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Fondements

de la programmation linéaireGénéralités

Notations et définitionsPropriétés du problème de programmation linéaireThéorème fondamental de la programmation linéaireReprésentation géométrique d'une solution de base réalisableExemplesIllustration de la notion de base

2 Généralités sur la programmation linéaire La programmation linéaire traite de manière générale d'un problème d'allocation de ressources limitéesparmi des activités concurrentes et ce d'une façon optimale.La programmation linéaire emploie un modèle mathématique qui

décrit le problème réel.L'adjectif "linéaire"indique que toutes les fonctions mathématiques

de ce modèle sont linéaires tandis que le terme "programmation" signifie essentiellement planification 3

Notations et définitions

Le problème général de programmation linéaire est la recherche de l'optimum (minimum ou maximum) d'une fonction linéaire de n variables x j (j=1,2,...,n) liées par des équations ou inéquations linéaires appelées contraintes.Parmi les contraintes on distingue généralement celles du type x j 0 (ou x j

0), imposant à une partie ou à l'ensemble des variables d'être

non négatives (ou non positives). Les variables peuvent prendre n'importe quelles valeurs réelles satisfaisant aux contraintes. Certaines des variables sont remplacées par leurs opposées pour que les contraintes du type x j

0 ou x

j

0 soient toutes des conditions de

non-négativité. Certaines des inéquations ont été multipliées par -1 de façon que toutes les inégalités soient dans le même sens (par exemple). 4

Formulation algébrique

n

Minimiser (ou maximiser) z=c

j x j j=1 n

Sujet à:a

ij x j b j , i = 1, 2, ..., p j=1 n a ij x j =b j , i = p + 1, p + 2, ..., m j=1 x j

0, j = 1, 2, ..., q

x j quelconque, j = q + 1, q + 2, ..., n, où les constantes c j , a ij et b j sont des nombres réels.(fonction objective) contraintes 5 1 e formulation équivalente n

Minimiser (ou maximiser) z =c

j x j j=1 n

Sujet à:a

ij x j b j , i = 1, 2, ..., m j=1 x j

0, j = 1, 2, ..., n.

Forme canonique

Note :

Utilisée en théorie de la dualité.

6 2 ième formulation équivalente n

Minimiser (ou maximiser) z =c

j x j j=1 n

Sujet à:a

ij x j =b j , i = 1, 2, ..., m j=1 x j

0, j = 1, 2, ..., n.

Forme standard

Note :

Servira au développement des méthodes de calcul. 7 3 ième formulation équivalente

Minimiser z = c

t x sujet à Ax = b x 0 où c = [c 1 , c 2 , ..., c n t b = [b 1 , b 2 , ..., b m t et A = [a ij , i = 1, 2, ..., m et j = 1, 2, ..., n] est une matrice de dimension m x n.

Forme standard matriciel

Note :

Les formulations précédentes sont équivalentes; les opérations suivantes sont là pour nous en convaincre. 8 Opérations à effectuer pour passer d'une forme à l'autre

Opération A

En utilisant la relation

minimum f(x) = -maximum [-f(x)] dans laquelle f(x) représente la fonctionnelle linéaire à optimiser, on peut toujours se ramener à un problème de minimisation (ou de maximisation). Opération BUne variable de signe quelconque, x, peut toujours être remplacée par deux variables non négatives x+ et x-. Il suffit de poser x = x+ - x- où x+ = maximum [0, x], x- = maximum [0, -x]. Les variables x+ et x- ne peuvent pas faire partie d'un même "programme de base" i.e. l'une d'entre elles est nécessairement nulle dans l'une, au moins, des solutions optimales du problème.

Note :

9 Opérations à effectuer pour passer d'une forme à l'autre

Opération C

Toute équation de la forme

n a ij x j =b i j=1 peut être remplacée par les deux inéquations n a ij x j b i j=1 n -a ij x j -b i j=1 10 Opérations à effectuer pour passer d'une forme à l'autre

Opération D

Toute inéquation, par exemple

n a ij x j b i j=1 peut être remplacée par les relations n a ij x j -e i =b i j=1 e i 0 obtenues par l'introduction d'une variable supplémentaire non négative appelée variable d'écart et affectée d'un coefficient nul dans la forme à optimiser. 11

Exemple 2.2.1

- Mise sous forme canonique Le problème suivant est déjà sous forme canonique :

Min Z = 2x

1 + 3x 2 -x 3 sous les contraintes: x 1 0, x 2 0, x 3 0, 2x 1 + x 2 -x 3 100
x 1 + x 2 + x 3 80
12

Exemple 2.2.2

- Mise sous forme canonique Soit le problème de programmation linéaire suivant :

Max C = 6x

1 -3x 2 + x 3

Min -C = -6x

1 + 3x 2 -x 3 sous les contraintes: sous les contraintes: x 1 0, x 2 0, x 1 0, x 2 0, 4x 1 + 2x 2 + x 3 65 4x
1 + 2x 2 + x 3 65
x 1 + x 2 -x 3 5x 1 + x 2 -x 3 5 x 1 + x 2 = 10 x 1 + x 2 = 10 Les variables doivent toutes être positives ou nulles : x 2

0 et x

3 libre nous devons poser : x 1 = y 1 , x 2 = -y 2 , x 3 = y 3 -y 4 où les variables y i , i = 1,2,3,4 sont toutes positives ou nulles. Toutes les contraintes doivent être du type ( ) i.e. 4y 1 -2y 2 + y 3 -y 4

65 devient : -4y

1 + 2y 2 -y 3 + y 4 -65 y 1 -y 2 = 10 devient : y 1 -y 2

10 et -y

1 + yquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22