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La surface libre d'un liquide est soumise à la pression atmosphérique un cercle car il est perpendiculaire au plan de la figure, orienté comme « entrant dans le

Chapitre 12

CONIQUES

Enoncé des exercices

1Les basiques

Exercice 12.1Dans le plan muni d"un repère orthonormé?

O,-→i ,-→j?

,soitCla conique de foyerF: (1,-1)de directriceD:x= 5et d"excentricitée=1 3.

1. Déterminer la nature deC(ellipse, hyperbole, parabole), l"axe focal, les coordonnées des sommets principauxA

etA ?, secondairesBetB?, du centreΩ, du second foyerF?et la seconde directriceD?.

2. Préciser l"équation deCdans le repère?

O,-→i ,-→j?

et les coordonnées des points d"intersection avec les axes.

Exercice 12.2SoientAetBdeux points distincts du plan,Ile milieu de[A,B].Déterminer l"ensemble des points

Mdu plan tels queMI

2=MA×MB. (On peut supposer que la distanceABvaut2).

Exercice 12.3SoitEune ellipse de foyerF,une droiteDpassant parFcoupeEen deux pointsMetM?. Que dire de1 FM+1FM?? (Le pointFa un rôle particulier, quelle représentation deEchoisir?)

Exercice 12.4SoitEun ellipse de foyerF,F?et de centreO. On noteala longueur du demi grand axe etc=OF.

Montrer que

M? E ??MF×MF

?+OM2= 2a2-c2 (C"est la définition trifocale de l"ellipse).

Exercice 12.5SoitCun cercle de centreOetA? C. PourM? C, on construit le projetéNsur le diamètre

perpendiculaire à(OA)etI= (OM)∩(AN). Lieu deIquandMdécritC(chercher l"équation polaire).

Exercice 12.6Soita,bdeux réels tels que0< a < b.Pour toutt /? {a,b}on considère la courbeCtd"équation

x 2 a-t+y 2 b-t= 1

1. Quelle est la nature deC

t? Montrer que siCtest une conique, ces foyers ne dépendent pas det.

2. Montrer que siC

tetCu, pourt?=u, se coupent enM, alors elles sont orthogonales (i.e. les tangentes enMà C tet àCusont orthogonales).

Exercice 12.7SoitEune ellipse de centreO,soitMsurE, on noteM?le symétrique deMpar rapport à l"axe focal.

La normale àMcoupe (en général) la droite(OM ?)en un unique pointP. Quel est le lieu dePlorsqueMdécritE?

Exercice 12.8SoitCetC?deux cercles tels queC?soit inclus dansC. Montrer que le lieu des centres des cercleΓ

tangents àCetC ?est inclus dans une ellipse (On admet la réciproque). Préciser comment construire les sommets principaux.

2. LES TECHNIQUESCHAPITRE 12. CONIQUES

Exercice 12.9Soitα?R, dans le plan muni d"un repère orthonormé direct, on considère l"ensembleCαdes points

Mde coordonées?x

y? telles que x

2+y2+ 2αxy-1 = 0

1. Discuter en fonction deαdu genre de la conique.

2. Préciser l"ensembeC

3. Préciser les ensembleC

1etC-1.

4. On considère le repèreR

θ= (O,-→u ,-→v)obtenu par rotation d"angleθdeR,on note?X Y? les coordonnées de

Mdans ce repère. Comment choisirθ??0,

2 ?pour que le terme enXYde l"équationC

αdans ce repère soit

nul? Quel est alors l"équation deC

5. En déduire les paramètresa,b,cetelorsqueα=1

2etα= 2.

Exercice 12.10On se place en repère orthonormé, soitCla conique d"axes parallèles aux axes du repère, de centre

C: (2,4), tangente à la droitey= 1et passant par le point de coordonnées?

2 +⎷

20 3,6? .Donner une équation de cette conique, sa nature, préciser son excentricitée.

Exercice 12.11Réduire la coniqueCd"équationx2+⎷3xy+x= 2(Nature, centre, angle que fait l"axe focal avec

Ox).

