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?Corrigé dubaccalauréat STL biotechnologies?
Métropole-La Réunion 8 septembre 2016
Calculatrice autorisée conformément à la circulaire n o99-186 du 16 novembre 1999.EXERCICE14 points
Une cuisson non juste de la viande de boeuf peut provoquer une intoxication alimentaire. Les bactéries en
cause sontdes souches d"Escherichia coli. Pour mieux prévoirles aptitudes de survieet de développement de
cettebactériedans les aliments, onétudieen fonctiondu temps la croissancedeces souches placées dansun
milieu deculture.On appelleCila concentrationen bactéries en millions parmL. Voici les résultatsobtenus:
Tempstien minutes0306090120150
ConcentrationCien mil-
lions par mL1316361082707851.On poseyi=ln(Ci).
a.Le tableau de valeurs est complété sur l"annexe 1, les résultats sont arrondis à 10 -2. b.Nous avons représenté le nuage de pointsMi?ti;yi?dans un repère orthogo- nal avec 1cm pour 10min en abscisses et 2cm pour 1 unité en ordonnées. c.Déterminons les coordonnées deG, point moyen du nuage.Les coordonnées de G sont?
t;y?.Le point G
(7 ; 4,31)est placé dans le repère précédent.2.On réalise un ajustement affine de ce nuage de points.
a.À l"aide de la calculatrice, une équation de la droiteDd"ajustement deyent obtenue par la méthode des moindres carrés esty=0,0286t+2,1627. b.La droiteDest tracée sur le graphique de la question 1.3.Estimons, selon ce modèle d"ajustement, la concentration en bactéries présentes
dans le milieu de culture au bout de 4 heures. En minutest=240. Remplaçonstpar cette valeur dans l"équation de la droite y=0,0286×240+2,1627=9,067 d"oùC=e9,067≈8322,35. Laconcentrationauboutdequatreestd"environ 8322millions debactériesparmL.4.Danscettequestion,onconsidère quelaconcentration(enmillions parmL)enbac-
téries présentes à l"instantt(en minutes) dans le milieu de culture est donnée parC(t)=8,6e0,0287t.
Déterminons au bout de combien de temps cette concentrationdépassera le mil- liard de bactéries par mL. Pour ce faire, résolvons 8,6e0,0287t?1000. Un milliard
vaut mille millions. Corrigé du baccalauréat STL biotechnologiesA. P. M. E. P.8,6e0,0287t?1000 e0,0287t?10008,60,0287t?ln?10008,6?
t?ln?1000 8,6?0,0287.
ln ?1000 8,6?0,0287≈165,71
Laconcentrationauradépasséle milliard debactériesparmLauboutde165heures et 43 minutes.EXERCICE24 points
À l"Île de La Réunion, la variétéd"ananas la plus cultivée est l"ananas Victoria.L"exportation de cette variété d"ananas vers la métropole esten plein essor. Une coopérative réunionnaisese
consacre exclusivement à l"exportation d"ananas Victoria versla métropole.Entre2012 et 2015, la coopérativea augmentéses exportationsde10,5% paran. En2015, les exportationsont
atteint 1100 tonnes.Le but de cet exercice est d"étudier deux modélisations différentes de l"évolution de la quantité d"ananas
Victoria exportés par cette coopérative.
1.Dans cette question, on s"intéresse à une première modélisation :on suppose qu"après 2015, les ex-
portationsvontcontinueràprogresserde10,5% paran.Ainsi,lasituationpeutêtremodéliséeparune suite géométrique (un)où pour tout entier natureln,unest uneestimation de la quantité,en tonnes, d"ananas exportés en 2015+n. On a :u0=1100. porter en 2016 estu1. À une augmentation de 10,5% correspond un coefficient multiplicateur de 1+ 10,5100c"est-à-dire 1,105.
u1=1100×1,105≈1216.
porter en 2016 est de 1216 tonnes. b.Déterminons en quelle année, cette coopérative peut prévoir exporter plus de2000 tonnes d"ananas.
La suite
(un)est une suite géométrique de raison 1,105 et de premier terme1100. Le terme général de la suite s"écrit alors,un=1100×(1,105)n.
