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4/5 5/5 7 Loi normale et théor`eme central limite On dit qu'une variable aléatoire continue X suit une loi normale de Loi normale : calcul avec des logiciels

[PDF] La loi normale

Pour pouvoir faire des calculs, on va parfois supposer que X suit une distribution ”mod`ele” Lorsque l'on suppose qu'une variable X suit le mod`ele de la loi normale N(µ, σ), on écrit On dit que l'on centre et réduit X Chapitre 3 2012– 

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Densité et calcul de probabilité d'événements Quelques lois classiques dérivées de la loi normale : χ2, Student, Fisher- alors Z suit une loi normale centrée réduite N(0,1) Dans l'intervalle [m − σ,m + σ] de longueur 2σ et centré autour

[PDF] Lois normales

Les lois de probabilité discrètes donnant lieu à des calculs fastidieux dans certaines Pour une variable aléatoire X suivant la loi binomiale On suppose que, pour tout entier naturel non nul n, la variable aléatoire Xn suit la loi binomiale

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La variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne m et d'écart type σ ( on note : X X suit la loi normale N(20; 5), calculer les probabilités suivantes

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31 mar 2015 · 2 2 5 Probabilité d'intervalle centré en 0 12 Définition 3 : Une variable aléatoire X suit une loi uniforme dans l'intervalle I = [a, b], avec a = b, Application : Calcul d'une valeur approchée du nombre π

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22 jui 2010 · La raison en est que la ddp de la loi normale sans être nulle 7 S'il y avait une mesures successives d'une quantité, suite à l'erreur de mesure Elle a une un théorème (le théorème central limite) explique pourquoi on rencontre si permettent de calculer les probabilités à l'extérieur d'un intervalle

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conçoit une loi statistique continue, appelée loi normale ou loi de Laplace- Gauss, dont la Méthode : Calculer une probabilité pour une loi normale On suppose que X suit la loi normale d'espérance µ = 80 et d'écart-type σ =14 Donner un intervalle de centre 20 qui contient environ 95 des valeurs prises par X

[PDF] Loi Normale

La loi normale est la loi la plus importante des probabilités et des statistiques Définition On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi normale ou loi Théorème central limite Soit X ∼ (2, 4) Calculer P(X≤4), P(X≥1) et P(1≤X≤4 )

[PDF] Table de la loi normale

On suppose que X suit la loi N(18,4), c'est-`a-dire la loi normale avec moyenne Le quantile d'ordre 1−γ de la loi N(µ, σ2) est donnée par la formule µ+zγ σ

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1/52/5 3/5 4/5 5/5

7. Loi normale et theoreme central limite

MTH2302D

S. Le Digabel,

Ecole Polytechnique de Montreal

A2017 (v2)

MTH2302D: loi normale1/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Plan

1. Loi normale

2. Loi normale centree reduite

3. Approximation d'une binomiale

4. Loi lognormale

5. Theoremes limites

MTH2302D: loi normale2/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5

1. Loi normale

2. Loi normale centree reduite

3. Approximation d'une binomiale

4. Loi lognormale

5. Theoremes limites

MTH2302D: loi normale3/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi normale

On dit qu'une variable aleatoire continueXsuit uneloi normalede parametreset2si sa fonction de densite est f

X(x) =1

p2exp (x)222 pour toutx.

On denote ceciXN(;2).MTH2302D: loi normale4/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi normale : proprietes

Proprietes defX:

1.limx!1fX(x) = 0.

2.fX(+x) =fX(x)(symetrie par rapport a l'axex=).

3.fXatteint son maximum enx=(estle modedeX).

4.Les points d'in

exion du graphe defXsontx=.MTH2302D: loi normale5/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi normale : proprietes (suite)

SiXN(;2)alors

1.P(X < x) =P(X > +x).

2.FX(x) = 1FX(+x).MTH2302D: loi normale6/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Moyenne et variance de la loi normale

SiXN(;2)alors

1.E(X) =.

2.V(X) =2.MTH2302D: loi normale7/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5 -4-2024

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 fonction de densité de X~N(0,1) x f(x)MTH2302D: loi normale8/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5 -4-2024

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 fonction de répartition de X~N(0,1) x

F(x)MTH2302D: loi normale9/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi normale : calcul avec des logiciels

I

Excel :

f

X(x) =LOI.NORMALE(x,,, 0).

F

X(x) =LOI.NORMALE(x,,, 1).

I R : f

X(x) =dnorm(x, mean=, sd=).

F X(x) =pnorm(x, mean=, sd=).MTH2302D: loi normale10/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5

1. Loi normale

2. Loi normale centree reduite

3. Approximation d'une binomiale

4. Loi lognormale

5. Theoremes limites

MTH2302D: loi normale11/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi normale centree reduite

Lorsque= 0et2= 1, la loi normale N(0;1)est appeleecentree reduiteet on la denote parZ.