2Les techniques

Exercice 12.12Soit(E)une ellipse de centreO,MetM?deux points de l"ellipse tels que(OM)?(OM?), montrer

que1 OM2+1OM?2est une constante qui ne dépend ni deM, ni deM?.

Exercice 12.13SoitPune parabole de paramètrepetMun point dePdistinct du sommet. Montrer que la normale

enMàPrecoupePen un autre pointN. Calculer le minimum de la distanceMNlorsqueMdécritP. Construire

les points qui réalisent le minimum.

Exercice 12.14SoitPune parabole. On considère une droiteDnon parallèle à l"axe focal, qui coupePen deux

pointsM

1etM2. On suppose queDn"est pas la normale àP,ni enM1,ni enM2. On trace les normales enM1et

enM

2àP. Montrer que ces normales se coupent en un point dePsi et seulement siDpasse un point fixe de l"axe

focal.

Exercice 12.15Déterminer le lieu des points d"où l"on peut mener deux tangentes perpendiculaires à une parabole

Montrer que dans ce cas le segment reliant les points de contact entre les deux tangentes et la parabole passe par le

foyer de celle ci. Exercice 12.16SoitCune ellipse ou une hyperbole d"équation réduitex 2 a2+εy 2 b2= 1oùε2= 1, soitDune droite

variable d"équation normalecosθx+ sinθy=p(θ); donner une condition surp(θ)pour queDsoit tangente àC. En

déduire que le lieu des points d"où l"on peut mener deux tangentes perpendiculaires àCest inclus dans un cercle (dit

cercle de Monge de la conique, ou orthoptique de la conique).On admet la réciproque. Exercice 12.17SoitPune parabole etAun point, une droiteDvariable passant parAcoupeDen deux pointsM1

etM2.Montrer que le lieu du point d"intersection des tangentes àPenM1etM2est une droite. Que dire de cette

droite siAest sur l"axe focal de la parabole, siAest le foyer?

Exercice 12.18SoitPune parabole, une corde focale variable coupe la parabole endeux pointsM1etM2.Montrer

que le cercle de diamètre[M

1,M2]est tangent à la directrice. Quel est le lieu du centre de ce cercle?

-2/40-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

CHAPITRE 12. CONIQUES2. LES TECHNIQUES

Exercice 12.19SoitCla conique d"équation polairer=p1 +ecosθ,M0un point de deCde coordonnées polaires

0,θ0).Donner l"équation polaire de la tangente enM0.

Exercice 12.20Attention! Excercice très long!!!!

SoitE:x

2 a2+y 2 b2= 1une ellipse. A quelle condition le cercleCde centreOpassant par le foyerF: (c,0)coupe-t-ilE?

Dans ce casC ∩ Eest composé de quatre points, si on paramétre un des points d"intersection parM: (acosθ,bsinθ),

exprimer l"excentricitéedeEen fonction deθ.SoitM

0le point d"intersection à coordonnées positives, la tangente en

0coupe le cercle principal enPetQ.Montrer queOPQest rectangle enO.

Exercice 12.21On considère la parabolePd"équationy=x2+ 2x-1et l"hyperboleHd"équation2x2-y2+ 1 = 0

dans un repère orthonormé.

1. Montrer que ces deux coniques se coupent en quatre points.

2. Montrer que ces points sont sur un même cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

Exercice 12.22SoitMun point situé sur un quart d"ellipse. La tangente enMcoupe les axes principaux et secon-

daires enPetQ(cf schéma). Calculer le minimum dePQet les coordonnées deMréalisant le minimum.

Exercice 12.23On considère le schéma suivant :PQest un diamètre de l"ellipseE, la droiteDest tangente enM

-3/40-

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3. LES EXOTIQUESCHAPITRE 12. CONIQUES

à l"ellipse et parallèle à(PQ)et le cercle est tangent àEet à(PQ).

Montrer quePQ×r=ab.

Exercice 12.24 (Oral Mines-Ponts)SoitEune ellipse de centreO,AetBdeux points deEnon alignés avecO,

les tangentes enAetBse coupent enM. Montrer queM,Oet le milieuIde[A,B]sont alignés.

