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Intégrales curvilignes et de surfacesFabrice DoduFORMATIONCONTINUE: DUT+3DÉPARTEMENT DEMATHÉMATIQUES: INSA TOULOUSE2000-2001

Version 1.0

SommaireI Le cours61 Intégrales curvilignes81.1 Notions sur les arcs paramétrés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101.1.2 Premières définitions et propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.1.3 Arcs orientés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.1.4 Points particuliers et tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141.1.5 Longueur d"un arc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.2 Circulation d"un champ de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171.2.2 Calcul pratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.2.3 Champ dérivant d"un potentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.2.4 Formule de Green-Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22SommaireEntrées canoniques2DocumentsExemplesExercices

2 Intégrales de surfaces242.1 Notions sur les surfaces paramétrés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252.1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262.1.2 Définition : plan tangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.1.3 Aire d"une surface non plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302.2 Flux d"un champ de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322.2.1 Flux et intégrale de surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .332.3 Théorèmes intégraux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .352.3.1 Théorème de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .362.3.2 Théorème d"Ostrogradski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37II Les annexes39A Les exemples40A.1 Exemples du chapitre 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42A.1.1 Arc paramétré dans le plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42A.1.2 Arc paramétré dans le plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43A.1.3 Arc paramétré dans l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44A.1.4 Orientation et tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45A.1.5 Circulation d"un champ de IR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46A.2 Exemples du chapitre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47A.2.1 La sphère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47A.2.2 Le parapluie de Whitney. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48SommaireEntrées canoniques3DocumentsExemplesExercices

A.2.3 Equation cartésienne d"une surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49A.2.4 Equation cartésienne du plan tangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50B Les exercices51B.1 Exercices du chapitre 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53B.1.1 Points simples et multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53B.1.2 Périmètre du cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54B.1.3 Longueur d"un arc défini par une équation cartésienney=f(x). . . . . . . . . . . .55B.1.4 Travail sur une demi-ellipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56B.1.5 Travail sur une helice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57B.1.6 Travail d"un champ dérivant d"un potentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58B.1.7 Exercice : premier bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59B.1.8 Calcul d"aire d"une surface plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60B.1.9 Exercice : second bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61B.2 Exercices du chapitre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62B.2.1 Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne. . . . . . . . . . . .62B.2.2 Aire d"un cylindre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63B.2.3 Flux à travers une surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64B.2.4 Exercice : premier bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65B.2.5 Application à la formule de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66B.2.6 Application à la formule d"Ostrogradski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67B.2.7 Exercice difficile : pour le plaisir.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68SommaireEntrées canoniques4DocumentsExemplesExercices

C Les documents70C.1 Documents du chapitre 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71C.1.1 Masse d"un fil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71C.1.2 Rappels de calcul vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72C.2 Documents du chapitre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75C.2.1 Règle du tire-bouchon de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75SommaireEntrées canoniques5DocumentsExemplesExercices

Première partie

Le coursSommaireEntrées canoniques6DocumentsExemplesExercices

Afin de simplifier la compréhension du cours, nous ne considèrerons que des espaces vectoriels normésE

réels de dimension 2 ou 3, supposés munis de leur structure affine naturelle. Ainsi les éléments deEseront ap-

pelésvecteurss"ils sont considérés comme des éléments de l"espace vectorielE, etpointss"ils sont considéres

comme des éléments de l"espace affineE. Notation. On notera indifféremmentx= (x1;;xn)oux=0 B @x 1... x n1 C

Aun vecteurx2E(n=2 ou 3).

Six;y2Ealorsa)xy=nX

i=1x

iyi=x1y1+xnyn.b)kxk=qx21++x2n.c)sin=3,x^y= (x2y3x3y2;x3y1x1y3;x1y2x2y1).SommaireEntrées canoniques7DocumentsExemplesExercices

chapitre suivantI1 Intégrales curvilignes1.1 Notions sur les arcs paramétrés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.2 Circulation d"un champ de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16SommaireEntrées canoniques8DocumentsExemplesExercices

Nchapitresection suivanteI1.1 Notions sur les arcs paramétrés1.1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101.1.2 Premières définitions et propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.1.3 Arcs orientés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.1.4 Points particuliers et tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141.1.5 Longueur d"un arc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15SommaireEntrées canoniques9DocumentsExemplesExercices

Nsectiongrain suivantIDéfinitionnotion clé :

Arc paramétréExemples:exemple A.1.1exemple A.1.2exemple A.1.3Définition 1.Soit E un espace vectoriel normé (e.v.n.) de dimension 2 ou 3. Soit I un intervalle deIR

non vide et non réduit à un point. Un arc paramétré de classe Ckest une application de classe C kde I dans E notée I!E t7! (t). (t) = ( 1(t);

2(t))(resp.