Résolvons 1100×(1,105)n?2000
(1,105) n?20001100nln1,105?ln?2011?
n?ln?20 11? ln1,105 Or ln?20 11? d"ananas à partir de 2021(2015+6). c.Déterminons la limite de la suite(un).Lasuite
quandntend vers+∞.2.Dans cette question, l"exportation des ananas est modélisée par la suite(vn), définie par :
v0=1100 et, pour tout entier natureln,vn+1=0,7vn+477 oùvnest une estimation de la quantité,
en tonnes, d"ananas exportés en 2015+n.On considère l"algorithme ci-dessous :
Métropole-La Réunion28 septembre 2016
Corrigé du baccalauréat STL biotechnologiesA. P. M. E. P.Variables :Vnombre réel,N,Kentiers
Entrée :SaisirN
Traitement:
Vprend la valeur 1100
PourKvariantde 1 àN
Vprend la valeur 0,7×V+477
Fin pour
Sortie:AfficherV
On saisitN=3.
a.Lavaleuraffichéeparcet algorithmeensortieest1421,93. Lacoopérativepeut estimer, selon ce modèle, exporter en 2018 environ 1422 tonnes d"ananas. b.On dispose du tableau de valeurs suivant :N51015202530
vN150815761588158915901590 Nous pouvons conjecturer que la limite de la suite(vn)est 1590.3.Entre la modélisation proposée à la question 1 et celle proposée à la question 2, la
première serait à privilégier puisqu"elle permet un développement continu. Dépas- ser les 2000 tonnes à l"exportation ne semble pas être un objectif irréalisable.variante : Entre la modélisation proposée à la question 1 et celle proposée à la ques-
tion 2, la seconde serait à privilégier car la production d"ananas n"est pas infinie même en augmentant les rendements et la surface cultivable ne peut être étendue infiniment. La coopérative augmente quand même ses exportations de près de 45% en vingt ans.EXERCICE35 points
Dansuneusinedu secteur de l"agroalimentaire,on testelefonctionnementd"une machineà embouteiller de
l"eau. On désigne parXla variable aléatoire qui, à toute bouteille prise au hasard dans la production, associe
le volume d"eau en litres qu"elle contient. On admet que, lorsque la machine est bien réglée,Xsuit la loi
normale d"espéranceμ=1,5 et d"écart typeσ=0,01.On arrondira les probabilités au centième.
1.À l"aide de la calculatrice, déterminons la probabilitéP(X?1,49).
P(X?1,49)≈0,1587 soit 0,16 arrondie au centième. Une bouteille d"eau est conforme lorsqu"elle contient entre 1,48 et 1,52 litre d"eau.2.On prélève au hasard une bouteille d"eau de la production.
a.À l"aide de la calculatrice, déterminons la probabilité quecette bouteille d"eau soit conforme aux normes de l"entreprise,p(1,48?X?1,52)≈0,9545 soit0,95 arrondie au centième.
b.Nous aurions pu obtenir ce résultat sans calculatrice en observant que3.Le directeur de l"usine souhaiteque la proportionde bouteilles d"eau conformessoit égale à 97%. Les
de bouteilles d"eau conformes est bien égale à 97%. Un contrôlesur un échantillon de 500 bouteilles
est effectué, pour juger de l"efficacité de ce réglage,Métropole-La Réunion38 septembre 2016
Corrigé du baccalauréat STL biotechnologiesA. P. M. E. P. tillon de taille 500. L"intervalle d"estimation de cette proportion avec un niveau de confiance de95% est :
p-1,96? p(1-p) n;p+1,96? p(1-p) n?0,97-1,96?
0,97(1-0,97)
500; 0,97+1,96?
0,97(1-0,97)
500??0,955 ; 0,985?
b.Parmi les 500 bouteilles de l"échantillon, on observe que 476 sont conformes. Nous avons déterminé un intervalle de confianceIau niveau de 95% de la proportionpde bouteilles conformes; cela signifie que la probabilité que cet intervalle contienne la proportion en question est supérieure à 95%. La proportion de bouteilles conformes dans cet échantillonest476500=0,952.
Or 0,952 n"appartient pas à l"intervalleI.
Donc nous pouvons dire que cette observation remet en question l"efficacité du réglage avec un risque d"erreur de 5%.4.On veut mesurer la durée de bon fonctionnement de machines à embouteiller sur le point d"être li-
vrées à l"usine.On désigne parTla variable aléatoire qui, à toute machine prélevée au hasard parmi les machines
sur le point d"être livrées, associe sa durée de vie en jours avantune défaillance, On suppose que la
probabilité qu"une machine prélevée au hasard dans cette livraison prévue n"ait pas de défaillance
avant l"instantt, exprimé en jours, est p(T?t)=e-0,005t. a.Calculons la probabilité qu"une machine prélevée au hasarddans la livraison prévue fonctionne plus de 200 jours sans défaillance. p(T?200)=e-0,005×200≈0,3679 soit 0,37 arrondie au centième. b.Déterminons le réeltpour que la probabilité qu"une machine prélevée au ha- sard dans la livraison prévue fonctionne moins detjours sans défaillance soitégale à 0,2.
