L'aire de la zone de baignade est alors AD × AB = 25 × 110 soit une aire de 2750 m2 2 = 80 Ainsi, la distance AD varie entre 0 m et 80 m b) Si AD = a, alors la longueur AB de la zone de baignade est égale `a 160 − 2 × AD = 160 − 2a m`etres
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Faire des mathématiques, c'est résoudre des problèmes » : c'est dit dans les programmes Oui, mais 3) Calculer l'aire de la zone de baignade A(x) pour x variant de 0 à 80, de 10 en 10 à une équation du second degré résolue
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SecondeOptimisation d"une aire - correction
Aire de Baignade
Le responsable d"un parc municipal, situ´e au bord d"une large rivi`ere, veut am´enager une aire de baignade surveill´ee de forme rectangu- laire. Il dispose d"un cordon flottant de160m de longueur et de deux bou´eesAetB. Probl`eme:on se propose de d´eterminer comment placer les bou´eesAetBpour que l"aire de baignade soit maximale. 1◦) Si la distanceADde la bou´eeA`a la rive est de25m, la longueurABest110m. En effet, la longueur totale
de la bou´ee est160m et deux cˆot´es du rectangle mesure25m. D"o`u la longueurAB= 160-2×25 = 110
(il n"y a pas de bou´ee sur la plage). L"aire de la zone de baignade est alorsAD×AB= 25×110soit une aire de2750m2. 2◦) a)AD?0carADest une distance. De plus, la longueur totale de la bou´ee est160m et on aAD=BC
donc la distance maximale deADest 1602= 80. Ainsi, la distanceADvarie entre0m et80m.
b) SiAD=a, alors la longueurABde la zone de baignade est ´egale `a160-2×AD= 160-2am`etres. `A l"aide d"un logiciel de g´eom´etrie dynamique4◦) D"apr`es la formule tap´ee dans la barre de saisie, on at=AD×AB.trepr´esente donc l"aire de la zone de
baignade. 6◦) L"aire de la zone de baignade est ´egale `a2400m2lorsquet= 2400. Cette valeur est atteinte lorsquea= 20
oua= 60. Ainsi, dans ces cas on aAD= 20m ouAD= 60m. 7 ◦) Par lecture graphique, on rep`ere la valeur detpour chaque valeur dex=a. a=AD(en m)01020304050607080Aire de la zone de baignade
(en m2)0140024003000320030002400140001/223 janvier 2017
http://mathematiques.ac.free.frSecondeOptimisation d"une aire - correction
8◦) La fonction d´efinie par l"aire de la zone de baignade en fonction deaest croissante sur[0 ; 40]puis
d´ecroissante sur[40 ; 80]. AD=aAire de la zone de
baignade0 40 80 32000 0
D"apr`es le tableau de variation pr´ec´edent, on peut dire quele maximum de l"aire de la zone de baignade
est atteint pourAD= 40m. R´epondre au probl`eme analytiquement(par le calcul)