Exercice 12.25SoitEune ellipse, pourM? Edifférent des sommets, la normale enMcoupe le grand axe enCet

le petit axe enC

?. Montrer que le milieu de[C,C?]décrit également une ellipse (privée des sommets). Calculer son

excentricité en fonction de celle deE.

3Les exotiques

Exercice 12.26SoitEl"ellipse d"équationx

2 9+y 2

4= 1en repère orthonormé et de foyersFetF

?,on suppose que le pointPdeEvérifiePF= 2PF ?.Calculer l"aire du triangleFPF?. Combien existe-t-il de pointsPsatisfaisant à la condition donnée? Donner leurs coordonnées.

Exercice 12.27Soientaetbdeux réels non nuls, on considère la coniqueCd"équationbx2+ay2=abet la droiteD

d"équationax-y+b= 0.Parmi les graphes suivant, lesquels vous semblent possibles?

Exercice 12.28On considère une parabolePet deux cerclesC1etC2centrés sur l"axe focal, bitangents àPet tangents

-4/40-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

CHAPITRE 12. CONIQUES4. LE GRENIER

entre eux extérieurement. Quelle relation relie les rayonsde ces deux cercles?

Si l"on construit une chaîne de cercles tangents entre eux deux à deux, centrés sur l"axe et bitangents àP, que dire de

la suite des rayons?

Exercice 12.29On construit une chaîne de carrés inscrits dans une parabolecomme indiqué sur la figure ci dessous :

Quelle relation vérifie la suite des longeurs des côtés des carrés?

4Le Grenier

Exercice 12.30Dans le plan une droite variable passant par un point fixeAcoupe une parabole en deux points points

1etM2,les tangentes en ces points à la parabole se coupe enN.Montrer queNdécrit une droite, et que cette droite

est perpendiculaire à l"axe de la parabole siAest sur l"axe. Exercice 12.31Montrer que l"arc paramétré par( (t 2

1 +t22t

1 +t2 )est une ellipse, en donner les éléments caractéristiques. -5/40-

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4. LE GRENIERCHAPITRE 12. CONIQUES

Exercice 12.32SoitDune droite etMun point n"appartenant pas àD, quel est le lieu des foyers des paraboles de

directricesDpassant parM.

Exercice 12.33Discuter en fonction du paramètrem, la nature géométrique de l"ensembleCmdes points du plan tels

que (m+ 1)x

2+ (2m-1)y2+ 2mx+m2= 0

Exercice 12.34SoitEune ellipse, on noteBun des sommets secondaires. SoitMun point deE, la médiatrice de

[B,M]coupe l"axe focal en un pointP,on noteNle symétrique du centreOde l"ellipse par rapport àP.Montrer que

Nest l"intersection de la normale àMavec l"axe focal (Ceci donne un procédé de construction de latangente enM).

SoitCun cercle centré sur l"axe focal deEet bitangent à l"ellipse enMetM ?, symétrique deMpar rapport à l"axe focal. Montrer queM,M ?,BetB?(l"autre sommet secondaire) sont sur un même cercle centré enN. Sirest le rayon de ce cercle alorsON 2=c 2 b2 ?b2-r2?. Exercice 12.35Tracerρ2(θ) =1sin2θ(rép : on aρ

2sin2θ= 2ρcosθ×ρsinθce qui donne2xy= 1,hyperbole)

Exercice 12.36Tracerρ(θ) =1cosθ+1sinθ(rép : cela donneρ=ρρcosθ+ρρsinθsoit en simplifiant parρqui n"est

jamais nul1 =1 x+1y=?x+y=xy) Exercice 12.37Tracerρ=31 + 2(cosθ+ sinθ)(conique) Exercice 12.38Tracerρ=24 +⎷3sinθ+ cosθ Exercice 12.39Soitkun paramètre réel, on considère, dans le repère orthonormé?

O,-→i ,-→j?

,la coniqueCkd"équa- tion x

2+y2-2kxy+ 2(kx-y) = 0

Donner ses éléments caractéristiques.

Exercice 12.40 (Shibaura Institute of Technology , examen d"entrée 2008)SoitEl"ellipse d"équationx

2 a2+ y 2 b2= 1où0< b < a, etMle point d"abscissea2dont l"ordonnée est positive.