(t) = ( 1(t); 2(t);

3(t))) est un arc paramétré deIR2

(resp.IR3).

(I)est appelésupport de l"arc paramétré.SommaireEntrées canoniques10DocumentsExemplesExercices

NsectionJgrain précédentgrain suivantIPremières définitions et propriétésnotion clé : Points et arcsExercices:exercice B.1.1Définition 2.m est appelépoint simplede (I)si il existe un unique tm2I tel que m= (tm).

Un pointmultipleest un point qui n"est pas simple.Définition 3.Un arc est ditsimplesi tous les points sont simples (i.e. si

est injective).Définition 4.Un arc est ditfermési (a) =

(b).Définition 5.Un arc fermé est ditfermé simplesi I est de la forme[a;b]( fermé borné),

(a) = (b) et la restriction de à l"intervalle[a;b[est injective.SommaireEntrées canoniques11DocumentsExemplesExercices NsectionJgrain précédentgrain suivantIArcs orientésnotion clé :

Arcs équivalentsDans les exemplesA.1.1etA.1.2, les supports des deux arcs paramétrés sont les "

mêmes ". Mathématique, on traduit ce constat par la définition suivanteDéfinition 6.Soient(I;

)et(J;)deux arcs paramétrés.

On dit que les deux arcs sontCkéquivalentssii)

etsont de classe Ck.ii)Il existe une bijection:I!J de classe Ckainsi que sa réciproque telle que

est appeléchangement de paramètre.Remarque 1.1.est donc nécessairement strictement monotone car est bijectif.Définition 7.OnappellearcgéométriquedeclasseCkl"ensembledesarcsparamétrésCkéquivalents.

On le note:

Les représentants desont appelésarcs paramétrés admissibles(ou représentations

admissibles).Définition 8.Soitun arc géométrique de classe Ckk1.IIISommaireEntrées canoniques12DocumentsExemplesExercices

Soit( 1;

2)22donc il existetel que

1= 2donc

01(t) =

02((t))0(t).

On dit que

1et

2sont demême sens(oupositivementCkéquivalents)si0(t)>0

, et desens contraire(ounon-positivementCkéquivalents)si0(t)<0.

On note+=f(I;

)2tel que estpositivementCkéquivalent}.

On note=f(I;

)2tel que

estnon-positivementCkéquivalent}.Remarque 1.2.étant strictement monotone, il suffit de vérifier le signe de0pour un

point quelconque de I:Lemme 1.1.Pour qu"un arc géométrique admette deux orientations, il suffit qu"il possède au moins

deux points simples.JJJSommaireEntrées canoniques13DocumentsExemplesExercices NsectionJgrain précédentgrain suivantIPoints particuliers et tangentenotion clé :

Régulier, stationnaire,

tangenteExemples:exemple A.1.4Définition 9.Soit une paramétrisation dearc géométrique de classeCk;(k0):i)Un point simple m= (tm)de (I)est ditréguliersi

0(t)6=0.

L"arc est régulier si tous ces points simples sont réguliers.ii)Un point simple m= (tm)de (I)est ditstationnairesi

0(t) =0.Remarque 1.3.Ces définitions sont indépendantes du choix de la paramétrisation.Définition 10.On appelletangenteau point m la droite passant par m et de vecteur directeur

0(tm).Définition 11.Soit(I;

)un arc régulier. On appellevecteur tangent unitairela quantité T(t) = (t)k

0(t)k.

T(t)est dirigé dans le sens de l"orientation de l"arc(I; ).SommaireEntrées canoniques14DocumentsExemplesExercices NsectionJgrain précédentLongueur d"un arcnotion clé :

Longueur d"un arcExercices:exercice B.1.2exercice B.1.3Documents:document C.1.1Définition 12.Soit(I;

)un arc paramétré de classeCk;(k1).

