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Applications des mathématiques
Cinématique
Première partie:
Vitesse et accélération instantanées dans l'espaceMouvement rectiligne uniforme
Mouvement uniformément accéléré
x z v 0 v 1 v 2 a aVersion pour
Mathematica
Edition 2017
Marcel Délèze
Printed by Wolfram Mathematica Student Edition
Introduction
Mécanique
La mécanique est la partie de la physique qui étudie les mouvements des objets matériels. On peut
l'aborder selon deux points de vue : la cinématique et la dynamique.Cinématique
La cinématique se contente de décrire le mouvement du point de vue géométrique : position,
vitesse, accélération, trajectoire, courbure, ...Elle se subdivise en "cinématique du point matériel" et "cinématique des corps étendus". Dans ce
dernier cas, elle considère aussi les mouvements du corps autour du centre de gravité (rotation , ...).
Dynamique
La dynamique s'intéresse aux causes du mouvement : elle lie le mouvement aux forces qui lerégissent. Elle énonce et utilise les lois du mouvement telles que la loi de Newton, la variation de
l'énergie cinétique, etc.Histoire
Les notions fondamentales de la mécanique classique, le calcul de dérivées et les lois de la
mécanique classique, ont été introduites par Leibniz et Newton dans la deuxième partie du XVII-
ème siècle. Cette science s'est beaucoup développée au XVIII-ème siècle, en particulier avec
Lagrange. Elle est aussi appelée mécanique analytique.1 Notions de base
1.1 Horaire
Position et vecteur-position (ou vecteur-lieu)
L'espace étant muni d'un repère orthonormé (O, i j k ), la position du mobile est définie par ses coordonnées P x y z2 1-cinematique.nb
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De manière équivalente, on peut considérer le vecteur-position défini par ses trois composantes
(voirFormulaires et tables
p. 127) rOP= x i
y j z k x y zHoraire
L'horaire des chemins de fer indique, pour certaines heures, la position correspondante :12 h 03
Lausanne
12 h 42
Genève
Par analogie, nous appelons horaire la fonction qui, à chaque instant, donne le vecteur-position r t correspondant. Il s'agit d'une fonction vectorielle : t r t x t y t z t Pour définir un mouvement dans l'espace, il faut donner trois fonctions scalaires x(t) y(t) z(t)Trajectoire
La voie de chemin de fer définit la trajectoire du train. Plus généralement, la trajectoire est l'ensem-
ble des points par lesquels passe le mobile. La trajectoire est un objet plus pauvre que l'horaire car
il ne fait aucune référence au temps.Déplacement
Durant l'intervalle de temps [
t 1 t 2 ], le mobile est passé de la position P t 1à la position
P t 21-cinematique.nb 3
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Le mobile a donc effectué le déplacement (voir Formulaires et tables p. 127) r P t 1 P t 2 P t 1O+O P (t
2 )= O P (t 2 )-O P (t 1 )= r t 2 r t 1 x t 2 x t 1 y t 2 y t 1 z t 2 z t 1 x y z Le signe de chaque composante du déplacement a une interprétation immédiate : si x>0 alors x augmente si x<0 alors x diminueOn a des règles semblables pour les signes de
y et z.Remarquez que le déplacement est un vecteur qui n'épouse pas nécessairement la trajectoire. On
peut comparer le déplacement à la "sécante" telle qu'elle apparaît dans la définition de la dérivée.
1.2 Vitesse
Dérivée d'une fonction (rappels de mathématiques) On appelle "sécante" la droite qui joint les deux points (x, f(x)) et (x+h, f(x+h)) . Sa pente est f x h f x h4 1-cinematique.nb
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x+hx f x h f x pente f x )pente= f x h f x hLorsque h tend vers 0, la sécante tend vers la tangente à f en x. La pente de cette tangente est
appelée "dérivée de f en x" (voirFormulaires et tables
p. 76) f' x lim h 0 f x h f x hAutre notation (inspirée de
f x pour x 0) df dx= fRappelons la propriété
si f x 0 sur a b alors f x est c roissante sur [a, b]. En cinématique, la variable est généralement le temps. f' t lim t 0 f t t f t tEn physique, pour désigner la dérivée par rapport au temps, on remplace l'apostrophe par un point,
ce qui donne f t lim t 0 f t t f t t