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Géométrie
Mesures de cercles, de parties de
cercles et de figures arrondies§ 1. Le nombre
Le nombre est le nombre que l'on obtient en divisant le périmètre de n'importe quel cercle avec son diamètre. Il vaut 3,141592654... . C'est un nombre irrationnel (il ne peut pas être mis sous forme de fraction). Sans machine à calculer, on prendra 3,14. Le nombre est aussi le nombre que l'on obtient en divisant l'aire de n'importe quel cercle par le carré de son rayon. § 2. Périmètres de cercles et aires de disquesLe périmètre d'un cercle et l'aire d'un disque se calcule de la manière suivante:Cours de mathématiques Géométrie classique
1 § 3. Longueurs d'arcs de cercles et aires de secteurs circulaires Un arc de cercle est une partie d'un cercle (en un seul morceau).Un secteur de disque
ou secteur circulaire est une partie d'un disque limitée par deux rayons et un arc de cercle:Pour calculer la longueur d'un arc de cercle
, on peut procéder comme suit: Admettons que l'on doive calculer la longueur d'un arc de cercle de rayon 7 cm et dont l'angle au centre vaut 68°: - on commence par calculer le périmètre du cercle entier de rayon 7 cm: on a périmètre = cm;2r271443,98
- le périmètre de tout le cercle correspondant à un angle plein (360°), on peut alors utiliser
la règle de trois pour calculer la longueur de l'arc de cercle correspondant à 68°: 6814360
119
45
68°14360°longueurangle
- ainsi la longueur de l'arc de cercle est 8,31 cm. 11945
Pour calculer l'aire d'un secteur circulaire, on peut procéder comme suit: Admettons que l'on doive calculer l'aire d'un secteur de disque de rayon 4,8 cm et dont l'angle au centre vaut 123°: - on commence par calculer l'aire du disque entier de rayon 4,8 cm: on a aire = cm 2 ;r 2 4.8 2
23,0472,38
- l'aire de tout le disque correspondant à un angle plein (360°), on peut alors utiliser larègle de trois pour calculer l'aire du secteur circulaire correspondant à 123°:Cours de mathématiques Géométrie classique
212323,04
360984
125
123°23,04360°aireangle
- ainsi l'aire du secteur circulaire est 24,73 cm 2 984125
§ 4. Calculs de périmètres et d'aires de figures arrondies
Pour calculer le périmètre de figures arrondies, on calcule la longueur de tous ses
"côtés" (segments ou parties de cercles) et on additionne le tout. Pour calculer l'aire de figures arrondies, il y a deux manières de faire en fonction de lasituation: soit on divise la surface en plusieurs parties dont on sait calculer l'aire, on
calcule ces aires et on additionne le tout, soit on calcule l'aire d'une surface plus grande à laquelle on enlève les parties nécessaires dont on sait calculer l'aire. Exemple 1: Calculer le périmètre et l'aire de la figure ci-dessous: Pour calculer le périmètre, on divise le pourtour de la figure en différents segments et arcs de cercle dont on sait calculer la longueur:Cours de mathématiques Géométrie classique 3Le segment (1aut 2 cm.
Le segment (2aut 4 cm.
L'arc de cercle (3 est un dem i-cercle de diam ètre 2 cm (donc de rayon 1 cm ). Sa longueur est cm. 212 3,14 L'arc de cercle (4 est un dem i-cercle de diam ètre 4 cm (donc de rayon 2 cm ). Sa longueur est cm. 22
2 26,28
Ainsi, le périmètre de la figure est cm.2423615,42 Pour calculer l'aire de la figure, on la divise en plusieurs parties dont on sait calculer l'aire: La partie (1est un rectangle de 2 cm sur 4 cm. Son aire est cm s .248
La partie (2est un demi-cercle de 1 cm de rayon.
Son aire est cm
s 1 2 2 2 1,57La partie (3est un demi-cercle de 2 cm de rayon.
Son aire est cm
2 2 2 2 26,28Ainsi, l'aire de la figure est cm
2 .8 222,5815,86
Exemple 2: Calculer le périmètre et l'aire de la figure ci-dessous:Pour calculer le périmètre, on
divise le pourtour de la figure en différents segments et arcs de cercle dont on sait calculer la longueur:Cours de mathématiques Géométrie classique 4Le segment (1aut 3 cm.