On appelle longueur de l"arc

, le réel positifnoté L défini par L (I) =Z I k

0(t)kdt(1.1)En particulier, si(I;

)est un arc paramétré deIR2alors L (I) =Z Iq

01(t)2+

02(t)2dt

De même, si(I;

)est un arc paramétré deIR3alors L (I) =Z Iq

01(t)2+

02(t)2+

03(t)2dtSommaireEntrées canoniques15DocumentsExemplesExercices

NchapitreJsection précédente1.2 Circulation d"un champ de vecteurs1.2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171.2.2 Calcul pratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.2.3 Champ dérivant d"un potentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.2.4 Formule de Green-Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22SommaireEntrées canoniques16DocumentsExemplesExercices

Nsectiongrain suivantIDéfinitionnotion clé :

Champ de vecteurs et

circulationExemples:exemple A.1.5Documents:document C.1.2Définition 13.SoitA E; espace affine réel de dimension fini attaché à un espace vectoriel E.

Un champ de vecteurs surAest une application deAdansE.Remarque 1.4.l"application(x;y)2IR27!sin(x)cos(y);x2est un champ de vec-

teurs deIR2.Définition 14.Soient V un champ de vecteur continu surAet(I= [a;b]; )un arc paramétré de classeCktel que ([a;b]) A. On appellecirculationou (travail) de V relative à , le réel défini par Z b a V( (t))

0(t)dt(1.2)SommaireEntrées canoniques17DocumentsExemplesExercices

NsectionJgrain précédentgrain suivantICalcul pratiquenotion clé :

Calcul du travail d"un

champ de forceExercices:exercice B.1.4exercice B.1.5Point de vue physique

SoientA=

(a),B= (b)deuxpointsdeIR3etV(x;y;z) = (P(x;y;z);Q(x;y;z);R(x;y;z)) un champ de vecteur. (t) = (x(t);y(t);z(t)).

AlorsRb

aV( (t))

0(t)dtest letravail totalproduit par le champ de forceVlorsque

une particule se déplace du pointAau pointBle long de la trajectoire paramétrée par et ce travail est noté W yAB(V) =Rb aV( (t))

0(t)dt

=R y

ABPdx+Qdy+Rdz

Rappel :WyAB(V) =WyBA(V)

Méthodologie: calculer le travail deVle long du segment curviligneyAB(donc orienté).1.a)Déterminer une paramétrisation([a;b]; )de l"arc orienté.IIISommaireEntrées canoniques18DocumentsExemplesExercices b)Vérifier si cette paramétrisation est compatible avec l"orientation imposée par l"énoncé.c)Si la paramétrisation est compatible avec l"orientation alors W yAB(V) =Z b a V( (t))

0(t)dt(1.3)d)Si la paramétrisation n"est pas compatible alors

W yAB(V) =Z b a V( (t))

0(t)dt(1.4)e)Calculer une intégrale simple.2.En utilisant la seconde formule, il suffit simplement d"" intégrer " la forme diffé-

rentielle !=Pdx+Qdy+RdzJJJSommaireEntrées canoniques19DocumentsExemplesExercices NsectionJgrain précédentgrain suivantIChamp dérivant d"un potentielnotion clé :

Potentiel et travailExercices:exercice B.1.6exercice B.1.7Définition 15.Soit U un champ de vecteur continûment dérivable.

On dit que Udérived"unpotentielf si U=rf.Remarque 1.5.Si U dérive d"un potentiel alorsrotU=rot(rf) =0d"après le do-

cumentC.1.2.Théorème 1.1.Soit U un champ de vecteur dérivant d"un potentiel f.

Alors, on a :

W yAB(U) =f(B)f(A)Démonstration.On suppose que la paramétrisation [a;b]; (t) = (x(t);y(t);z(t)) est compatible avec l"orientation du segment curviligne yAB. CommeU=rf, on a d"après la formule (1.3),IIISommaireEntrées canoniques20DocumentsExemplesExercices U( (t))

0(t) =@f@xx(t);y(t);z(t)x0(t) +@f@y(x(t);y(t);z(t))y0(t)

@f@z(x(t);y(t);z(t))z0(t) dfdtx(t);y(t);z(t)

Donc on obtient

W yAB(U) =Z b adfdtx(t);y(t);z(t)dt =f(x(b);y(b);z(b))f(x(a);y(a);z(a))

