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A3,1x1 + A3,2x2 + A3,3x3 = b3 La méthode consiste à transformer le système A x = b en un autre système équivalent T x = c avec T matrice triangulaire 

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Variante de la méthode de Gauss (gauss1): sauf au niveau du pivot a (k) Gauss Mais application intéressante pour le calcul de l'inverse d'une matrice 6

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qui suit, nous définissons la notion de matrice inverse d'une matrice carrée et par la méthode du pivot de Gauss-Jordan C Nazaret x1 + 2x2 + 3x3 = y2 x2

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x1 + 2x2 + 3x3 = 4, la résolution par la méthode du pivot de Gauss consiste à ( 2) Déterminer la matrice augmentée M associée à ce système d'équations

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matrices Nous verrons ensuite comment l'écriture matricielle permet de mieux appréhender 1 8 Résolution de système par la méthode du pivot (méthode Gauss-Jordan) L'exemple suivant 3x1 + 2x2 + 4x3 = −1 2x1 − x2 + 2x3 = −2

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A Matrices échelonnées; pivot de Gauss Soit `a résoudre le voir que si x = (x1, x2) est un vecteur quelconque de R2, alors x = (x1 − 2x2)v1 + x2v2, donc les 

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Principe de la méthode du pivot de Gauss

La méthode de Gauss est une méthode permettant de résoudre les systèmes linéaires mis sous forme

matricielle A.x = b où A est une matrice carrée n´n, x un vecteur de dimension n représentant les

inconnues et b le vecteur de dimension n représentant le second membre.

A1,1x1 + A1,2x2 + A1,3x3 = b1

A2,1x1 + A2,2x2 + A2,3x3 = b2

A3,1x1 + A3,2x2 + A3,3x3 = b3

La méthode consiste à transformer le système A.x = b en un autre système équivalent T.x = c avec T

matrice triangulaire supérieure. On obtient donc un nouveau système :

T1,1x1 + T1,2x2 + T1,3x3 = c1

T2,2x2 + T2,3x3 = c2

T3,3x3 = c3

qui se résout très facilement en récupérant les x i de proche en proche en commençant pas xn.

Pour permettre de triangulariser (ou trianguler) la matrice initiale, on a besoin d"effectuer des

manipulations (dites élémentaires) sur A : échanger deux lignes de A (recherche et placement du pivot)

multiplication d"une ligne de A par un scalaire non nul (afin de préparer la manipulation suivante)

addition à une ligne de A une autre ligne de A

Lorsqu"à chaque étape de ces manipulations, il existe toujours un pivot non nul, la matrice (et donc le

système) pourra se triangulariser. Si les mêmes manipulations sont effectuées sur le vecteur b (matrice

colonne), nous pourrons alors obtenir le système équivalent noté sous forme matricielle T.x = c.

Remarque :

Attention, les dépassements de capacité sur les réels ne sont pas testés ; on risque des erreurs d"exécution

comme le montre l"exemple suivant : -->A=[1 2 3 4;9 8 7 6;5 -5 -8 3;-4 -1 -2 -3] A = ! 1. 2. 3. 4. ! ! 9. 8. 7. 6. ! ! 5. - 5. - 8. 3. ! ! - 4. - 1. - 2. - 3. ! -->b=[1 2 3 0]" b = ! 1. ! ! 2. ! ! 3. ! ! 0. ! -->c=resoudre(A,b) c = ! - .175 .7446429 - .7642857 .4946429 ! -->A*c" //transformation de la solution en un vecteur colonne ans = ! 1. ! ! 2. ! ! 3. ! ! 1.110E-15 ! //et 1,11.10 -15 ¹ 0

function [A,b]=entre_systeme A=input("Entrez la matrice caractérisant le système d""inconnues")

b=input("Entrez la matrice du second membre") function [n]=ligne_pivot(A,i) while A(i,i)==0 do i=i+1; end n=i; function [B]=echanger_lignes(A,i,j) for k=1:sqrt(length(A)) do aux=A(i,k);A(i,k)=A(j,k);A(j,k)=aux; end B=A function [B]=multiplier_ligne(A,i,x) for k=1:sqrt(length(A)) do A(i,k)=A(i,k)*x; end B=A function [B]=ajouter_lignes(A,i,j) for k=1:sqrt(length(A)) do A(j,k)=A(j,k)+A(i,k); end B=A function [B]=trianguler(A) for i=1:(sqrt(length(A))-1) do n=ligne_pivot(A,i); if n<>i then A=echanger_lignes(A,i,n); end for j=(i+1):(sqrt(length(A))) do if A(j,i)<>0 then

A=multiplier_ligne(A,j,-A(i,i)/A(j,i));

A=ajouter_lignes(A,i,j)

end end end B=A function [x]=resoudre(A,b) for i=1:(sqrt(length(A))-1) do n=ligne_pivot(A,i); if n<>i then A=echanger_lignes(A,i,n); aux=b(i);b(i)=b(n);b(n)=aux; end for j=(i+1):(sqrt(length(A))) do if A(j,j)<>0 then b(j)=b(j)*(-A(i,i)/A(j,i))

A=multiplier_ligne(A,j,-A(i,i)/A(j,i));

A=ajouter_lignes(A,i,j)

b(j)=b(j)+b(i) end end end n=sqrt(length(A)); x=zeros(1,n); for i=n:-1:1 do x(i)=b(i) for j=n:-1:(i+1) do x(i)=x(i)-A(i,j)*x(j); end x(i)=x(i)/A(i,i) endquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34