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Chapitre 4
Formes g´en´erale, canonique et
standard d'un probl`eme d'optimisation lin´eaire Dans ce chapitre, nousd´efinissons la forme g´en´erale d'un probl`eme d'optimisation lin´eaire, ainsi que la forme canonique et la forme standard. Nous montrons ´egalementqu'un probl`eme sous forme g´en´erale peutˆetre transform´e d'abord en un probl`eme´equivalent
sous forme canonique, puis enfin sous un probl`eme ´equivalent sous forme standard. Dans les chapitres qui suivront, nous nous restreindrons donc `a fournir unalgorithme de r´esolution pour les probl`emes sous forme standard.D´efinition 4.1.
On appelle probl`emed'optimisation lin´eairesous forme g´en´erale un probl`eme de la forme maximiser F X sous les contraintes X R Q ,G 1 X 0 ,G P X 0 ,(4.1) o`u P,Q N F R Q R est une forme lin´eairesur R Q et G 1 ,G P sont des applications affines d´efinies sur R Q et `a valeurs r´eelles. Ondit que la fonction F est la fonction objectif et que les fonctions G 1 ,G P sont les contraintesRemarque 4.2.
On pourrait bien sˆurtraiter de mani`ere ´equivalente les probl`emes deminimisation. Il n'y a toutefois aucune perte de g´en´eralit´e `a ne traiter queles probl`emes de
maximisation. De fait, minimiser une fonctionnelle F revient `a maximiser lafonctionnelle F. Dans le mˆeme esprit, on pourrait consid´erer des contraintes de la forme G i X 0 ou mˆeme G i X ) = 0 Dans le premier cas ilsuffit alors de r´ecrire lacontrainte sous la forme G i X 0 , et dans le second de lad´edoubler en deux contraintes : G j X 0 et G i X 0D´efinition 4.3.
On dit que
X R Q est une solution r´ealisable du probl`eme (4.1) si X satisfait aux contraintes, autrement dit si G 1 X 0 ,G P X 0L'ensemble
P de toutes les solutions r´ealisables d'un probl`emed'optimisation est appel´e son ensemble r´ealisableD´efinition 4.4.
On dit que
X R Q est une solution optimale du probl`eme (4.1) si X est une solution r´ealisable du probl`eme (4.1) et si de plus, quelle que soit la solution 13 r´ealisable Y ∈ R Q du probl`eme (4.1) on a n´ecessairement F Y F XAutrement dit,
une solution r´ealisableest optimale si elle maximise la fonction objectif sur l'ensemble r´ealisable.Remarque 4.5.
Anticipant un peu surle Chapitre 12, on affirme que l'ensemble P est un poly`edre dans R n c'est-`a-dire une intersection finie de demi-espaces ferm´es de R n Si P est de plus born´e (celan'est pas n´ecessairement le cas), et puisque la fonction objectif est une fonction continue, l'existence d'au moins une solution optimaleest alors garantie par le th´eor`eme des bornes atteintes. Dans tous les cas, nous verronsque si la fonction est major´ee sur P alors le probl`eme de maximisation a toujours au moins une solution.Un mˆeme probl`eme d'optimisation lin´eaire peut se r´ecrire de diverses mani`eres´equivalentes
les unes aux autres. Parmi ces versions, nous distinguerons les formescanoniques et les formes standards.