[PDF] [PDF] Chapitre 3 Combinaison linéaire et SEV

[PDF] Méthode de combinaison linéaire

Résolution du système ( )S : 2 3 11 5 4 7 x y x y − = − ⎧ ⎨ + = ⎩ par la méthode de combinaison linéaire : ➢ On obtient alors la valeur de y 1 2 2 3 11

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Mon premier exemple de combinaison linéaire Considérons les trois vecteurs de R3 A := (1,0,0) B := (0,1,0) C := (2,−3,0) On a 2A − 3B = C et on dit que

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de combinaisons linéaires sur les équations : (S)⇐⇒ On va décrire la méthode du pivot de Gauss pour résoudre un système de la forme :

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2x + y = 4 est une équation linéaire à deux inconnues x et y Ceci dit, je vous recommande la méthode par combinaisons linéaires car elle permet de limiter d'  

[PDF] Chapitre 3 Combinaison linéaire et SEV

Est-ce la bonne méthode ? Page 5 Question réciproque : Etant donné un troisième vecteur b, par exemple 

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Nous venons de voir un exemple simple de la méthode de combinaison : on a fait une combinaison linéaire des deux équations, ici (L1) − (L2) Ces deux 

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Si vous savez déjà résoudre un système linéaire par la méthode de Gauss, vous de vérifier qu'il est stable par combinaison linéaire, c'est-à-dire que si deux 

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Fiche méthode : Systèmes de deux équations à deux inconnues 1ère S Définition Résolution par méthode de combinaison linéaire ⎩ ⎨ ⎧ 10x + 4y = 8

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o`u les nombres a1, ,an sont les coefficients de cette combinaison Une équation solution du syst`eme linéaire avant que nous appliquions la méthode si et

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Chapitre 3. Combinaison linéaire et SEV

§1. Reconnaitre une combinaison linéaire.

Etant donné deux vecteurs?v1,?v2, par exemple((102)) et((231)) , ainsi que deux coefficients sett, il est très facile de calculer leur combinaison linéaire s?v1+t?v2. Par exemple 2 (102)) (-1) (231)) = (facile...).

Chapitre 3. Combinaison linéaire et SEV

§1. Reconnaitre une combinaison linéaire.

Etant donné deux vecteurs?v1,?v2, par exemple((102)) et((231)) , ainsi que deux coefficients sett, il est très facile de calculer leur combinaison linéaire s?v1+t?v2. Par exemple 2 (102)) (-1) (231)) = (facile...). Question réciproque :Etant donné un troisième vecteur?b, par exemple((897)) , est-il une combinaison linéaire de?v1et?v2?

Chapitre 3. Combinaison linéaire et SEV

§1. Reconnaitre une combinaison linéaire.

Etant donné deux vecteurs?v1,?v2, par exemple((102)) et((231)) , ainsi que deux coefficients sett, il est très facile de calculer leur combinaison linéaire s?v1+t?v2. Par exemple 2 (102)) (-1) (231)) = (facile...). Question réciproque :Etant donné un troisième vecteur?b, par exemple((897)) , est-il une combinaison linéaire de?v1et?v2? Une méthode naïve est de tester avec toutes sortes de coefficients s,tpour tenter de retrouver?bavecs?v1+t?v2.

Est-ce la bonne méthode?

Question réciproque :Etant donné un troisième vecteur?b, par exemple((897)) , est-il une combinaison linéaire de?v1et?v2? Une méthode naïve est de tester avec toutes sortes de coefficients s,tpour tenter de retrouver?bavecs?v1+t?v2.

Est-ce la bonne méthode?

Question réciproque :Etant donné un troisième vecteur?b, par exemple((897)) , est-il une combinaison linéaire de?v1et?v2? Une méthode naïve est de tester avec toutes sortes de coefficients s,tpour tenter de retrouver?bavecs?v1+t?v2.

Est-ce la bonne méthode?

NON, il y a trop (une infinité) de

coefficients à tester. La bonne méthode est de: poser des coefficients comme des inconnues, et traduire la question en :

Est-ce que le système

x?v1+y?v2=?badmet une solution?

Dans notre exemple concret, la question devient :

Est-ce que le système

x (102)) y (231)) =((897)) admet une solution?

