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L1 MASS : Alg`ebre Lin´eaireCours 31 janvier 2006

Le rang

On rappelle une d´efinition du cours pr´ec´edent : D´efinition.Une matriceBest dite´echelonn´ee en lignessi - chaque ligne non nulle deBcommence avec strictement plus de 0 que la ligne pr´ec´edente, et - les lignes nulles (ne contenant que des 0) deBviennent en bas apr`es les lignes non nulles.

Toute matriceApeut se r´eduire `a une matrice ´echelonn´ee en lignesBpar une suite d"op´erations

´el´ementaires sur les lignes. On appelleBlaforme ´echelonn´ee en lignesdeA. Une des concepts fondamentaux dans l"alg`ebre lin´eaire est lerangd"une matrice. Il admet de plusieurs d´efinitions ´equivalentes. En voici la premi`ere.

D´efinition.Lerangd"une matriceAest le nombre de lignes non nulles dans sa forme ´echelonn´ee

en lignes. On le note rgA.

Par exemple la matrice suivanteAse r´eduit en sa forme ´echelonn´ee en lignes par les pivotages

A=( (1-3 6 2

2-5 10 3

3-8 17 4)

L2←L2-2L1--------→L

3←L3-3L1(

(1-3 6 2

0 1-2-1

0 1-1-2)

L3←L3-L2-------→(

(1-3 6 2

0 1-2-1

0 0 1-1)

Donc on a rgA= 3. Pour la matrice suivante

C=( (1 3 2 1 4 1

0 1-1)

L2←L2-L1-------→(

(1 3 2 0 1-1

0 1-1)

L3←L3-L2-------→(

(1 3 2 0 1-1

0 0 0)

on a rgC= 2.

Th´eor`eme 1.Pour toute matriceAon a

Id´ee de la preuve.En r´eduisant la matriceAen une matrice ´echelonn´ee en lignes similaire `a celle-ci

((13 0 4 5

021 3 8

0 0 072

0 0 0 0 0)

lespivots(les premiers coefficients non nuls des lignes non nulles) sont danslignes distincteset dans descolonnes distinctes. Donc on a

Le nombre de pivots est aussi le nombre de lignes non nulles de la forme ´echelonn´ee deA, d"o`u

nombre de pivots = rgA.

La matrice des coefficients

On peut associer une matrice `a chaque membre d"un syst`eme lin´eaire. Pour le syst`eme ?x-3y+ 6z+ 2w=-1,

2x-5y+ 10z+ 3w= 0,

3x-8y+ 17z+ 4w= 1,

on a des matrices A=( (1-3 6 2

2-5 10 3

3-8 17 4)

,b=( (-1 0 1) avecAlamatrice des coefficientsregroupant les coefficients des variables du membre de gauche du syst`eme, et le vecteur colonnebcontient le membre de droite. Quand on met les deux ensemble, on a lamatrice augment´eequ"on a d´ej`a vue

A=?A??b?=(

(1-3 6 2

2-5 10 3

3-8 17 4?

?????-1 0 1)

Le rang et les syst`emes lin´eaires

On va ´etudier les syst`emes lin´eaires en consid´erant le membre de gauche comme fixe, mais

le membre de droite comme ´eventuellement variable. Dans cette optique, il est convenable de

consid´erer le rang d"un syst`eme lin´eaire comme d´ependant uniquement de son membre de gauche.

D"o`u :

D´efinition.Lerangd"un syst`eme lin´eaire est le rang de sa matrice des coefficientsA.

Par exemple, le rang du syst`eme (‡) est 3, selon les calculs faits sur la page pr´ec´edente.

Pour r´esoudre un syst`eme lin´eaire on fait des op´erations ´el´ementaires et pivotages soit sur

les ´equations, soit sur la matrice augment´ee?A. A la fin, la forme ´echelonn´ee du syst`eme lin´eaire

correspond `a la forme ´echelonn´ee en lignes de?A, et le membre gauche du syst`eme ´echelonn´e

correspond `a la forme ´echelonn´ee en lignes de la matrice des coeffientsA. On en d´eduit :rg

?A= nombre de lignes du syst`eme ´echelonn´e non de la forme 0 = 0.

rgA= nombre de lignes du syst`eme ´echelonn´e non de la forme 0 = 0 ou 0 =caveccnon nul.Ce que nous connaissons sur la solution des syst`emes lin´eaires se traduit par les parties (a) et

(b) du th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 2.Consid´erons un syst`eme lin´eaire dem´equationsenninconnuesavec matrice des coefficientsA, membre de droiteb, et matrice augment´ee?A=?A??b?. (a)Pour un membre de droitebparticulier, le syst`eme lin´eaire a une solution si et seulement si on argA= rg?A. (b)Quand elles existent, les solutions d´ependent den-rgAparam`etres ind´ependants. La partie (c) se d´eduit du Th´eor`eme 1 ci-dessus.

Quand on r´eduit la matrice augment´ee d"un syst`eme lin´eaire `a sa forme ´echelonn´ee en lignes,

parfois on termine avec une matrice contenant autant de pivots que de lignes dans la partie gauche de la matrice, comme celle-ci :( (13 4 15 024-6

0 0 01?

2 On peut r´esoudre un tel syst`eme ´echelonn´e quelque soit le membre de droite.

Mais parfois on termine avec une matrice augment´ee ´echelonn´ee avec moins de pivots que de

lignes dans la partie gauche, comme celle-ci : (13 4 15 024-6

0 0 0 0?

La derni`ere ligne correspond `a une ´equation de la forme 0 =?, o`u le?d´epend du membre de

droitebdu syst`eme non ´echelonn´e du d´epart. Pour certainsb, le?prend la valeur 0, et le syst`eme

a des solutions. Pour d"autresb, le?est non nul, et le syst`eme n"a pas de solutions. Or quand on a un syst`eme lin´eaire dem´equationsenninconnuesavec matrice des coeffi-

cientsA, le nombre de pivots dans la partie gauche de la matrice ´echelonn´ee est rgA, et le nombre

de lignes estm. Donc les deux situations ci-dessus correspondent `a d"abord rgA=m, et ensuite rgA < m. On a donc le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 3.Consid´erons un syst`eme lin´eaire dem´equationsenninconnuesavec matrice des coefficientsA, membre de droiteb, et matrice augment´ee?A=?A??b?. (a)Quand on argA=m, le syst`eme lin´eaire a des solutions quelque soit le membre de droite b. (b)Quand on argA < m, le syst`eme lin´eaire a des solutions pour certains membres de droite bmais pas pour tout membre de droite. 3quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34