1. Donner l"équation de la tangenteLenMàE.

(Réponse : x

2a+y⎷

2b= 1soitx= 2a-ab⎷3y, car l"ordonnée deMest⎷3

2b)

2. SoitSla surface délimitée parE,Let l"axe des abscisses, calculer l"aire deSen fonction deaetb.

(Réponse : dans le quart de planx≥0ety≥0, l"ellipse a pour équationx=a? 1-y 2 b2. AinsiS= ⎷3b 2 0? 2a-a b⎷3y-a?1-y2 b2 dy. Le calul de?⎷3b 2 0? 1-y2 b2dyse fait en posantyb= sinupour obtenir ?⎷3b 2 0? 1-y2 b2dy=b? 3

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Chapitre 12

CONIQUES

Enoncé des exercices

1Les basiques

O,-→i ,-→j?

1. Déterminer la nature deC(ellipse, hyperbole, parabole), l"axe focal, les coordonnées des sommets principauxA

2. Préciser l"équation deCdans le repère?

O,-→i ,-→j?

Mdu plan tels queMI

2=MA×MB. (On peut supposer que la distanceABvaut2).

Montrer que

M? E ??MF×MF

1. Quelle est la nature deC

2. Montrer que siC

2. LES TECHNIQUESCHAPITRE 12. CONIQUES

Mde coordonées?x

2+y2+ 2αxy-1 = 0

1. Discuter en fonction deαdu genre de la conique.

2. Préciser l"ensembeC

3. Préciser les ensembleC

1etC-1.

4. On considère le repèreR

Mdans ce repère. Comment choisirθ??0,

αdans ce repère soit

5. En déduire les paramètresa,b,cetelorsqueα=1

2etα= 2.

2 +⎷

2Les techniques

1etM2. On suppose queDn"est pas la normale àP,ni enM1,ni enM2. On trace les normales enM1et

2àP. Montrer que ces normales se coupent en un point dePsi et seulement siDpasse un point fixe de l"axe

1,M2]est tangent à la directrice. Quel est le lieu du centre de ce cercle?

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CHAPITRE 12. CONIQUES2. LES TECHNIQUES

0,θ0).Donner l"équation polaire de la tangente enM0.

SoitE:x

0le point d"intersection à coordonnées positives, la tangente en

0coupe le cercle principal enPetQ.Montrer queOPQest rectangle enO.

1. Montrer que ces deux coniques se coupent en quatre points.

2. Montrer que ces points sont sur un même cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

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3. LES EXOTIQUESCHAPITRE 12. CONIQUES

Montrer quePQ×r=ab.

3Les exotiques

Exercice 12.26SoitEl"ellipse d"équationx

4= 1en repère orthonormé et de foyersFetF

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CHAPITRE 12. CONIQUES4. LE GRENIER

4Le Grenier

1etM2,les tangentes en ces points à la parabole se coupe enN.Montrer queNdécrit une droite, et que cette droite

1 +t22t

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4. LE GRENIERCHAPITRE 12. CONIQUES

2+ (2m-1)y2+ 2mx+m2= 0

2sin2θ= 2ρcosθ×ρsinθce qui donne2xy= 1,hyperbole)

O,-→i ,-→j?

2+y2-2kxy+ 2(kx-y) = 0

Donner ses éléments caractéristiques.

1. Donner l"équation de la tangenteLenMàE.

2a+y⎷

2b= 1soitx= 2a-ab⎷3y, car l"ordonnée deMest⎷3

2. SoitSla surface délimitée parE,Let l"axe des abscisses, calculer l"aire deSen fonction deaetb.

0cos2udu=b?16π+18⎷3?

S=ab3⎷

3-π

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CHAPITRE 12. CONIQUES4. LE GRENIER

3. Calculer le maximum deSsachant quea2+ 3b2= 4.

Réponse : Sia=⎷

6⎷3. Orx(4-x)est maximum lorsquex= 2(au

3-π

3⎷3= 1-π3⎷3

2= 2eta2= 2, i.ea=⎷2etb=?2

Exercice 12.41Réduire la conique d"équation

2+y2?-2sh(t)xy+etcos(t)(x-y) +e