Le segment (2aut 6 cm.
Le segment (3aut 1 cm.
Le segment (4aut 2 cm.
L'arc de cercle (5 est un demi-cercle de diamètre 3 - 1 = 2 cm (donc de rayon 1 cm). Sa longueur est cm. 212 3,14 L'arc de cercle (4 est un demi-cercle de diamètre 6 - 2 = 4 cm (donc de rayon 2 cm). Sa longueur est cm. 22
2 26,28
Ainsi, le périmètre de la figure est cm.3612231221,42
Pour calculer l'aire de la figure, on
remarque qu'elle correspond à un rectangle auquel on a enlevé deux demi-cercles:La surface du rectangle est
6318cm 2
La partie (1est un demi-cercle de 1 cm de
rayon. Son aire est cm 2 1 2 2 2 1,57 La partie (2t un demi-cercle de 2 cm de rayon. Son aire est cm 2 2 2 2 26,28Ainsi, l'aire de la figure est cm
2 .18 22182,510,15
Exemple 3: Calculer le périmètre et l'aire de la figure ci-dessous, correspondant à
l'intersection de deux cercle de 2 cm de rayon: Commençons par le périmètre. Dans la surface hachurée, on peut dessiner deux triangles équilatéraux:Cours de mathématiques Géométrie classique 5 Les triangles sont équilatéraux car rayon desO 1 O 2 O 1 AO 1 BO 2 AO 2 B cercles cm.2On a par conséquent °.AO
1 O 2 AO 2 O 1 BO 1 O 2 BO 2 O 1 60Ainsi, on a °.AO
1 BAO 2B260120
L'arc de cercle correspond donc à un angle au centre de °, ce qui est la tiersAO 1 B120 du périmètre du cercle entier (°).360 La longueur de l'arc de cercle est donc le tiers du périmètre d'un cercle de rayon 2AO 1 B cm: longueur de l'arc de cercle cm.AO 1 B 223 4 3 4,19 Par symétrie, on a: longueur de l'arc de cercle cm aussi.AO 2 B4,19 Ainsi le périmètre de la surface hachurée est cm. 4 3 4 3 8 3 8,38 Passons maintenant au calcul de l'aire de cette surface. On commence par calculer l'aire du secteur circulaire formé par les rayons et : O 2 A O 2 B
On a vu ci-dessus que °.AO
2 BAO 1 B120 Ainsi, l'aire du secteur circulaire formé par les rayons et vaut le tiers de l'aire d'un disque entier O 2 A O 2 B et vaut le tiers de l'aire d'un disque entierO 2 A O 2 B de 2 cm de rayon: aire secteur circulaire 2 2 3 4 3 cm 2 .4,19 Il nous reste à calculer l'aire des petites parties manquantes (surfaces noircies):Cours de mathématiques Géométrie classique 6 On remarque que ces parties correspondent à la différence entre le secteur circulaire formé par les rayons et et les deux triangles O 2 A O 2 B équilatéraux à l'intérieur de l'intersection des deux cercles: Ainsi, l'aire des petites surfaces noircies sera l'aire du secteur circulaire formé par les rayons et O 2 A O 2 B auquel on aura soustrait l'aire des deux triangleséquilatéraux.
Calculons l'aire d'un de ces triangles équilatéraux. Sa base est 2 cm. Il faut calculer sa hauteur. En divisant le triangle équilatéral en2, on a un triangle rectangle et on peut utiliser le théorème de
Pythagore: on a a = 2 cm, b = 1 cm et c = h, hauteur à calculer; avec a 2 = b 2 + c 2 , on obtient 2 2 = 1 2 + h 2 , d'où 4 = 1 + h 2 et h 2 = 3; ainsi, la hauteur du triangle équilatéral est h = cm. 31,73L'aire d'un des triangles équilatéraux est ainsi cm 2 23
2 31,73
L'aire des 2 triangles équilatéraux est alors cm 2 .233,46 En en déduit que l'aire des petites surfaces noircies est cm 2 4 3