=f(B)f(A)(1.5)Remarque 1.6.i)Si U dérive d"un potentiel alors son travail ne dépend pas du chemin suivi pour

aller de A vers B.ii)Si la courbe est fermée alors son travail est nul (car A=B).JJJSommaireEntrées canoniques21DocumentsExemplesExercices

NsectionJgrain précédentFormule de

Green-Riemannnotion clé :

Green-Riemann, Calcul

d"aireExercices:exercice B.1.8exercice B.1.9La formule de Green-Riemann permet de ramener, dans certains cas, une intégrale

double en une intégrale curviligne sur la courbe qui délimite le domaine d"intégration.DFigure 1.1 - DomaineDet sa frontière orientée+Théorème 1.2.Soit D une partie deIR2limitée par+un arc géométrique simple fermé orienté dans

le sens direct (figure1.1). Soient P et Q deux fonctions de classeC1sur D.IIISommaireEntrées canoniques22DocumentsExemplesExercices

Alors, on a

ZZ D @Q@x(x;y)@P@y(x;y) dxdy=Z +Pdx+Qdy(1.6)Lemme 1.2.Soit D un domaine deIR2.

Aire de D=ZZ

D dxdy(1.7)=Z +xdy(1.8)=Z +ydx(1.9)=12Z

+xdyydx(1.10)Démonstration.On obtient ces résultats en posantP(x;y) =y;Q(x;y) =0 ouP(x;y) =0;Q(x;y) =

xdans la formule (1.6).JJJSommaireEntrées canoniques23DocumentsExemplesExercices

Jchapitre précédent2 Intégrales de surfaces2.1 Notions sur les surfaces paramétrés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252.2 Flux d"un champ de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322.3 Théorèmes intégraux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35SommaireEntrées canoniques24DocumentsExemplesExercices

Nchapitresection suivanteI2.1 Notions sur les surfaces paramétrés2.1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262.1.2 Définition : plan tangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.1.3 Aire d"une surface non plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30SommaireEntrées canoniques25DocumentsExemplesExercices

Nsectiongrain suivantIDéfinitionnotion clé :

Nappe et surfaceExemples:exemple A.2.1exemple A.2.2exemple A.2.3Eest un espace affine de dimension 3 attaché à l"espace vectorielE. On identifieE

àEpar le choix d"une origine.

De la même manière que pour les arcs paramétrés, on définit la notion de nappe para-

métrée comme suitDéfinition 16.Soit D un domaine (i.e. on peut mesure son aire qui est supposée finie) deIR2.

Unenappe paramétréede classeCk(k0) deEest une application de classeCk: :D! E.

On appellesurfacel"image parde D et notée = (D).SommaireEntrées canoniques26DocumentsExemplesExercices

NsectionJgrain précédentgrain suivantIDéfinition : plan tangentnotion clé :

Plan tangent et vecteur

normalExemples:exemple A.2.4Exercices:exercice B.2.1Documents:document C.2.1Définition 17.Soitunesurfacedéfinieparuneparamétrisation :D! Edifférentiableen(u0;v0).

(u;v) =0 @x= 1(u;v) y= 2(u;v) z= 3(u;v)1 A

Silesvecteurs

0 B

BBBBBBB@@1@u(u0;v0)

@2@u(u0;v0) @3@u(u0;v0)1 C

CCCCCCCAet0

BBBBBBB@@1@v(u0;v0)

@2@v(u0;v0) @3@v(u0;v0)1 C alors il existe un plan P M0tangent à la surfaceen M0= (u0;v0)qui est caractérisé par P M0=

M2 E;P= (u0;v0) +@@u(u0;v0)(uu0) +@@v(u0;v0)(vu0)IIISommaireEntrées canoniques27DocumentsExemplesExercices

Remarque 2.1.P est paramétré par le développement d"ordre 1 deen(u0;v0).Définition 18.(Avec les notations de la définition17).

Lanormale à la surfaceau point M est la droite affine passant par ce point et perpen- diculaire au plan tangent.

