[PDF] Aire de Baignade PDF Optimisation_d_une_aire_baignade__correction

bouées A et B pour que l'aire de baignade soit maximale 1◦) Si la distance AD de la bouée A `a la rive est de 25 m, la longueur AB est 110 m En

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L'aire de la zone de baignade est donc une fonction qui varie selon les valeurs de Déterminons d'abord les valeurs possibles de La longueur maximale du

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(aire en fonction des dimensions) sont à donner Étude qualitative de fonctions Fonction croissante, fonction décroissante ; maximum, minimum d'une fonction

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15 déc 2010 · 4°) Graphiquement, déterminer l'aire maximale de la partie grisée et la valeur de x pour laquelle ce maximum est atteint 5°) En utilisant votre

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de ce rectangle est du second degré Cette aire est maximale lorsque a c x 3 = Le choix des paramètres a et c fait dans cet exercice amène à étudier une

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La capacité vitale est le volume d'air maximal pouvant être mobilisé en une seule inspiration Sur un échantillon de 17 personnes, on a mesuré la capacité vitale

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bouées A et B pour que l'aire de baignade soit maximale 1◦) Si la distance AD de la bouée A `a la rive est de 25 m, la longueur AB est 110 m En

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Parmi tous les rectangles de périmètre 13 m, quel est celui dont l'aire est maximale? Exercice 4: 1 L'équation E: 2x4 – x² – 6 =0 est-elle une équation du second

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c) Donner la valeur maximale de l'aire du trapèze AMEF, et préciser la position de M pour laquelle elle est atteinte EXERCICE 3 ( 9 points): Dans un repère

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11 3 Représentation graphique d'un polynôme du second degré géométrique , cela revient à déterminer le côté d'un carré lorsque nous connaissons l'aire de celui-ci Le maximum d'une fonction f sur un intervalle I est, s'il existe, la plus

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a) Déterminer l'aire maximale du terrain (Indice: Aire d'un triangle premier est un rectangle ABCD et le second un carré MNPD où M est au milieu de CD

SecondeOptimisation d"une aire - correction

Aire de Baignade

Le responsable d"un parc municipal, situ´e au bord d"une large rivi`ere, veut am´enager une aire de baignade surveill´ee de forme rectangu- laire. Il dispose d"un cordon flottant de160m de longueur et de deux bou´eesAetB. Probl`eme:on se propose de d´eterminer comment placer les bou´eesAetBpour que l"aire de baignade soit maximale. 1

◦) Si la distanceADde la bou´eeA`a la rive est de25m, la longueurABest110m. En effet, la longueur totale

de la bou´ee est160m et deux cˆot´es du rectangle mesure25m. D"o`u la longueurAB= 160-2×25 = 110

(il n"y a pas de bou´ee sur la plage). L"aire de la zone de baignade est alorsAD×AB= 25×110soit une aire de2750m2. 2

◦) a)AD?0carADest une distance. De plus, la longueur totale de la bou´ee est160m et on aAD=BC

donc la distance maximale deADest 160

2= 80. Ainsi, la distanceADvarie entre0m et80m.

b) SiAD=a, alors la longueurABde la zone de baignade est ´egale `a160-2×AD= 160-2am`etres. `A l"aide d"un logiciel de g´eom´etrie dynamique

4◦) D"apr`es la formule tap´ee dans la barre de saisie, on at=AD×AB.trepr´esente donc l"aire de la zone de

baignade. 6

◦) L"aire de la zone de baignade est ´egale `a2400m2lorsquet= 2400. Cette valeur est atteinte lorsquea= 20

oua= 60. Ainsi, dans ces cas on aAD= 20m ouAD= 60m. 7 ◦) Par lecture graphique, on rep`ere la valeur detpour chaque valeur dex=a. a=AD(en m)01020304050607080

Aire de la zone de baignade

(en m2)014002400300032003000240014000

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SecondeOptimisation d"une aire - correction

8◦) La fonction d´efinie par l"aire de la zone de baignade en fonction deaest croissante sur[0 ; 40]puis

d´ecroissante sur[40 ; 80]. AD=a

Aire de la zone de

baignade0 40 80 3200
0 0

D"apr`es le tableau de variation pr´ec´edent, on peut dire quele maximum de l"aire de la zone de baignade

est atteint pourAD= 40m. R´epondre au probl`eme analytiquement(par le calcul)

Dans la suite, on notex=a=AD.

9 ◦) On d´esigne parA(x)l"aire de la zone de baignade en m2. On aA(x) =AD×AB=x(160-2x). En effet, d"apr`es la question 2 ◦)b),AB= 160-2x. 10 ◦) Soitx?[0 ; 80]:

3200-2(x-40)

2= 3200-2(x2-80x+ 1600)il suffit de d´evelopper

= 3200-2x2+ 160x-3200 = 160x-2x 2 =x(160-2x) =A(x)

Ainsi,A(x) = 3200-2(x-40)

2, pour toutx?[0 ; 80].

11 ◦) Il est clair que pour toutx?[0 ; 80],-2(x-40)2?0et donc,3200-2(x-40)2?3200(on additionne de chaque cˆot´e de l"in´egalit´e) On vient donc de montrer que pour toutx?[0 ; 80],A(x)?3200et on a l"´egalit´e lorsquex= 40 (´evident). Cela nous permet de dire que le maximum deAsur[0 ; 80]est3200, atteint pourx= 40. Ainsi, l"aire maximale de la zone de baignade est 3200 m

2et le pointAest situ´e alors `a40m de la rive.

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Aire de Baignade

2= 80. Ainsi, la distanceADvarie entre0m et80m.

4◦) D"apr`es la formule tap´ee dans la barre de saisie, on at=AD×AB.trepr´esente donc l"aire de la zone de

Aire de la zone de baignade

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8◦) La fonction d´efinie par l"aire de la zone de baignade en fonction deaest croissante sur[0 ; 40]puis

Aire de la zone de

Dans la suite, on notex=a=AD.

3200-2(x-40)

2= 3200-2(x2-80x+ 1600)il suffit de d´evelopper

Ainsi,A(x) = 3200-2(x-40)

2, pour toutx?[0 ; 80].

2et le pointAest situ´e alors `a40m de la rive.

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