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ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Programmation Lin´eaire
Cours 1 : programmes lin´eaires, mod´elisation et r´esolution graphique
F. Clautiaux
francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.fr
Universit´e Bordeaux 1
Bˆat A33
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Motivation et objectif du cours
Introduction `a la programmation lin´eaire
Un outil qui permet de :
•mod´eliser •r´esoudre toute une classe de probl`emes d"optimisation.
Existence de solveurs efficace pour la PL
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Ouvrages de r´ef´erence
V. Chv´atal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983. •R. J. Vanderbei - Linear Programming, Foundations and Extensions,
Springer-Verlag, 2008.
•C. Gu´eret, C. Prins et M. Sevaux - Programmation lin´eaire :65 probl`emes d"optimisation mod´elis´es et r´esolus avec Visual Xpress,
Eyrolles, 2000.
•C. Prins et M. Sevaux - Programmation lin´eaire avec Excel : 55 probl`emes d"optimisation mod´elis´es pas `a pas et r´esolus avec Excel,
Eyrolles, 2011.
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Sommaire
Introduction par l"exemple
Exemple 1 : Production
Exemple 2 : Transport
Exemple 3 : Planification
Programme lin´eaire
R´esolution graphique
Points extrˆemes
Forme standard, bases
Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Probl`eme de production
Un fabricant produit 2 types de yaourts `a la fraise A et B `a partir de Fraise, de Lait et de Sucre. Chaque yaourt doit respecter les proportions suivantes de mati`eres premi`eres. AB
Fraise21
Lait12
Sucre01
On dispose de 800 Kg de Fraises, 700 Kg de Lait et 300 Kg de sucre. La vente de 1 Kg de yaourts A et B rapporte respectivement 4eet 5e.
Le fabricant cherche `a maximiser son profit.
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Mod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Que cherche-t-on `a optimiser? •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Mod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Seules valeurs non constantes : les quantit´es de yaourtsAetB produites •On parle devariables •On les noteraxAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Mod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •Le profitz •Calcul´e `a partir dexAetxB •On parle defonction objectif •z= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Mod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? •Premi`ere contrainte : 800 Kg de fraises disponibles •la quantit´e utilis´ee d´epend de la production : 2xA+xB ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Mod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? x x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Mod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? x x x
A,xB≥0
positivit´e! ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Mon premier programme lin´eaire
max4xA+ 5xB x x x
A,xB≥0
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Probl`eme de transport
Approvisionner au moindre coˆut les clients `a partir des usines.
Usines (i?I)BordeauxBiarritzToulouse
Productions (pi)251520
Clients (j?J)PauBayonneBordeauxLibourne
Demandes (dj)2012914
Prix/unit´e (ci,j)PauBayonneBordeauxLibourne
Bordeaux261904
Biarritz1222024
Toulouse19302428
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Mod´elisation
Variables :
x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Mod´elisation
Variables :
x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj •Objectif :
Minimiser?
i?I? j?Jci,jxi,j ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Mod´elisation
Variables :
x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj •Objectif :
Minimiser?
i?I? j?Jci,jxi,j •Contraintes :? i?Ixi,j=dj,?j?J(Demandes `a satisfaire) x i,j≥0,?i?I,j?J ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Probl`eme de planification
Planifier la production d"articles `a moindre coˆut pour les 4 prochains mois. Production maximale normale : 1200 articles / mois Production maximale en heure sup : 400 articles / mois
Surcoˆut heures sup : 7 euros / article
Stockage : 3 euros / article / mois
mois 1mois 2mois 3mois 4
Demandes900110017001300
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Mod´elisation
Variables :
x t: production normale en p´eriodet= 1,...,4 y t: production en heure sup en periodet= 1,...,4 s t: stock en fin de p´eriodet= 1,...,3 ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Mod´elisation
Variables :
x t: production normale en p´eriodet= 1,...,4 y t: production en heure sup en periodet= 1,...,4 s t: stock en fin de p´eriodet= 1,...,3 •Objectif :
Minimiser 7?t=4
t=1yt+ 3?t=3 t=1st •Contraintes : x
1+y1= 900+s1
s
1+x2+y2= 1100+s2
s
2+x3+y3= 1700+s3
s
3+x4+y4= 1300
s t≥0,t= 1, ...,3 ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Sommaire
Introduction par l"exemple
Programme lin´eaire
R´esolution graphique
Points extrˆemes
Forme standard, bases
Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
R`egles de r´e´ecriture (1)
Toute contrainte d"´egalit´e peut s"´ecrire comme deux in´egalit´es : n i=1a ixi=b≡? n i=1a ixi≥b≡n? Tout probl`eme de minimisation peut s"´ecrire comme un probl`eme de maximisation : max n? i=1c ixi≡minn? i=1-cixi ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Ecriture g´en´erale d"un programmation lin´eaire On peut ´ecrire ainsi un programme lin´eaire avecnvariables x
1,...,xnetmcontraintes.
max ?ni=1cixi x i?R,(i= 1,...,n) •Lin´earit´e :Objectif et contraintes sont des fonctions lin´eaires des variables de d´ecision (les coefficientscietaijdes variables sont constants) •Continuit´e :Les variables peuvent prendre n"importe quelle valeur r´eelle respectant les contraintes linaires ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Exemples simples de programmes non lin´eaires (1) min?ni=1xixi x i?R,(i= 1,...,n) min ?ni=1xi x i?
N,(i= 1,...,n)
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22