Unvecteur directeurest

N=0 B

BBBBBBB@@1@u

@2@u @3@u1 C

CCCCCCCA^0

BBBBBBB@@1@v

@2@v @3@v1 C

CCCCCCCA(2.1)

Un vecteur directeurunitaireest

n=NkNk(2.2)Remarque 2.2.a)De la même manière que pour la tangente d"un arc géométrique, il existe deux

vecteurs normaux à une surface N(u;v)etN(u;v).b)L"orientation de la surface est déterminée par un champ continu de normales

qui induisent ainsi une face pour la surface. Un paramétrage de la surface seraJJJIIISommaireEntrées canoniques28DocumentsExemplesExercices

compatible avec l"orientation si la normale qu"il génère coïncide avec le choix de la normale fixant l"orientation. Pour une surface fermée, on considére le champ

de normales "sortant". (Voir DocumentC.2.1).JJJSommaireEntrées canoniques29DocumentsExemplesExercices

NsectionJgrain précédentAire d"une surface non planenotion clé :

Aire d"une surface non

planeExercices:exercice B.2.2On a vu (formule (1.7)) que si la surfaceDest plane (par exemple dans le planxOy)

alors son aire est définie par

Aire deD=ZZ

D dxdy(2.3) Soit maintenant une surface(non plane) alors son aire est donnée par le théorème

suivantThéorème 2.1.Soitune surface non plane définie par une paramétrisationdifférentiable :

4 !IR3.

Notons T

uet Tvles vecteurs définis par T u(u;v) =0 B

BBBBBBB@@1@u(u;v)

@2@u(u;v) @3@u(u;v)1 C

CCCCCCCAet T

v(u;v) =0 B

BBBBBBB@@1@v(u;v)

@2@v(u;v) @3@v(u;v)1 C CCCCCCCAIIISommaireEntrées canoniques30DocumentsExemplesExercices

Alors l"aire devaut

Aire de =Z

4 kTu(u;v)^ jTv(u;v)kdudv(2.4)JJJSommaireEntrées canoniques31DocumentsExemplesExercices

NchapitreJsection précédentesection suivanteI2.2 Flux d"un champ de vecteurs2.2.1 Flux et intégrale de surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33SommaireEntrées canoniques32DocumentsExemplesExercices

NsectionFlux et intégrale de

surfacenotion clé :

Flux, intégrale de surfaceExercices:exercice B.2.3exercice B.2.4Le flux d"un champ de vecteurs à travers une surface est fondamental dans diverses

domaines. Pour différencier un flux "rentrant" d"un flux "sortant", l"orientation de la

surfaceest fondamentale.Définition 19.Soient+une surface orienté régulière etune paramétrisation de = (4).

Soit V un champ de vecteurs deIR3continu.

On appelleflux du champV à travers+, le nombre notéZZ +Vdet défini par ZZ +Vd=ZZ 4

V((x;y))n(x;y)dxdy(2.5)où n est le champ de normale unitaire défini en (2.2).Lemme 2.1.Soitune surface définie par l"équationfz=f(x;y);(x;y)2Dgoù f est différen-

tiable.IIISommaireEntrées canoniques33DocumentsExemplesExercices

Alors le flux de V à travers+est

ZZ +Vd="ZZ D

V(x;y;f(x;y))

@f@x(x;y);@f@y(x;y);1

dxdy(2.6)où"=1si le vecteur normal est orienté vers les z croissants,"=1sinon.JJJSommaireEntrées canoniques34DocumentsExemplesExercices

NchapitreJsection précédente2.3 Théorèmes intégraux2.3.1 Théorème de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .362.3.2 Théorème d"Ostrogradski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37SommaireEntrées canoniques35DocumentsExemplesExercices

Nsectiongrain suivantIThéorème de Stokesnotion clé :

StokesExercices:exercice B.2.5Théorème 2.2.Soient+une surface orientée par le choix d"un champ de normales et+le bord

fermé de+, orienté de manière cohérente avec+(règle du tire-bouchon de Maxwell (figure2.1). Soit V un champ de vecteurs deIR3continument différentiable, de composantes respec- tives V

1;V2et V3.

Alors le flux du rotationnel de V à travers la surface+est égal à la circulation de V le long de l"arc+i.e ZZ +rotVd=Z +V

1dx+V2dy+V3dz(2.7)SommaireEntrées canoniques36DocumentsExemplesExercices

NsectionJgrain précédentThéorème

d"Ostrogradskinotion clé :

Ostrogradski, volumeExercices:exercice B.2.6exercice B.2.7Théorème 2.3.SoitVun domaine deIR3limité par une surface fermée+orientée vers l" " extérieur

" deV.

Soit V un champ de vecteurs de classeC1.

