13 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L'algorithme du simplexe Programmation linéaire Forme standard d'un PL
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1Programmation lineaireInterp retationg eometriqueBases et p ointsextr ^emesL'algo rithmedu si mplexe
Programmation lineaire
Nadia Brauner
Julien Moncel
Herve Hocquard
2017-2018
2Programmation lineaireInterp retationg eometriqueBases et p ointsextr ^emesL'algo rithmedu si mplexe
Plan1Introduction a la programmation lineaire
2Interpretation geometrique
3Bases et points extr^emes
4L'algorithme du simplexe
3Programmation lineaireInterp retationg eometriqueBases et p ointsextr ^emesL'algo rithmedu si mplexe
Programmation lineaire
Cadre de la PL
Programmation lineaire
nombre ni de variables reelles, contraintes lineaires, objectif lineaireVariablesx1;x2:::xnreellesContrainte generique (contraintei) : n X j=1a ijxjbiFonction-objectif generique (a maximiser / minimiser) : f(x1;x2:::xn) =nX j=1c jxj3Programmation lineaireInterp retationg eometriqueBases et p ointsextr ^emesL'algo rithmedu si mplexe
Programmation lineaire
Cadre de la PL
Programmation lineaire
nombre ni de variables reelles, contraintes lineaires, objectif lineaireVariablesx1;x2:::xnreellesContrainte generique (contraintei) : n X j=1a ijxjbiFonction-objectif generique (a maximiser / minimiser) : f(x1;x2:::xn) =nX j=1c jxj3Programmation lineaireInterp retationg eometriqueBases et p ointsextr ^emesL'algo rithmedu si mplexe
Programmation lineaire
Cadre de la PL
Programmation lineaire
nombre ni de variables reelles, contraintes lineaires, objectif lineaireVariablesx1;x2:::xnreellesContrainte generique (contraintei) : n X j=1a ijxjbiFonction-objectif generique (a maximiser / minimiser) : f(x1;x2:::xn) =nX j=1c jxj3Programmation lineaireInterp retationg eometriqueBases et p ointsextr ^emesL'algo rithmedu si mplexe
Programmation lineaire
Cadre de la PL
Programmation lineaire
nombre ni de variables reelles, contraintes lineaires, objectif lineaireVariablesx1;x2:::xnreellesContrainte generique (contraintei) : n X j=1a ijxjbiFonction-objectif generique (a maximiser / minimiser) : f(x1;x2:::xn) =nX j=1c jxj4Programmation lineaireInterp retationg eometriqueBases et p ointsextr ^emesL'algo rithmedu si mplexe
Programmation lineaire
Exemple : culture de courgettes et navets
Contraintes concernant les quantites d'engrais et d'anti-parasites8`engrais A disponible
!2`=m2necessaires pour courgettes, 1`=m2pour navets7`engrais B disponible !1`=m2necessaires pour courgettes, 2`=m2pour navets3`anti-parasites disponible !1`=m2necessaires pour navets Objectif : produire le maximum (en poids) de legumes, sachant que rendements = 4kg=m2courgettes, 5kg=m2navets5Programmation lineaireInterp retationg eometriqueBases et p ointsextr ^emesL'algo rithmedu si mplexe
Programmation lineaire
Exemple : culture de courgettes et navets
Variables de decision
x c: surface de courgettesx n: surface de navetsFonction objectifmax4xc+ 5xnContraintes2xc+xn8 (engrais A)x
c+ 2xn7 (engrais B)x n3 (anti-parasites)x c0 etxn05Programmation lineaireInterp retationg eometriqueBases et p ointsextr ^emesL'algo rithmedu si mplexe
Programmation lineaire
Exemple : culture de courgettes et navets
Variables de decision
x c: surface de courgettesx n: surface de navetsFonction objectifmax4xc+ 5xnContraintes2xc+xn8 (engrais A)x
c+ 2xn7 (engrais B)x n3 (anti-parasites)x c0 etxn05Programmation lineaireInterp retationg eometriqueBases et p ointsextr ^emesL'algo rithmedu si mplexe
Programmation lineaire
Exemple : culture de courgettes et navets
Variables de decision
x c: surface de courgettesx n: surface de navetsFonction objectifmax4xc+ 5xnContraintes2xc+xn8 (engrais A)x
c+ 2xn7 (engrais B)x n3 (anti-parasites)x c0 etxn06Programmation lineaireInterp retationg eometriqueBases et p ointsextr ^emesL'algo rithmedu si mplexe
Programmation lineaire
Inter^et de la PL
Probleme general d'optimisation sous contraintes)AUCUNE methode GENERALE de resolution!!Probleme lineaire quelconque
)existence de methodes de resolution generales et ecacesCes methodes sont ecaces en theorie et en pratique
)existence de nombreux logiciels de resolution : Excel, CPLEX, Mathematica, LP-Solve...Cadre restrictif variables reelles contraintes lineaires objectif lineaire6Programmation lineaireInterp retationg eometriqueBases et p ointsextr ^emesL'algo rithmedu si mplexe
Programmation lineaire
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Probleme general d'optimisation sous contraintes)AUCUNE methode GENERALE de resolution!!Probleme lineaire quelconque
)existence de methodes de resolution generales et ecacesCes methodes sont ecaces en theorie et en pratique
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Probleme general d'optimisation sous contraintes)AUCUNE methode GENERALE de resolution!!Probleme lineaire quelconque
)existence de methodes de resolution generales et ecacesCes methodes sont ecaces en theorie et en pratique
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Programmation lineaire
Inter^et de la PL
Probleme general d'optimisation sous contraintes)AUCUNE methode GENERALE de resolution!!Probleme lineaire quelconque
)existence de methodes de resolution generales et ecacesCes methodes sont ecaces en theorie et en pratique
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Programmation lineaire
Inter^et de la PL
Probleme general d'optimisation sous contraintes)AUCUNE methode GENERALE de resolution!!Probleme lineaire quelconque
)existence de methodes de resolution generales et ecacesCes methodes sont ecaces en theorie et en pratique
)existence de nombreux logiciels de resolution : Excel, CPLEX, Mathematica, LP-Solve...Cadre restrictif variables reelles contraintes lineaires objectif lineaire7Programmation lineaireInterp retationg eometriqueBases et p ointsextr ^emesL'algo rithmedu si mplexe
Programmation lineaire
Representation in extenso
max4xc+ 5xn2xc+xn8 (engrais A)x c+ 2xn7 (engrais B)x n3 (anti-parasites)x c0 etxn0Representation matricielle max (4 5) xc x n 0 @2 1 1 2 0 11 Axc x n 0 @8 7 31A x c0xn0
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