L'estimateur obtenu par la méthode des moments est alors ˆθn = 2Xn Cet estimateur est sans bias et consistant 2 3 Loi gaussienne Ici k = 2, on prend θ = (m
méthode des moments et la méthode du maximum de vraisemblance Chapitre 6 Si X suit la loi normale standard N(0,1), alors la variable aléatoire Y = σX + µ
a:van t d'exposer l'estimation par la méthode de s moments et par la méthode &L Exemple : la fonction de densité de la loi normale à deux paramètres de
4 2 Intervalles de confiance pour les param`etres de la loi normale 52 ce principe d'estimation plus tard, sous le nom de méthode des moments
Construction d'estimateur par la méthode du maximum de vraisemblance 11 alors la loi normale N(m, σ2/n), ce qui confime que c'est un estimateur sans biais, convergent de m une variable aléatoire ayant un moment d'ordre 2, alors
a:van t d'exposer l'estimation par la méthode de s moments et par la méthode &L Exemple : la fonction de densité de la loi normale à deux paramètres de
vecteur de caractéristiques), dont la loi dépend d'un paramètre inconnu Ex : Pour la distribution normale N( , s), la moyenne et la médiane empiriques E-2 Estimation par la méthode des moments ✓ Estimateur des moments de θ :
Figure 4 7: Résultats résultat du test d'adéquation pour la loi normale b MXV= Maximum de vraisemblance, MOM=Méthode des moments, WRC=Méthode
En déduire l'estimateur ˆ λ3 de λ par la méthode du maximum de vraisemblance Exercice 3: Considérons (Y1, ,Yn) un n-échantillon de loi normale centrée en m
Soient θ > 0 et X une var suivant la loi de Bernoulli B ( 1 θ+1 ), i e dont la loi est donnée par P(X = 0) = θ θ + 1 , P(X = 1) = 1 θ + 1 1 Déterminer un estimateur de θ par la méthode des moments Est-ce qu'il est asymptotiquement normal ?
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0 5 10 15 x yPrincipes et Méthodes Statistiques
Notes de cours
Olivier Gaudoin
2
Table des matières
1 Introduction 7
1.1 Définition et domaines d"application de la statistique . . . . . . . . . . . 7
1.2 La démarche statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Objectifs et plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Statistique descriptive 13
2.1 Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Variables discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1.1. Variables qualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1.2. Variables quantitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Variables continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2.1. Histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2.2. Fonction de répartition empirique . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2.3. Les graphes de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Indicateurs statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 Indicateurs de localisation ou de tendance centrale . . . . . . . . 25
2.3.1.1. La moyenne empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1.2. Les valeurs extrêmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1.3. La médiane empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1.4. Caractérisation des indicateurs de localisation . . . . . . . 27
2.3.2 Indicateurs de dispersion ou de variabilité . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2.1. Variance et écart-type empiriques . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2.2. Les quantiles empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Estimation ponctuelle 33
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Méthodes d"estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 Définition d"un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 La méthode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2.1. L"estimateur des moments (EMM) . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2.2. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.3 La méthode du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . 36
3.2.3.1. La fonction de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.3.2. Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 TABLE DES MATIÈRES
3.2.3.3. L"estimateur de maximum de vraisemblance (EMV) . . . . 37
3.2.3.4. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Qualité d"un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1 Estimateur sans biais et de variance minimale (ESBVM) . . . . . 40
3.3.2 Convergences, théorème central-limite, loi des grands nombres . 42
3.3.3 Quantité d"information, efficacité d"un estimateur . . . . . . . . . 43
3.4 Propriétés des EMM et des EMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.1 Propriétés des estimateurs des moments . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.2 Propriétés des estimateurs de maximum de vraisemblance . . . . 47
3.4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Intervalles de confiance 49
4.1 Problématique et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Intervalles de confiance pour les paramètres de la loi normale . . . . . . 50
4.2.1 Intervalle de confiance pour la moyenne . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.2 Intervalle de confiance pour la variance . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Intervalle de confiance pour une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Tests d"hypothèses 59
5.1 Introduction : le problème de décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Formalisation du problème de test paramétrique sur un échantillon . . . 62
5.2.1 Tests d"hypothèses simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.2 Tests d"hypothèses composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 Tests sur la moyenne d"une loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3.1 Exemple introductif : essais thérapeutiques . . . . . . . . . . . . . 63
5.3.2 Première idée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.3 Deuxième idée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.4 Troisième idée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.6 La p-valeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.7 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.8 Les tests de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4 Lien entre tests d"hypothèses et intervalles de confiance . . . . . . . . . . 69
5.5 Procédure pour construire un test d"hypothèses . . . . . . . . . . . . . . 70
5.6 Tests sur la variance d"une loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.7 Tests sur une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.8 Le test duχ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6 La régression linéaire 77
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Le modèle de régression linéaire simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3 Estimation par la méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.4 Le modèle linéaire simple gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.4.1 Définition du modèle et estimation des paramètres . . . . . . . . 85
TABLE DES MATIÈRES 5
6.4.2 Maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.4.3 Intervalles de confiance et tests d"hypothèses . . . . . . . . . . . . 87
6.5 Etude complète de l"exemple enR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7 Annexe A : Bases de probabilités pour la statistique 95
7.1 Variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.1.1 Loi de probabilité d"une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . 95
7.1.2 Variables aléatoires discrètes et continues . . . . . . . . . . . . . . 96
7.1.3 Moments et quantiles d"une variable aléatoire réelle . . . . . . . . 97
7.2 Vecteurs aléatoires réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2.1 Loi de probabilité d"un vecteur aléatoire . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2.2 Espérance et matrice de covariance d"un vecteur aléatoire . . . . 99
7.3 Lois de probabilité usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3.1 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3.2 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3.3 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.4 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.5 Loi gamma et loi du chi-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.6 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.7 Lois de Student et de Fisher-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8 Annexe B : Lois de probabilité usuelles 103
8.1 Caractéristiques des lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.1.1 Variables aléatoires réelles discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.1.2 Variables aléatoires réelles continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.1.3 Vecteurs aléatoires dans IN
det dans IRd. . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2 Tables de lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.2.1 Table 1 de la loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.2.2 Table 2 de la loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.2.3 Table de la loi duχ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.2.4 Table de la loi de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2.5 Tables de la loi de Fisher-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.3 Exemples de représentations de probabilités et de densités . . . . . . . . 112
8.3.1 Lois discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.3.2 Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9 Annexe C : Introduction àR121
9.1 Les bases deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.2 Commandes pour les deux premiers TD enR. . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.3 Quelques commandes utiles deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.4 Lois de probabilité usuelles enR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.5 Principaux tests d"hypothèses enR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.6 Graphiques dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.6.1 Graphique simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6 TABLE DES MATIÈRES
9.6.2 Autres fonctions graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.6.3 Paramétrage de la commande plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Bibliographie 129
Chapitre 1
Introduction
1.1 Définition et domaines d"application de la statistique
Lastatistiqueest la science dont l"objet est de recueillir, de traiter et d"analyser des donnéesissues de l"observation de phénomènesaléatoires, c"est-à-dire dans lesquels le hasard intervient.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
[PDF] Estimation paramétrique