Alors l"intégrale de la divergence de V dansVest égale au flux de V à travers la surface +i.e. ZZZ V divV dxdydz=ZZ +Vd(2.8)Lemme 2.2.(Avec les notations précédentes)

Volume(V) =ZZZ

V dxdydz=ZZ +zdxdySommaireEntrées canoniques37DocumentsExemplesExercices

G+G-Figure 2.1 - Régle du tire-bouchon de MaxwellSommaireEntrées canoniques38DocumentsExemplesExercices

Deuxième partie

Les annexesSommaireEntrées canoniques39DocumentsExemplesExercices

Annexe A

Les exemples

Table des exemplesA.1 : Exemples du chapitre 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42Exemple A.1.1 : Arc paramétré dans le plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42Exemple A.1.2 : Arc paramétré dans le plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43Exemple A.1.3 : Arc paramétré dans l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44Exemple A.1.4 : Orientation et tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45Exemple A.1.5 : Circulation d"un champ de IR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46A.2 : Exemples du chapitre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47Exemple A.2.1 : La sphère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47SommaireEntrées canoniques40DocumentsExemplesExercices

Exemple A.2.2 : Le parapluie de Whitney. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48Exemple A.2.3 : Equation cartésienne d"une surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49Exemple A.2.4 : Equation cartésienne du plan tangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50SommaireEntrées canoniques41DocumentsExemplesExercices

JprécédentsuivantIA.1 Exemples du chapitre 1quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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Version 1.0

Première partie

Aun vecteurx2E(n=2 ou 3).

Six;y2Ealorsa)xy=nX

2(t))(resp.

3(t))) est un arc paramétré deIR2

On dit que les deux arcs sontCkéquivalentssii)

On le note:

2)22donc il existetel que

01(t) =

02((t))0(t).

On dit que

2sont demême sens(oupositivementCkéquivalents)si0(t)>0

On note+=f(I;

On note=f(I;

Régulier, stationnaire,

0(t)6=0.

0(t) =0.Remarque 1.3.Ces définitions sont indépendantes du choix de la paramétrisation.Définition 10.On appelletangenteau point m la droite passant par m et de vecteur directeur

0(tm).Définition 11.Soit(I;

0(t)k.

On appelle longueur de l"arc

0(t)kdt(1.1)En particulier, si(I;

01(t)2+

02(t)2dt

De même, si(I;

01(t)2+

02(t)2+

03(t)2dtSommaireEntrées canoniques15DocumentsExemplesExercices

Champ de vecteurs et

0(t)dt(1.2)SommaireEntrées canoniques17DocumentsExemplesExercices

Calcul du travail d"un

SoientA=

AlorsRb

0(t)dtest letravail totalproduit par le champ de forceVlorsque

0(t)dt

ABPdx+Qdy+Rdz

Rappel :WyAB(V) =WyBA(V)

0(t)dt(1.3)d)Si la paramétrisation n"est pas compatible alors

0(t)dt(1.4)e)Calculer une intégrale simple.2.En utilisant la seconde formule, il suffit simplement d"" intégrer " la forme diffé-

Alors, on a :

0(t) =@f@xx(t);y(t);z(t)x0(t) +@f@y(x(t);y(t);z(t))y0(t)

Donc on obtient

NsectionJgrain précédentFormule de

Green-Riemannnotion clé :

Green-Riemann, Calcul

Alors, on a

Aire de D=ZZ

àEpar le choix d"une origine.

Plan tangent et vecteur

Silesvecteurs

BBBBBBB@@1@u(u0;v0)

CCCCCCCAet0

BBBBBBB@@1@v(u0;v0)

Unvecteur directeurest

BBBBBBB@@1@u

CCCCCCCA^0

BBBBBBB@@1@v

CCCCCCCA(2.1)

Un vecteur directeurunitaireest

Aire d"une surface non

Aire deD=ZZ

4 !IR3.

Notons T

BBBBBBB@@1@u(u;v)

CCCCCCCAet T

BBBBBBB@@1@v(u;v)

Alors l"aire devaut

Aire de =Z

NsectionFlux et intégrale de

Soit V un champ de vecteurs deIR3continu.

Alors le flux de V à travers+est

V(x;y;f(x;y))

1;V2et V3.

1dx+V2dy+V3dz(2.7)SommaireEntrées canoniques36DocumentsExemplesExercices

NsectionJgrain précédentThéorème

Soit V un champ de vecteurs de classeC1.

Volume(V) =ZZZ

Deuxième partie

Annexe A