Sa fonction de densite est

(z) =1p2ez22

Sa fonction de repartition est

(z) =1p2Z z 1 et22 dt. Puisque cette integrale est dicile a evaluer, on a recours a une table de loi normale pour calculer(z). Voir livre page 476 (2eme edition) / page 512 (3eme edition) ou sur le site w ebdu cours

MTH2302D: loi normale12/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi normale centree reduite (suite)

SiXN(;2)alors

Z=X

N(0;1):

On peut donc ramener toute loi normale a une loi centree reduite.

MTH2302D: loi normale13/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Methodes de calcul

SiZN(0;1)

I

Sib0alorsP(Zb) = (b).

I

Sib <0alors

(b) =P(Zb) = 1P(Z b) = 1(b). I

P(Zb) = 1P(Zb) = 1(b).

I

P(aZb) =P(Zb)P(Za) = (b)(a).

SiXN(;2), alorsP(Xb) = b

et

P(aXb) =Pa

Zb = b a

MTH2302D: loi normale14/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Exemples

I

Exemple 1 :Verier que= 0et2= 1siXN(0;1).

I Exemple 2 :DeterminerQ1,Q2etQ3siXN(0;1).MTH2302D: loi normale15/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Exemple 3

SiZN(0;1), calculer

1.P(Z1:25).

2.P(Z 0:52).

3.P(Z >1).

4.SiXN(= 100;2= 4), calculerP(98< X104).

5.SiP(Zb) = 0:6628, determinerb.

6.SiP(Zb) = 0:3446, determinerb.MTH2302D: loi normale16/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Additivite

SoitX1;X2;:::;Xndes variables aleatoires independantes avec X iN(i;2i)pour touti.

SoitY=a0+a1X1+a2X2++anXn.

AlorsYN(;2), ou

=a0+a11+a22++ann,

2=a2121+a2222++a2n2n.MTH2302D: loi normale17/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Exemple 4

Un assemblage consiste a inserer un arbre dans un palier selon le schema ci-dessous.1 XX

2SiX1N(1:5;0:0016)etX2N(1:48;0:0009)sont les deux

diametres, le jeu entre les deux elements estY=X1X2. Les v.a.X1etX2sont independantes.

L'assemblage echoue siX1< X2.

Dans quel pourcentage de cas l'assemblage echoue-t-il?

MTH2302D: loi normale18/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5

1. Loi normale

2. Loi normale centree reduite

3. Approximation d'une binomiale

4. Loi lognormale

5. Theoremes limites

MTH2302D: loi normale19/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Approx. d'une loi binomiale par une loi normale

SoitXB(n;p)une variable aleatoire suivant une loi binomiale. AlorsXest la somme de variables de Bernoulli independantes de parametrep. Sinest grand alorsXsuit approximativement une loi normale

N(=np;2=np(1p)).

Cette approximation est bonne si

I np >5lorsquep12 I n(1p)>5lorsquep >12 .MTH2302D: loi normale20/35

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Approx. d'une binomiale par une normale (suite)

PuisqueXB(n;p)est une variable discrete, on cherche a calculer des probabilites commeP(X=x). Or ceci n'a pas de sens pour une v.a. continue et on doit corriger la valeur cherchee pour pouvoir utiliser l'approximation deXpar une loi normale.

Par exemple

Valeur cherchee Valeur corrigee

P(X=x)P(x12

Xx+12

P(aXb)P(a12

Xb+12 Cette correction est appeleecorrection pour la continuite.MTH2302D: loi normale21/35

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Exemple 5

On lance une piece 200 fois. Quelle est la probabilite d'obtenir au moins 110 piles?

MTH2302D: loi normale22/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5

1. Loi normale

2. Loi normale centree reduite

3. Approximation d'une binomiale

4. Loi lognormale

5. Theoremes limites

MTH2302D: loi normale23/35

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi lognormale

Une variable aleatoireXsuit uneloi lognormalede parametresY et2Ysi

Y= ln(X)N(Y;2Y).

C'est equivalent a denirX= exp(Y).MTH2302D: loi normale24/35

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Loi lognormale : fonction de densite

La fonction de densite d'une variable aleatoire lognormaleXde parametresY,2Yest f

X(x) =8

>:1x

Yp2exp

(ln(x)Y)222Y six >0,

0sinon.MTH2302D: loi normale25/35

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Loi lognormale : fonction de repartition

La fonction de repartition d'une variable aleatoire lognormaleXdequotesdbs_dbs50.pdfusesText_50