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matrices Nous verrons ensuite comment l'écriture matricielle permet de mieux appréhender 1 8 Résolution de système par la méthode du pivot (méthode Gauss-Jordan) L'exemple suivant 3x1 + 2x2 + 4x3 = −1 2x1 − x2 + 2x3 = −2
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I Les matrices
Introduction
L'objet de cette partie du cours est de vous donner des outils mathematiques qui vous seront necessaires dans les annees a venir. Les objets que nous manipulerons principalement s'appellent des matrices, et servent a coder certains problemes, tels que par exemple certains systemes d'equations, ou certains systemes d'equations dierentielles. Nous reviendrons sur ces questions plus loin dans le cours, mais pour l'instant il nous faut denir et manipuler les objets dont nous aurons besoin.A Matrices,operationssurlesmatrices DenitionA.1.Unematricemnest un tableau rectangulaire de nombres, amlignes etncolonnes: A=0 B BB@a11a12a1n
a21a22a2n.........
a m1am2amn1 C CCA ou lesaij, pour16i6met16j6nsont des reels. On la note aussiA= (aij)16i6m16j6nLes indicesietjdeaijsignient queaijest situe sur lai-eme ligne et laj-eme colonne.
L'ensemble de toutes les matrices amlignes etncolonnes est noteMm;n(R):ExempleA.2.2 41 0 3 2 ,12 31sont des matrices (23et22respective- ment).
Cas particuliers
Les elements deM1;n(R)sont appelesvecteurs ligne(oumatrices ligne). Ils sont de la formea11a1n: Les elements deMm;1(R)sont appelesvecteurs colonneoumatrices colonne. Ils sont de la forme0 B @a 11... a m11 CA:DenitionA.3.On denit
l'additionde deux matrices: siA= (aij)16i6m16j6netB= (bij)16i6m
16j6non pose
A+B= (aij+bij)16i6m
16j6n soit A+B=0 B BB@a11+b11a12+b12a1n+b1n
a21+b21a22+b22a2n+b2n.........
a m1+bm1am2+bm2amn+bmn1 C CCA 1 lamultiplicationd'une matrice par un reel: siA= (aij)16i6m16j6netest reel, on pose
A= (aij)16i6m
16j6n soit A=0 B BB@a11a12a1n
a21a22a2n.........
a m1am2amn1 C CCARemarqueA.4.On ne peut additionner des matrices que si elles sont dum^eme type(m^eme nombre de lignes et m^eme nombre de colonnes).ExempleA.5. 21347 5
+6 89
10 13 11
=2 + 61 + 8394107 + 13 5 + 11
8 7126 6 16
Nous allons maintenant denir un produit de matrices, qui existe dans certaines condi-tions, et qui est un peu plus complexe que les operations ci-dessus.DenitionA.6.Etant donnees deux matricesAdeMm;n(R)etBdeMn;p(R)telles que
le nombrende colonnes deAest egal au nombre de lignes deB, on denit leur produit AB, qui est une matrice deMm;p(R);de la facon suivante: notonsA= (aij)16i6m16j6net
B= (bjk)16j6n
16k6p, alorsAB= (cik)16i6m
16k6paveccik=Pn
j=1aijbjk=ai1b1k+ai2b2k+ +ainbnk:ExempleA.7.436 25 41 2 13 a b c d e f avec 8 >>>>>>>:a=1 4+ 2 (2) = 0 b=1 (3) +2 5= 7 c=1 6+ 2 (4) =2 d= (1)4+ 3 (2) =10 e= (1)(3) +3 5= 1 8 f= (1)6+ 3 (4) =18 Donc 1 2 1 3 43 6
2 54 =0 72
10 1818
On remarque que le produit
43 62 54 1 2 1 3 n'est pas deni. 2 DenitionA.8.On denit des matrices particulieres: lesmatrices unite, ouidentite,In2 M n;n(R);par I n=0 B
BB@1 00
0 10............
00 11 C CCA c'est-a-dire que les termes sur la diagonale sont des 1, et les autres sont des 0.ExempleA.9.I2=1 0 0 1 ,I3=0 @1 0 0 0 1 00 0 11
A :ProprietesA.10.(AB)C=A(BC)pour toutes matrices convenablesA;B;C(c'est- a-dire telles que les produits existent). On peut donc oublier les parentheses et ecrireABC:On dit que le produit estassociatif.
AIn=AetImA=Apour toute matriceAdeMm;n(R).
(A+A0)B=AB+A0Bpour toutes matricesA;A0;Bconvenables. On dit que le produit estdistributif(a droite) par rapport a l'addition. A(B+B0) =AB+AB0pour toutes matricesA;B;B0convenables. On dit que le produit estdistributif(a gauche) par rapport a l'addition.(A)B=(AB) =A(B)pour toutes matricesA;Bconvenables et tout reel:RemarqueA.11.Attention:Ce produit n'estpas commutatif! C'est-a-dire qu'on peut
avoirAB6=BApour certaines matrices (on peut m^eme avoirABdenie alors queBAn'est pas denie).RemarqueA.12.Les matrices uniteInjouent un r^ole semblable au \1" deR:DenitionA.13.On dit qu'une matriceAdeMn;n(R)estinversibles'il existe une matrice
BdeMn;n(R)telle queAB=InetBA=In:On dit alors queBestl'inversedeAet on la noteA1:On a doncAA1=InetA1A=In:Attention: On ne doitjamaisdiviser par une matrice, mais on peut multiplier par son
inverse si elle est inversible. (La division de matrices n'existe pas).RemarqueA.14.On peut montrer que l'une des egalites ci-dessus sut, c'est-a-dire que
s'il existe une matriceBtelle queAB=In(ouBA=In), alorsAest inversible (on rappellequeAest dansMn;n(R)).RemarqueA.15.Pour qu'une matrice soit inversible, il faut qu'elle ait le m^eme nombre de
lignes et de colonnes (on dit qu'elle estcarree). Maisattention, cela ne sut pas: toutes les matrices carrees ne sont pas inversibles.ExempleA.16.SoitA=13 26:SiAest inversible, alors il existeB=a b c d telle queAB=I2:Donca3cb 3d
2a6c2b6d
=10 0 1 :En particulier:a3c=1 mais2(a3c) =2 a6c=0 : contradiction. DoncBn'existe pas etAn'est pas inversible. 3ExempleA.17.SoitA=13
2 6 :SiAest inversible, alors il existeB=a b c d telle queAB=I2:Donca3c b3d2a+ 6c2b+ 6d
=1 0 0 1 :On en deduit le systeme d'equations 8 >:a3c= 1 b3d= 02a+ 6c= 0
2b+ 6d= 1qui a pour solutiona=12
; b=14 ; c=16 etd=112On verie que l'on a bienA0
@12 14 16 1121 A =I2:
DoncAest inversible etA1=0
B BB@12 14 16 1121 C CCA:DenitionA.18.On denit latransposeeAtd'une matriceA= (aij)16i6m