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2014-2015Logique

Raisonnement par disjonction des cas

Soit P et Q deux propositions.

Pour montrer que " P?Q » , on sépare l"hypothèse P de départ en différents cas possibles et on montre que l"implication est vraie dans chacun des cas.

Exemple 1

On montre, par disjonction des cas, la proposition : " Pour tout entiern,n(n+ 1)2est un entier.» Cette proposition se formule aussi de la façon suivante : " Sin?Z, alorsn(n+ 1)

2?Z. »

Soitnun entier. Il y a deux cas possibles :nest pair ounest impair.

Premier cas

:nest pair.

Alors il existe un entierktel quen= 2ketn(n+ 1)

2=k(2k+1) doncn(n+ 1)2est un entier.

Deuxième cas:nest impair.

Alors il existe un entierktel quen= 2k+1 etn(n+ 1)

2= (2k+1)(k+1) doncn(n+ 1)2est

un entier. On a bien montré que, pour tout entiern,n(n+ 1)

2est un entier.

Exemple 2

Théorème de l"angle inscrit:

Dans tout cercle, tout angle inscrit est égal à la moitié de l"angle au centre qui intercepte le

même arc que l"angle inscrit.

Pour démontrer ce théorème, on considère trois cas, selon laposition du centre du cercle par

rapport aux côtés de l"angle inscrit :

Premier cas

: le centre est situé sur un des côtés de l"angle inscrit. ?O ?A?B C Le triangleAOCest un triangle isocèle enOdonc?OAC=?OCA. La somme des angles d"un triangle vaut 180°donc ?AOC= 180°-?OAC-?OCA= 180°-2?OAC. Les pointsA,OetCsont alignés donc?BOC= 180°-?AOC.

On a alors :

?BOC= 180°-(180°-2?OAC) = 2?OAC. 1

2014-2015Logique

Comme les pointsA,OetCsont alignés, on a?OAC=?BAC.

On en conclut :

?BOC= 2?AOC.

Deuxième cas

: le centre est situé à l"intérieur de l"angle inscrit. ?O ?A?D C? B On construit le pointDdiamétralement opposé àAsur le cercle. ?BOC=?BOD+?DOC. D"après le premier cas de figure,?BOD= 2?BADet?DOC= 2?DAC.

On a alors

?BOC= 2?BAD+ 2?DAC= 2(?BAD+?DAC) = 2?BAC.

Troisième cas

: le centre est situé à l"extérieur de l"angle inscrit. ?O ?A?D C? B On construit le pointDdiamétralement opposé àAsur le cercle. ?BOC=?DOC-?DOB. D"après le premier cas de figure,?DOC= 2?DACet?DOB= 2?DAB.

On a alors

?BOC= 2?DAC-2?DAB= 2(?DAC-?DAB) = 2?BAC. 2quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15