Considérons le problème contraire. Déterminonstpour qu"une machine pré- levée au hasard fonctionne sans défaillance plus detjours avec une probabi- lité égale à 0,8. Pour ce faire, résolvonsp(T?t)=0,8 c"est-à-dire e-0,005t=0,8. -0,005t=ln0,8t=ln0,8 -0,005≈44,62 avec une probabilité d"environ 0,2.EXERCICE47 points
On injecte un antibiotique en perfusion au rythme de 0,32 milligramme par minute. On suppose que cetantibiotique n"était pas présent dans le sang avant cette perfusion. La quantité d"antibiotique présent à tout
instant est modélisée par une fonctionf.Métropole-La Réunion48 septembre 2016
Corrigé du baccalauréat STL biotechnologiesA. P. M. E. P.Lorsquetreprésenteletempsécoulé,enminutes,depuisledébutdela perfusion,f(t) représentelaquantité,
en milligrammes, d"antibiotique présent dans le sang.Partie A
On admet que la fonctionfdéfinie sur [0 ;+∞[ est solution de l"équation différentielle (E) : y ?+0,004y=0,32,1.Résolvons l"équation différentielle (E).Les solutions de l"équation différentielley?+ay=bsurRsont les fonctionsydéfi-
nies par y(x)=Ce-ax+b aoùCest une constante quelconque. a=0,004b=0,32 par conséquent sur [0 ;+∞[f(t)=Ce-0,004t+0,32 0,004 c"est-à-diref(t)=Ce-0,004t+80 oùCest une constante quelconque.2. a.f(0)=0 car cet antibiotique n"était pas présent dans le sang avantcette perfu-
sion. b.Déterminons une expression def(t) sur [0 ;+∞[. f(0)=Ce-0,004×0+80=0 d"oùC=-80Sur [0 ;+∞[,f(t)=-80e-0,004t+80.
Partie B
On admet que la fonctionfest définie pour touttappartenantà [0 ;+∞[ par : f(t)=-80e-0,004t+80.1.Calculonsf?(t), oùf?désigne la fonction dérivée def.
f ?(t)=-80(-0,004t)e-0,004t=0,32e-0,004t. Déterminons les variations defsur [0 ;+∞[. Pour toutt?[0;+∞[,f?(t)>0 comme produit de deux réels strictement positifs . Si pour toutx?I,f?(x)>0 alorsfest strictement croissante surI. Sur [0;+∞[,f?(t)>0 parconséquentfest strictement croissante sur cet intervalle. On a tracé, dans le repère donné en annexe 2, la courbe représentativeCde la fonctionf et la droiteD, asymptote à la courbeCen+∞.2.À l"aide du graphique, la limite de la fonctionfest 80.Dest la droite asymptote à la
courbe représentative defen+∞. Cette valeur est appelée quantité limite de l"antibiotiqueprésent dans le sang.3.Le débit de perfusion est satisfaisant si 90% de la quantité limite del"antibiotique est, arrivée dans
le sang au bout de 10 heures. Déterminons, de deux façons différentes, si le débit de perfusion est
satisfaisant :Métropole-La Réunion58 septembre 2016
Corrigé du baccalauréat STL biotechnologiesA. P. M. E. P.a.À l"aide du graphique90% de la quantité limite correspond à 72. Traçons la droite d"équationy=
72 et lisons l"abscisse du point d"intersection de cette droite et de la courbe
représentativedef. Nousobtenonsenviron575. Auboutde575minutessoit 9 heures trente-cinq minutes, 90% de la quantité limite est arrivée dans le sang. Il en résulte que le débit de la perfusion est satisfaisant. b.Sans le graphique, résolvons alorsf(t)=72 soit-80e-0,004t+80=72 -80e-0,004t+80=72 -80e-0,004t=-8 e -0,004t=0,1 e0,004t=100,004t=ln10
t=ln10 0,004 t≈575,646 Le débit de la perfusion est donc satisfaisant.4.On admetque la quantitémoyenne de l"antibiotique présentedansle sang pendant
les cinq premières heures de perfusion est égale à 1 300?300
0 f(t)dt. a.Démontrons que la fonctionFdéfinie sur [0 ;+∞[ parF(t)=20000e-0,004t+
80test une primitive defsur [0 ;+∞[.
Fest une primitive defsurIlorsqueF?=f.
DéterminonsF?(x).F?(x)=20000?-0,004e-0,004t?+80= -80e-0,004t+80= f(t). Il en résulte queFest une primitive defsur [0 ;+∞[. b.CalculonsI=? 3000 f(t)dt. I=? 300
0 f(t)dt=?
20000e
-0,004t+80t? 3000=20000e-0,004×300+80×300-20000
I=20000e-1,2+4000≈10023,88
Sur [0 ; 300],fest une fonction positive.Ipeut donc s"interpréter comme l"aire du domaine plan délimité par la courbe, l"axe des abscisses et les droites d"équationx=0 etx=300. c.Déterminons la quantité moyenne de l"antibiotique présentdans le sang pen- dant les cinq premières heures de perfusion au dixième de milligramme près. 1 300?300
0 Unevaleurapprochée,audixième demilligramme près,delaquantitémoyen- ne de l"antibiotique présent dans le sang pendant les 5 premières heures de perfusion est 33,4.