Est-ce que le systèmex

(102)) y (231)) =((897)) admet une solution? On est donc ramené à résoudre ce système. On obtient x=2,y=3.

Est-ce que le systèmex

(102)) y (231)) =((897)) admet une solution? On est donc ramené à résoudre ce système. On obtient x=2,y=3. Ainsi, la réponse de la question initiale est :

Est-ce que le systèmex

(102)) y (231)) =((897)) admet une solution? On est donc ramené à résoudre ce système. On obtient x=2,y=3. Ainsi, la réponse de la question initiale est : oui,((897)) s"exprime bien en combinaison linéaire de((102)) et((231)) en effet (897)) =2((102)) +3((231)) Question similaire :En dimension 4, le vecteur?e4est-il une combinaison linéaire de ?e1,?e2et?e3?

Justifier votre réponse.

Est-ce que le systèmex

(102)) y (231)) =((897)) admet une solution? On est donc ramené à résoudre ce système. On obtient x=2,y=3. Ainsi, la réponse de la question initiale est : oui,((897)) s"exprime bien en combinaison linéaire de((102)) et((231)) en effet (897)) =2((102)) +3((231)) Question similaire :En dimension 4, le vecteur?e4est-il une combinaison linéaire de ?e1,?e2et?e3?

Justifier votre réponse.

Non.Car le systèmex?e1+y?e2+z?e3=?e4n"a pas de solution.

§2. Sous espace vectoriel engendré

L"équationx-y-2z=0 a pour solutionx=y+2z, oùy,z peuvent prendre n"importe quelles valeurs réelles. Sous forme vectorielle, l"ensemble des solutions s"écrit

S=?((y+2z

y z)) ,y,z?R? y((110)) +z((201)) ,y,z?R? a((110)) +b((201)) ,a,b?R? (on a remplacéy,zpara,b) toutes les combinaisons linéaires de((110)) et((201)) nouvelle notation=?((110)) ,((201)) a((110)) +b((201)) ,a,b?R? (on a remplacéy,zpara,b) toutes les combinaisons linéaires de (110)) et((201)) nouvelle notation=?((110)) ,((201)) Définition et Notation.On utilise??v1,···,?vm?pour désigner l"ensemble de toutes les combinaisons linéairesdes?vi, ou bien, en écriture ensembliste :??v1,···,?vm?={? kak?vk,ak?R}= {a1?v1+a2?v2+···+am?vm|a1,···,am?R}.On appelle cet ensemble le sous espace vectoriel engendré(SEV) par les vecteurs ?v1,···,?vm. a((110)) +b((201)) ,a,b?R? (on a remplacéy,zpara,b) toutes les combinaisons linéaires de (110)) et((201)) nouvelle notation=?((110)) ,((201)) Définition et Notation.On utilise??v1,···,?vm?pour désigner l"ensemble de toutes les combinaisons linéairesdes?vi, ou bien, en écriture ensembliste :??v1,···,?vm?={? kak?vk,ak?R}= {a1?v1+a2?v2+···+am?vm|a1,···,am?R}.On appelle cet ensemble le sous espace vectoriel engendré(SEV) par les vecteurs ?v1,···,?vm.

Ainsi, demander si

?best une combinaison linéaire des?virevient à demander si?best un élément de l"ensemble??v1,···,?vm?, revient à demander si un système (lequel?) admet une solution (ou plus).

§3. Réduction suivant les colonnes

On peut résoudre un systèmeA?x=?bencinq étapessuivantes :

1.On forme

la matrice compagnon verticale ?A Id?

2.On l"

échelonne suivant les colonnespour obtenir?BH?

Exemple: Résoudre((1-1 1

1 0 2

1 1 3))

(xy z)) =((123)) (1-1 1 1 0 2 1 1 3 10 0 0 10 0 0 1 )C

2?C2+C1

C

3?C3-C1((((((((1

?0 0 1 1 1 2 1 1-1 0 1 0

0 0 1))))))))

C

3?C3-C2

-→((((((((1 0 0 11?0 1 20 1 1-2 0 1-1

0 0 1))))))))

AlorsB=??,H=??,?b=??

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