grand cercle de la rouepetit cercle d"une section orthogonale à la
jante). 12FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud
mais commefest2-périodique, lorsqu"on remplacepar2(k1)dans la pre- mière intégrale etpar2kdans la seconde, l"intégrande reste inchangé et les bornes d"intégration pour les deux morceaux se recollent : Z a+2 a f()d=Z 2 a2(k1)f()d+Z a+22k 0 f()d Z a 0 f()d: Ainsi, intégrer de0à2, c"est la même chose que d"intégrer sur n"importe quel segment [a;a+ 2]de longueur2, car tout revient à intégrer sur le cercleS1tout entier.Nous travaillerons donc avec des fonctions2-périodiques surRen nous souvenant toujours que le cercleS1est le vrai domaine d"existence (compact ) de ces fonctions.1.2. Espaces fonctionnels.On peut alors munir l"espaceC0(T)des fonctions continues
2-périodiquesf:R!Cde la norme de la convergence uniforme :
jjfjjC0:=max2[0;2]jf()j=max2Rjf()j:
Une seconde illustration du fait que la2-périodicité ramène toute telle fonctionfà la fonction ef(ei) :=f()définie sur le cercle unité est la suivante.Lemme 1.3.
Toute fonction2-périodiquef2C0(T)est uniformément continue surR.Démonstration.
Il est connu que toute fonction continuef:X!Cdéfinie sur un espace métrique compact(X;d)est automatiquement uniformément continue. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier soigneusement que le lemme en découle. Au-delà des espaces de fonctions continues, il y a les espaces de fonctionsintégrablessur le cercle. Rappelons que ces fonctions sont définies à un ensemble de mesure nulle près,
et qu"en toute rigueur, une fonction dansL1(T)de module intégrable sur le cercle est une classe d"équivalencede fonctions définies à un ensemble de mesure nulle près, ce qui ne change pas la valeur de l"intégrale. Dans la suite de ce cours, nous ne nous embarasserons pas avec la distinction entre classes d"équivalences et représentants d"une classe, et nous travaillerons avec les fonctionsL1comme si elles possédaient une valeur bien définie en tout point.Définition 1.4.
[Espaces de fonctions sommables]Pour tout réelpavec16p<+1, on définit l"espaceLp(T)comme l"espace des fonctions mesurablesf:R!Cqui sont2-périodiques :
f(+ 2k) =f()pourd-presque tout2R et dont l"intégrale du module puissancepconverge :Z jf()jpd 2<1: On peut alors vérifier que l"on a, comme pour toute fonction continue : Z jf()jpd 2=Z a+ ajf()jpd 2;2.Coefficients de Fourier de fonctionsf2L1([;])ouf2L2([;])3
pour toutaquelconque dansR. De plus l"inégalité de Minkowski nous assure queLp(T), muni de la norme naturelle : jjfjjLp:= Z jf(t)jpdt 2 1=pest un espace vectoriel normé, complet qui plus est grâce à un théorème dû à Riesz.
Qu"obtient-on lorsquep= +1? On sait vérifier par un exercice que : lim p!1 Zb a jg(t)j 1=p =sup x2[a;b]jg(x)j; pour toute fonction mesurable bornéeg2L1([a;b]), et donc il est naturel d"introduire aussi l"espace des fonctions (essentiellement) bornées sur le tore : L1(T) :=n
fmesurable2-périodique:jjfjjL1:=sup2Rjf()j<1o
où le "sup» est bien entendu pris à un ensemble de mesure nulle près. La norme pour les fonctionsL1(T)est donc la même que pour les fonctionsC0(T), mais avec la clause du "presque partout». Alors ces espaces sont emboîtés les uns dans les autres, l"espaceL1(T)des fonctions simplement intégrables étant le plus grand d"entre eux, et l"espaceL2(T)se trouvant en quelque sorte "au milieu de tous».Proposition 1.5.
[Hiérarchie d"espaces fonctionnels sur le cercle]Pour tous entierspet qtels que16p2[0;2]jf()jp1=p
=sup2[0;2]jf()j:
puisque la mesure d2est de probabilité :R2
0d 2= 1.4FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud
2. Coefficients de Fourier de fonctionsf2L1([;])ouf2L2([;])
À partir de 1802, Joseph Fourier conduit des expériences sur la propagation de la cha- leur dans les corps solides, et ces expériences lui permettront d"en donner un modèle dephysique mathématique fondé sur la représentation des solutions en séries de fonctions tri-
gonométriquessinkxetcoskx. Aujourd"hui, les séries Fourier et les transformées de Fou-rier jouent un rôle omniprésent en analyse, en arithmétique et aussi pour la transmission de
tous les signaux de télécommunications.On notera parfois dans la suite pour abréger :
e n:=ein(2R) la famille des fonctionsR!Cexponentielles complexes de pulsation un entiern2Zpo- sitif ou négatif quelconque. Ce sont les fonctions-modèles2-périodiques avec lesquelles nous allons travailler. Rappelons que la mesure de Lebesgue renormalisée : d 2 est une mesurede probabilitésurR=2ZS1, puisque2est (par définition depuisl"Antiquité pré-hellénique) la circonférence du cercleS1de rayon1. Entre les fonctions de
carré intégrable sur le cercle, on a bien entendu un produit scalaire naturel : hf; giL2:=Z f() g()d 2 qui satisfait l"inégalité de Cauchy-Schwarz : hf; giL26jjfjjL2jjgjjL2: